第06章 非理想运放：失调、误差与精度账

这一篇在干嘛？

前面几章我们一直把运放当”理想”的用。这一章开始算账：真实运放有增益不足、误差来源一堆，我们用环路增益（loop gain）Aβ 这把尺子，把同相、反相、差分三种电路的误差和稳定性一次算清。

两类误差源：DC 误差与 AC 误差

运放的误差分两大类：

• DC 误差（直流误差）：比如输入失调电压（input offset voltage，输入为 0 时输出不为 0 的等效输入电压）和输入偏置电流（input bias current，流进两个输入端的直流电流）。它们在运放可用频率范围内基本恒定——偏置电流在 1 kHz 是 10 pA，在 10 kHz 还是 10 pA。这类误差好预测、好补偿，后面的章节再专门处理。
• AC 误差（交流误差）：比如共模抑制比（CMRR，共模信号被抑制的程度）、电源抑制比（PSRR，电源波动被抑制的程度）、输出阻抗、峰峰输出电压、差分增益、差分相位、相位裕度等。它们才是本章的主角，因为工作频率越高，AC 误差越严重。数据手册上保证的 CMRR 通常只在直流或极低频有效，频率一上去就往下掉。

其中最重要的是差分增益——也就是我们一直说的开环增益（open loop gain）。其他 AC 指标大多是从它派生出来的。

为什么反馈能救我们？因为放大器由晶体管搭成，晶体管参数会漂移、有初始偏差；而负反馈把电路的传递函数从”取决于放大器参数”变成”取决于外部无源器件”（电阻电容），后者可以买得很精确、很稳定。代价是：加了反馈，电路就可能不稳定。

常见坑：内部补偿 ≠ 绝对稳定

厂商宣传”内部补偿运放不会振荡”。原书说得很狠：唯一绝对稳定的内部补偿运放，是躺在工作台上没上电的那一颗！ 只要外部电路条件凑齐（比如容性负载、杂散电容），它照样振铃甚至振荡。外部补偿（externally compensated）运放不加稳定元件根本不能用，但换来的自由是：高手可以把性能榨到最后一滴。

反馈系统的标准框图与经典方程

任何反馈系统的稳定性都能用下面这个框图判断。

两个基本方程：输出等于误差乘放大器增益：

$$V_{OUT}=EA\text{\hspace{1em}(6-1)}$$

误差等于输入减去反馈回来的那一份输出：

$$E=V_{IN}-\beta V_{OUT}\text{\hspace{1em}(6-2)}$$

把 (6-2) 代入 (6-1)：

$$\frac{V_{OUT}}{A}=V_{IN}-\beta V_{OUT}\text{\hspace{1em}(6-3)}$$

合并同类项：

$$V_{OUT}\left(\frac{1}{A}+\beta \right)=V_{IN}\text{\hspace{1em}(6-4)}$$

整理出经典反馈方程：

$$\frac{V_{OUT}}{V_{IN}}=\frac{A}{1+A\beta }\text{\hspace{1em}(6-5)}$$

白话：闭环增益 = 放大器增益除以”1 加环路增益”。当 Aβ 远大于 1 时，它退化为理想反馈方程：

$$\frac{V_{OUT}}{V_{IN}}=\frac{1}{\beta }\text{\hspace{1em}(6-6)}$$

这时增益只由反馈系数 β 决定，而 β 由稳定的无源器件实现——这就是”增益可预测、可稳定”的全部秘密。

Aβ 太重要，专门起了名字叫环路增益（loop gain）。测量方法：把输入接地（电流输入则开路），把环路剪断，从断口注入测试信号、量返回信号，比值就是 Aβ。

关键判据：当环路增益趋近 1∠-180°（复数的 -1）时，式 6-5 的分母趋于零，增益趋于无穷大——输出会一头撞向电源轨。撞上去之后有两种下场：

1. 停死在电源轨上不再动弹，叫锁死（lockup）；
2. 在正负电源轨之间来回蹦，叫振荡（oscillatory）。

误差也有专门的方程——把 (6-1)、(6-2) 联立改写：

$$E=\frac{V_{IN}}{1+A\beta }\text{\hspace{1em}(6-7)}$$

两个结论：误差与输入信号成正比（输入大、输出大、需要的驱动电压也大）；误差与环路增益成反比——环路增益越大，误差越小。但环路增益大了稳定性又变差，精度与稳定永远在讨价还价。

