这一篇在干嘛？
前面章节处理的都是确定信号——给定时刻就能算出唯一取值。但通信噪声、电路热噪声这类信号每次观测结果都不一样，只能靠概率和统计平均来描述。本章引入「随机过程」这一数学模型，讲清它的统计描述方法、平稳性分类，以及「只需观测一条样本曲线就能算出全部统计量」的各态历经性——这是工程实践中处理随机信号的基石。
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8.1 引言
随机信号（random signals）在第 1 章就出现过：它在任一时刻的取值是随机的，无法用一个确定的函数式预测。那怎么研究它？答案是统计——单次观测虽不可预测，但长期观测会呈现出可以用概率和统计平均描述的规律性。就像掷硬币：第几次是正面无法预知，但正面出现的比例会稳定在 50%。
描述随机信号的概率模型称为随机过程（random process 或 stochastic process）。本章的全部内容就是围绕这个模型展开：它是什么（8.2）、怎么统计描述（8.3）、最重要的特例——高斯过程（8.4）。
8.2 随机过程
8.2.1 定义
考虑一个随机试验，样本空间为 ，试验结果为 。如果给每一个结果 都指派一个实值时间函数 ，就构造了一个随机过程。
关键在于 是两个变量的函数：
- 固定 ：得到一条确定的时间函数 ，称为样本函数（sample function）或实现（realization）；
- 全部样本函数的集合称为样本空间总体（ensemble）；
- 固定时刻 ： 是一个随机变量；
- 和 都固定： 就是一个普通的数。
所以随机过程也可以等价地定义为：由参数 索引的一族随机变量， 称为指标集。
一句话记忆：横着看（固定结果）是一条确定曲线，竖着看（固定时刻）是一个随机变量——随机过程正是「曲线族」与「随机变量族」两种视角的合体。
图 8-1 随机过程示意：左为随机试验样本空间，右为各结果对应的样本函数族，在固定时刻 竖切得到随机变量
例 8.1（抛一次硬币） 样本空间 ，规定
其中 、 是固定常数。则 是以 、 为样本函数的随机信号。注意： 和 本身都是确定信号，随机性完全来自「抛出正面还是反面」这个随机试验。这说明「随机过程 = 样本函数 + 选样本的概率机制」。
例 8.2（反复抛硬币） 反复抛硬币并记录序列，， 或 。令
时 ， 时 。每段区间内发什么频率的正弦，由该次抛币结果决定，一条实现如图 8-2。这正是频移键控（FSK）调制的模型：数据比特 1/0（对应 H/T）随机出现，载波频率随之切换。
图 8-2 例 8.2 随机信号的一条实现：频率随随机比特序列在 、 之间切换
例 8.3（随机相位正弦） 常见的随机信号写法是直接用随机变量表达：
、 是固定的幅度和频率， 是 上均匀分布的随机变量，即 ，：
样本空间总体是「同幅度同频率、相位随机」的一族余弦曲线，几条样本函数如图 8-3。这是通信中最经典的随机信号模型，后面 8.15 题还会回到它。
图 8-3 例 8.3 随机相位余弦过程的若干样本函数
例 8.4（离散随机序列） 设 是相互独立的随机变量，且
则 是离散时间随机序列，一条样本序列如图 8-4。每一步等概率 ±1 地跳变，这就是「随机游走」的雏形。
图 8-4 例 8.4 随机序列的一条样本实现
8.2.2 随机过程的分类
按两个维度分类，共四种组合：
| 分类维度 | 离散 | 连续 |
|---|---|---|
| 指标集 （时间） | 离散参数（离散时间）过程，记作随机序列 | 连续参数（连续时间）过程 |
| 状态空间 （取值） | 离散状态过程，常称「链」（chain）， 常取 | 连续状态过程 |
- 是过程的时间索引（什么时刻观测）；
- 是 可能取的值的集合（状态空间）。
例如例 8.4 的随机游走是「离散时间 + 离散状态」；例 8.3 的随机相位正弦是「连续时间 + 连续状态」。
复随机过程定义为
其中 、 是实随机过程，。本书除非特别说明，讨论的都是实随机过程。
图 8-6 随机二进制信号的样本函数：连续时间 + 离散状态过程的典型例子
图 8-8 离散时间连续状态过程（高斯变量累加和）的一条样本函数
8.3 随机过程的统计特性
8.3.1 概率描述
固定时刻 ， 就是随机变量，其分布函数称为一阶分布：
注意记号：分号后的 表示这个分布一般随观测时刻变化。对它求导得一阶密度函数：
同理，取两个时刻 ，、 是两个随机变量，其联合分布称二阶分布：