第03章 理想运放方程：虚短虚断推遍一切

这一篇在干嘛？

本章是全书的”引擎室”：先给出理想运放的五个假设，再手把手推导同相放大器、反相放大器、加法器、减法器的核心公式。这些公式贯穿全书——后面每一章的电路分析都建立在它们之上。学会本章，运放电路分析就只剩”套公式 + 算电阻”。

3.1 理想运放的五个假设

世界上不存在理想运放，但现代运放已经足够接近理想，以至于”理想分析”的结果与真实测量几乎一致（尤其在几 kHz 以内的低频段）。运放偏离理想只有两种方式：一是直流参数（如输入失调电压）不为零；二是交流参数（如增益）随频率变化，从直流时的大增益衰减到高频时的小增益。

理想运放的五个假设（后面所有推导的地基）：

1. 输入电流为零：流入运放两个输入引脚的电流 $I_{IN}=0$。这在 FET（场效应管）输入运放中几乎完全成立（输入电流可小于 1 pA）；但在双极型高速运放中可能高达几十 µA，要注意场合。
2. 开环增益无穷大：运放会把输出电压推到任何值，直到满足输入条件。现实中输出接近电源轨时会饱和，但”现实只是给假设划了边界”，并不推翻假设。
3. 两输入端电压差为零：这是增益无穷大的直接推论——增益 = 输出 ÷ 输入差，输出有限而增益无穷大，则输入差必须为零。这就是”虚短（virtual short）“：两个输入端像被一根看不见的导线短接，但并非真导线（没有电流直接穿过）。由此引申：若一个输入端接固定电压（如地），另一个输入端就等于同一个电位（接地的情形称”虚地 virtual ground”）。
4. 输出阻抗为零：理想运放可驱动任意负载而自身不产生压降。多数运放输出阻抗在低电流时只有零点几欧姆，此假设通常成立。
5. 频率响应平坦：增益不随频率变化。只要把运放限制在低频使用，这个假设就是真的。

汇总成表（原书表 3–1）：

参数名称	符号	理想值
输入电流	$I_{IN}$	0
输入失调电压	$V_{OS}$	0
输入阻抗	$Z_{IN}$	∞
输出阻抗	$Z_{OUT}$	0
增益	$a$	∞

名词解释

• 同相输入（+）/ 反相输入（−）：从”+“输入的信号在输出同相位放大；从”−“输入的信号在输出反相放大。
• 失调电压（offset voltage）：实际运放两输入端即使等电压，输出也可能不为零，等效于输入端串了一个小误差电压。理想假设它为 0。
• 虚断：输入电流为零，输入端像”断开”了一样——这就是假设 1 的通俗叫法。虚短 + 虚断 = 运放电路分析的两把万能钥匙。

本章只讨论**电压反馈（VFA）**型运放；电流反馈（CFA）型在第 8 章。

3.2 同相放大器（Noninverting Op Amp）

信号 $V_{IN}$ 接运放的同相输入端（+）。由于输入阻抗无穷大，信号源几乎不费任何力气；由于虚短，反相输入端（−）的电位必须等于 $V_{IN}$。

运放的输出会持续驱动电流流过 $R_F$，直到反相输入端恰好等于 $V_{IN}$ 为止。此时 $V_{IN}$ 正好”落”在 $R_G$ 两端。而 $R_F$ 与 $R_G$ 构成一个以 $V_{OUT}$ 为输入、以 $V_{IN}$ 为输出的分压器——因为虚断（没有电流流进运放输入脚），分压规则合法适用：

$$V_{IN}=V_{OUT}\frac{R_G}{R_G+R_F}\text{\hspace{1em}(3-1)}$$

解出增益：

$$\frac{V_{\text{OUT }}}{V_{\text{IN }}}=\frac{R_{\mathrm{G}}+R_{\mathrm{F}}}{R_{\mathrm{G}}}=1+\frac{R_{\mathrm{F}}}{R_{\mathrm{G}}}\text{\hspace{1em}(3-2)}$$

• $R_F$：反馈电阻（Feedback），从输出接回反相输入端；
• $R_G$：增益设定电阻（Gain resistor），从反相输入端接地；
• 增益恒为正（≥ 1），输入输出同相位，故称”同相”。

