📘 第 9 章：功率谱密度与线性系统中的随机信号

这一篇在干嘛？

前面章节处理的都是确定性信号，本章要回答的是：随机信号怎么在频域里分析？答案是「功率谱密度」——它是自相关函数的傅里叶变换。有了它，我们就能定义白噪声，并推导出 LTI 系统对随机信号响应的核心公式 $S_{YY}(\omega )=|H(\omega ){|}^2{S}_{XX}(\omega )$，这是整个通信与噪声分析的地基。

• 9.1 引言
• 9.2 相关函数与功率谱密度
• 9.3 白噪声
• 9.4 线性系统对随机输入的响应
• 9.5 例题精解
• 自测

9.1 引言

本章引入功率谱密度（Power Spectral Density, PSD）的概念。它解决的核心问题是：

• 前几章的傅里叶分析只适用于确定性信号。随机信号没有确定的波形，无法直接做傅里叶变换——每一次观测（每个样本函数）都不一样。
• 但是宽平稳（WSS）随机信号的自相关函数 $R_{XX}(\tau )$ 是确定的，而 $R_{XX}(\tau )$ 恰好刻画了信号的平均功率结构。对它做傅里叶变换，就得到频域中的「功率分布图」——功率谱密度。

有了功率谱密度，可以做三件事：在频域研究 WSS 随机信号、定义白噪声过程、分析线性系统对随机信号的响应。本章 9.2 讲定义与性质，9.3 讲白噪声，9.4 讲系统响应。

9.2 相关函数与功率谱密度

以下均假设随机过程是宽平稳的（WSS）。回顾第 8 章：WSS 要求均值恒定、自相关只依赖时间差 $\tau$——这正是本章一切分析的前提。

A. 自相关函数 $R_{XX}(\tau )$

自相关函数定义为（即第 8 章式 8.35）：

$$R_{XX}(\tau )=E[X(t)X(t+\tau )]\text{\hspace{1em}(9.1)}$$

三条关键性质：

1. 偶函数：$R_{XX}(-\tau )=R_{XX}(\tau )$
2. 有界：$|R_{XX}(\tau )|\le R_{XX}(0)$
3. 零点即平均功率：$R_{XX}(0)=E[X^2(t)]$

为什么性质 3 叫「平均功率」？把 $X(t)$ 设想为加在 $1\Omega$ 电阻上的电压波形，则 $E[X^2(t)]$ 就是电阻上消耗的平均功率，因此常直接称之为 $X(t)$ 的平均功率。性质 1、2 的证明见例题 9.1。

对离散时间随机过程 $X(n)$，自相关函数定义为（式 8.39）：

$$R_{XX}(k)=E[X(n)X(n+k)]\text{\hspace{1em}(9.5)}$$

性质与连续情形完全平行，把 $\tau$ 换成 $k$ 即可。

B. 互相关函数 $R_{XY}(\tau )$

两个随机过程 $X(t)$、$Y(t)$ 的互相关函数定义为（式 8.42）：

$$R_{XY}(\tau )=E[X(t)Y(t+\tau )]\text{\hspace{1em}(9.6)}$$

三条关键性质：

1. 交换后时间翻转：$R_{XY}(-\tau )=R_{YX}(\tau )$
2. $|R_{XY}(\tau )|\le \sqrt{R_{XX}(0)R_{YY}(0)}$（柯西–施瓦茨不等式的直接推论）
3. $|R_{XY}(\tau )|\le \frac{1}{2}[R_{XX}(0)+R_{YY}(0)]$

注意易错点：$R_{XY}(\tau )$ 一般不是 $\tau$ 的偶函数，且 $R_{XY}\ne R_{YX}$——交换下标必须同时翻转时间变量（例题 9.2、9.5 给出验证）。

离散时间联合 WSS 随机序列的互相关函数：

$$R_{XY}(k)=E[X(n)Y(n+k)]\text{\hspace{1em}(9.10)}$$

C. 功率谱密度（功率谱）

定义：$R_{XX}(\tau )$ 的傅里叶变换就是 $X(t)$ 的功率谱密度：

$$S_{XX}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }{R}_{XX}(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau \text{\hspace{1em}(9.11)}$$

反变换为：

$$R_{XX}(\tau )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{S}_{XX}(\omega )e^{j\omega \tau }d\omega \text{\hspace{1em}(9.12)}$$

式 (9.11) 与 (9.12) 合称维纳–辛钦关系（Wiener-Khinchin relations）——本章最重要的定理，它是「随机信号也能做频域分析」的理论依据。

$S_{XX}(\omega )$ 的性质：

1. $S_{XX}(\omega )$ 是实函数且 $S_{XX}(\omega )\ge 0$（负值意味着「功率为负」，物理上不可能；非负性证明见例题 9.14）
2. $S_{XX}(-\omega )=S_{XX}(\omega )$（偶函数，因为 $R_{XX}(\tau )$ 是偶函数）
3. 谱下总面积 = 平均功率：

$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{S}_{XX}(\omega )d\omega =R_{XX}(0)=E[X^2(t)]\text{\hspace{1em}(9.15)}$$

离散时间随机过程 $X(n)$ 的功率谱密度同样定义为 $R_{XX}(k)$ 的傅里叶变换：

$$S_{XX}(\Omega )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{R}_{XX}(k)e^{-j\Omega k}\text{\hspace{1em}(9.16)}$$ $$R_{XX}(k)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{S}_{XX}(\Omega )e^{j\Omega k}d\Omega \text{\hspace{1em}(9.17)}$$

$S_{XX}(\Omega )$ 的性质：

1. 以 $2\pi$ 为周期：$S_{XX}(\Omega +2\pi )=S_{XX}(\Omega )$（因为 $e^{-j\Omega k}$ 以 $2\pi$ 为周期）——因此只需在 $(-\pi ,\pi )$ 上定义即可，这是离散与连续情形最大的区别
2. $S_{XX}(\Omega )$ 为实函数且 $S_{XX}(\Omega )\ge 0$
3. $S_{XX}(-\Omega )=S_{XX}(\Omega )$
4. 平均功率：$E[X^2(n)]=R_{XX}(0)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{S}_{XX}(\Omega )d\Omega$

D. 互功率谱密度

两个连续时间随机过程的互功率谱密度定义为 $R_{XY}(\tau )$ 的傅里叶变换：

$$S_{XY}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }{R}_{XY}(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau \text{\hspace{1em}(9.22)}$$ $$R_{XY}(\tau )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{S}_{XY}(\omega )e^{j\omega \tau }d\omega \text{\hspace{1em}(9.23)}$$

性质（与自功率谱不同，一般是复值函数）：

1. $S_{XY}(\omega )=S_{YX}(-\omega )$
2. $S_{XY}(-\omega )=S_{XY}^{\ast }(\omega )$（共轭对称）

离散时间情形：

$$S_{XY}(\Omega )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{R}_{XY}(k)e^{-j\Omega k}\text{\hspace{1em}(9.26)}$$ $$R_{XY}(k)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{S}_{XY}(\Omega )e^{j\Omega k}d\Omega \text{\hspace{1em}(9.27)}$$

性质：$S_{XY}(\Omega +2\pi )=S_{XY}(\Omega )$、$S_{XY}(\Omega )=S_{YX}(-\Omega )$、$S_{XY}(-\Omega )=S_{XY}^{\ast }(\Omega )$，同样一般为复值。

9.3 白噪声