这一篇在干嘛？
前面各章我们一直用「输入—输出」关系（微分方程、差分方程、系统函数）描述系统，这只是系统的外部描述。本章引入状态空间表示：用一组内部状态变量把系统的「记忆」显式地写出来。它不仅让我们看清系统内部如何运转，还能统一处理多输入多输出系统，并能推广到非线性和时变系统。
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- 7.1 引言
- 7.2 状态的概念
- 7.3 离散时间 LTI 系统的状态空间表示
- 7.4 连续时间 LTI 系统的状态空间表示
- 7.5 离散时间系统状态方程的求解
- 7.6 连续时间系统状态方程的求解
- 7.7 延伸：可控性与可观测性
- 典型例题精解
- 补充习题（附图与答案）
- 自测
7.1 引言
到目前为止，我们研究线性时不变（LTI）系统都基于输入—输出关系，这叫系统的外部描述。本章讨论状态空间表示，它是一种内部描述，优点有三个：
- 能洞察系统内部的行为；
- 用统一的矩阵形式处理**多输入多输出（MIMO）**系统；
- 可以推广到非线性和时变系统。
状态空间表示全部以矩阵方程出现，所以需要一点矩阵（线性代数）基础。不学它会怎样？你只能从「黑箱」外面看系统；而状态空间让你打开黑箱，看见每一个储能元件里存了什么。
7.2 状态的概念
状态的定义
系统在时刻 （或 ）的状态定义为：当输入在 （或 ）上已知时，足以唯一确定系统在 上全部状态与输出的最少信息。携带这些信息的变量叫状态变量。注意：这个定义只适用于因果系统。
一个直观例子：对单输入单输出的 LTI 电网络，若已知输入 从 到 的全部历史，当然能算出输出；但如果只给你 到 这一段的输入，就必须再补上 时刻电感电流和电容电压，才能确定这段区间内的输出。这些电流和电压就构成网络在 时刻的「状态」——状态本质上就是系统的记忆。
状态变量怎么选
既然状态变量对应系统的「记忆元件」，选择规则很自然：
- 离散系统由单位延迟器、放大器、加法器构成 → 取单位延迟器的输出作状态变量；
- 连续系统由积分器、放大器、加法器构成 → 取积分器的输出作状态变量；
- 含物理储能元件（电容、电感、弹簧、质量块）的连续系统 → 取这些储能元件的输出（电容电压、电感电流、位移、速度等）作状态变量。
易错点
状态变量的选择不唯一——同一个系统有无穷多种选法。不同选法给出的状态方程不同，但输出 必须相同（由相似变换联系，见 7.3 节）。这是初学者最容易困惑的地方：两组看起来完全不同的 ，可能描述的是同一个系统。
7.3 离散时间 LTI 系统的状态空间表示
由差分方程导出
设单输入单输出离散 LTI 系统由 阶差分方程描述：
要求完整解需要 个初始条件 ，即需要 个数值来确定任意时刻的系统状态。于是定义 个状态变量：
代入式 (7.1) 整理，得到状态方程与输出方程，写成矩阵形式：
定义 的状态向量 ，上面两式可紧凑写成（这就是 维状态空间表示，也叫状态方程）：
其中 是 的系统矩阵。对应本节这种选法的系数为：
易错点
如果差分方程右边含有输入的延迟项（如 ），就不能直接把 、 选作状态变量——代入后状态方程里会出现 这样的「过去的输入」，不满足状态方程的标准形式。正确做法是先画模拟框图（仿真图），再取延迟器输出作状态变量。例如对
画出如下仿真图再选状态变量即可：
图 7-7 右边含 项的差分方程仿真图（对应习题 7.8）
反过来，给定状态方程也能画出框图。把矩阵方程拆成标量方程逐条画即可，例如对状态方程
拆开后为 ，，，据此可画出框图：
图 7-12 由状态方程画出的离散系统框图（对应习题 7.13）
相似变换：状态的另一套选法
设 是任一 非奇异矩阵，定义新状态向量 （逆变换 ）。代入状态方程得：
其中
式 在矩阵代数中叫相似变换， 与 称为相似矩阵。同一个输入 ，两套状态方程给出相同的输出 ——这正是「状态选法不唯一但系统唯一」的数学表达。
举个具体例子：把图 7-1 系统的两个延迟器输出交换编号作为新状态（），框图变成：
图 7-2 交换状态变量编号后的框图（对应习题 7.2，可验证 ）
多输入多输出（MIMO）系统
状态空间法的杀手锏：设系统有 个输入、 个输出、 个状态变量，则
其中 为 、 为 、 为 ，系数矩阵 、、、。形式与单输入单输出完全一样，只是标量换成了矩阵——这就是「统一处理」的含义。