白话解释：同相放大器增益 = 1 + 反馈电阻比。增益只由两个电阻的比值决定，与运放自身参数无关——这正是负反馈的魔法：它把不稳定的放大器”锁”进了由稳定电阻定义的增益里。

特例：单位增益缓冲器（unity gain buffer）。当 $R_G$ 远大于 $R_F$（即 $R_F/R_G\Rightarrow 0$）时：

$$V_{\text{OUT}}=1\times V_{\text{IN}}\text{\hspace{1em}(3-3)}$$

增益为 1，电路不起”放大”作用，只做阻抗变换——高阻抗信号源直接接它，输出以零阻抗把信号”转述”出去，防止信号被负载拖垮。实际做缓冲时通常把 $R_G$ 删掉，$R_F$ 也删掉（删 $R_F$ 时必须用导线短接其位置），即输出直接接反相输入端。但部分运放输出直接短接反相输入会自毁，所以很多缓冲电路保留 $R_F$，其作用是限流保护输入端 ESD（静电放电）结构（典型限流 < 1 mA），阻值几乎任意（常用 20 kΩ）。注意：电流反馈放大器中 $R_F$ 绝不能省，它决定稳定性。

设计要点：增益看比值，不看绝对值。$R_F=10\text{ k},R_G=10\text{ k}$ 时增益是 2；$R_F=100\text{ k},R_G=100\text{ k}$ 时增益还是 2。电阻的绝对值决定的是电流消耗、杂散电容影响等”阻抗层面”的事；增益只由 $R_F/R_G$ 比值决定。

3.3 反相放大器（Inverting Op Amp）

信号 $V_{IN}$ 经 $R_G$ 接反相输入端（−），同相输入端（+）接地。由于虚短，反相输入端电位 = 0 V——但它是被反馈”按”在 0 V 的，不是真接地，所以叫虚地（virtual ground）。

由于虚断，流进运放输入脚的电流为零，于是流过 $R_G$ 的电流必须全部流过 $R_F$。由基尔霍夫定律（KCL）：

$$I_1=\frac{V_{\text{IN}}}{R_G}=-I_2=-\frac{V_{\text{OUT}}}{R_F}\text{\hspace{1em}(3-4)}$$

• $I_1$：从输入经 $R_G$ 流向虚地点的电流；$I_2$：从虚地点经 $R_F$ 流向输出的电流。负号来自电流方向约定（也体现了”反相”）。
• $V_{IN}/R_G$：因为虚地，$R_G$ 两端电压就是 $V_{IN}$；$V_{OUT}/R_F$：$R_F$ 两端电压就是 $V_{OUT}$。

整理得反相放大器增益公式：

$$\frac{V_{\text{OUT}}}{V_{\text{IN}}}=-\frac{R_{\mathrm{F}}}{R_{\mathrm{G}}}\text{\hspace{1em}(3-5)}$$

白话解释：增益 = −（反馈电阻 ÷ 输入电阻）。负号意味着输出信号与输入反相：输入正弦波，输出就是倒过来的正弦波。

两个实用结论：

1. 与同相放大器一样，增益只由 $R_F/R_G$ 比值决定，与运放参数无关。$R_F=10\text{ k},R_G=10\text{ k}$ 时增益为 −1；两者都换成 100 k 时增益仍是 −1。
2. 输入阻抗由 $R_G$ 决定——因为反相输入端被钳在虚地，信号源看到的负载就是 $R_G$。这与同相放大器（输入阻抗无穷大）形成鲜明对比，选型时必须考虑。

3.4 加法器（The Adder）

在反相放大器上多接几路输入，就得到加法器。关键在于：反相输入端是虚地，所以每一路新加的输入都有自己独立的”接地”参考点——新增输入完全不影响已有输入的响应（各通道互不串扰），这是加法器最优雅的性质。

用叠加原理逐路计算（每一路就是一个增益为 $-R_F/R_N$ 的反相放大器）：

$$V_{OUTN}=-\frac{R_F}{R_N}{V}_N\text{\hspace{1em}(3-6)}$$ $$V_{OUT1}=-\frac{R_F}{R_1}{V}_1\text{\hspace{1em}(3-7)}$$ $$V_{OUT2}=-\frac{R_F}{R_2}{V}_2\text{\hspace{1em}(3-8)}$$