同相放大器：推导闭环方程

放大器本身的传递方程（a 是运放开环增益，V_B 是反相输入端电压）：

$$V_{OUT}=a(V_{IN}-V_B)\text{\hspace{1em}(6-8)}$$

用分压规则（假设运放输入阻抗无穷大，偏置电流 I_B = 0）写出反馈电压：

$$V_B=\frac{V_{OUT}{Z}_G}{Z_F+Z_G}\text{\hspace{1em}(6-9)}$$

代入合并：

$$V_{OUT}=a{V}_{IN}-\frac{a{Z}_G{V}_{OUT}}{Z_G+Z_F}\text{\hspace{1em}(6-10)}$$

整理成闭环传递函数：

$$\frac{V_{OUT}}{V_{IN}}=\frac{a}{1+\frac{a{Z}_G}{Z_G+Z_F}}\text{\hspace{1em}(6-11)}$$

把式 6-11 和经典方程 6-5 逐项对照，立刻得到同相电路的环路增益方程：

$$A\beta =\frac{a{Z}_G}{Z_G+Z_F}\text{\hspace{1em}(6-13)}$$

同时发现：同相电路里反馈系统的 A 就是运放开环增益 a 本身（A_NON-INV = a）。

这个环路增益也可以用”剪环法”独立验证。看开环接法：

测试电压 V_TEST 经运放放大为 aV_TEST，再被 Z_F、Z_G 分压返回：

$$V_{RETURN}=\frac{a{V}_{TEST}{Z}_G}{Z_F+Z_G}\text{\hspace{1em}(6-14)}$$

返回量与注入量之比就是环路增益，与式 6-13 完全一致：

$$\frac{V_{RETURN}}{V_{TEST}}=A\beta =\frac{a{Z}_G}{Z_F+Z_G}\text{\hspace{1em}(6-15)}$$

反相放大器：增益不同，稳定性相同

运放的传递方程（V_A 是反相输入节点电压，注意负号）：

$$V_{OUT}=-a{V}_A\text{\hspace{1em}(6-16)}$$

用叠加定理加分压规则写节点电压：

$$V_A=\frac{V_{IN}{Z}_F}{Z_G+Z_F}+\frac{V_{OUT}{Z}_G}{Z_G+Z_F}\text{\hspace{1em}(6-17)}$$

联立化简得到反相电路的闭环传递函数：

$$\frac{V_{OUT}}{V_{IN}}=\frac{\frac{-a{Z}_F}{Z_G+Z_F}}{1+\frac{a{Z}_G}{Z_G+Z_F}}\text{\hspace{1em}(6-18)}$$

同样用剪环法验证。反相运放剪断反馈环：

$$\frac{V_{RETURN}}{V_{TEST}}=\frac{a{Z}_G}{Z_G+Z_F}=A\beta \text{\hspace{1em}(6-19)}$$

对比之后有三个非常重要的发现：

1. 同相与反相的传递函数不同（式 6-11 vs 式 6-18）：同一组 Z_F、Z_G，增益的大小和极性都不一样。反相电路里 A = a·Z_F/(Z_G+Z_F)，不再是 a 本身。
2. 但两者的环路增益完全相同（式 6-15 = 式 6-19）——所以两种电路的稳定性表现一模一样。
3. 这印证了一个大原则：稳定性与输入信号无关，只由环路决定。

差分放大器：还是同一个环路增益

电路传递方程（输出正比于两输入之差）：

$$V_{OUT}=a{V}_E=a(V_{+}-V_{-})\text{\hspace{1em}(6-20)}$$

正输入端电压用分压规则写出：

$$V_{+}=V_2\frac{Z_F}{Z_F+Z_G}\text{\hspace{1em}(6-21)}$$

负输入端电压要叠加输出反馈的一份：

$$V_{-}=V_1\frac{Z_F}{Z_F+Z_G}-V_{OUT}\frac{Z_G}{Z_F+Z_G}\text{\hspace{1em}(6-22)}$$

三者联立：

$$V_{OUT}=a\left[\frac{V_2{Z}_F}{Z_F+Z_G}-\frac{V_1{Z}_F}{Z_F+Z_G}-\frac{V_{OUT}{Z}_G}{Z_F+Z_G}\right]\text{\hspace{1em}(6-23)}$$

代数化简后得到差分增益：

$$\frac{V_{OUT}}{V_2-V_1}=\frac{\frac{a{Z}_F}{Z_F+Z_G}}{1+\frac{a{Z}_G}{Z_F+Z_G}}\text{\hspace{1em}(6-24)}$$

对照后发现环路增益又一次是它：

$$A\beta =\frac{a{Z}_G}{Z_G+Z_F}\text{\hspace{1em}(6-25)}$$

三种电路（同相、反相、差分）传递函数各不相同，但环路增益方程完全一样。

关键结论：稳定性只看环路增益

这一章真正要带走的三句话：

1. 误差 = V_IN/(1+Aβ)：想要精度高，就把环路增益做大；但环路增益大，稳定性余量就小。
2. 稳定性与输入无关：算环路增益时输入本来就要接地/开路，所以任何”换个输入信号就稳定了”的说法都是错的。
3. 同相、反相、差分的环路增益方程完全相同：Aβ = aZ_G/(Z_G+Z_F)。这意味着后面几章讲的补偿方法对三种接法通用。

例题

例 1（同相放大器误差核算）：某运放低频开环增益 a = 100 000（100 dB），接成同相放大器，Z_G = 1 kΩ，Z_F = 9 kΩ（理想闭环增益 10 倍）。求环路增益、实际闭环增益和误差。

• 环路增益：由式 6-13，Aβ = aZ_G/(Z_G+Z_F) = 100 000 × 1k/10k = 10 000（80 dB）。
• 实际闭环增益：由式 6-11，a/(1+Aβ) = 100 000/10 001 ≈ 9.999，比理想值 10 低了约 0.01%。
• 相对误差：由式 6-7，误差相对输入为 1/(1+Aβ) = 1/10 001 ≈ 0.01%。

例 2（换一组电阻看看）：同样 a = 100 000，改接成反相放大器，Z_G = Z_F = 1 kΩ（理想增益 -1）。此时 A = a·Z_F/(Z_G+Z_F) = 50 000，但环路增益仍是 Aβ = a·Z_G/(Z_G+Z_F) = 100 000/2 = 50 000（约 94 dB）。增益精度同样由 1/(1+Aβ) ≈ 0.002% 决定——印证了”接法不同、稳定性相同”。

常见坑

• 别把开环增益 a 和环路增益 Aβ 混为一谈：决定误差和稳定性的是后者，它比 a 小得多（被 Z_G/(Z_G+Z_F) 打了折）。
• 数据手册的 CMRR、PSRR 是直流或低频下测的，高频下会恶化。要按你电路的实际工作频率查曲线，不要抄 DC 值。
• “输入接什么信号会影响稳定性”是错觉——输入在稳定性分析里根本不出现。

通关标准：

1. 能默写 V_OUT/V_IN = A/(1+Aβ) 和 E = V_IN/(1+Aβ)，并说清 Aβ 叫什么、怎么测。
2. 能独立推导同相、反相、差分三种电路的闭环方程，并对照出各自的环路增益。
3. 能说出”三种接法传递函数不同、环路增益相同”意味着什么。
4. 知道 Aβ→1∠-180° 会发生什么（锁死或振荡），以及为什么误差和稳定性是一对矛盾。

自测：环路增益 Aβ 是怎么定义和测量的？

把输入接地（电流输入则开路）、把反馈环剪断，从断口注入测试信号 V_TEST，量返回信号 V_RETURN，Aβ = V_RETURN/V_TEST。它是复数，既有幅度又有相位。

自测：为什么说误差与稳定性是一对矛盾？

由 E = V_IN/(1+Aβ)，环路增益越大误差越小、精度越高；但 Aβ 越大意味着 0 dB 穿越频率越靠近运放的极点区，相位滞后越多，越容易逼近 1∠-180° 的振荡条件。想精度就得让一部分稳定性余量。

自测：同相和反相电路用同一组电阻，稳定性一样吗？为什么？

一样。虽然两者的闭环传递函数不同（反相有负号、增益大小也不同），但环路增益都是 aZ_G/(Z_G+Z_F)，而稳定性只由环路增益决定，与输入和接法细节无关。

自测：理想反馈方程 1/β 成立的前提是什么？

Aβ >> 1。此时闭环增益只由反馈网络 β 决定，与运放自身增益 a 几乎无关。Aβ 不够大时（比如高增益、高频），实际增益会偏离 1/β，偏离量恰好是 1/(1+Aβ) 那份误差。

自测：内部补偿运放还可能振荡吗？

可能。“内部补偿”只保证按应用说明使用时大致稳定；容性负载、输入杂散电容等外部条件引入的额外极点会吃掉相位裕度，导致振铃、过冲甚至振荡。原书原话：唯一绝对稳定的内部补偿运放是没通电的那一颗。