第02章 电路理论复习：分析运放的四把钥匙

这一篇在干嘛？

分析运放电路不需要高深数学，但需要几把”顺手的钥匙”：欧姆定律、基尔霍夫定律、电压/电流分配规则、戴维南定理、叠加原理。本章把它们一次讲清——后面所有章节推导运放公式时都会反复用它们，用到即练习。

电路由什么组成：无源与有源

电路（Circuit）是无源元件（电阻、电容等，不需要供电就能工作）和有源元件（晶体管、运放等，需要供电才能工作）按特定方式连接起来的组合。模拟设计的”艺术”部分是发明电路结构，好在绝大多数需求都已有公开的成熟电路——结构靠抄，参数靠算，这正是本章的目的。

钥匙一：欧姆定律与基尔霍夫定律

欧姆定律

$$V=IR\text{\hspace{1em}(2-1)}$$

• $V$：电压（伏特 V），是驱使电流的”压力”；
• $I$：电流（安培 A），单位时间流过的电荷量；
• $R$：电阻（欧姆 Ω），对电流的阻碍程度。

白话解释：电压 = 电流 × 电阻。它对单个元件、一段电路、整个电路都成立——只要知道其中两个量就能算出第三个。这是电子学中最基本的公式，没有之一。

基尔霍夫电压定律（KVL）

$$\sum V_{SOURCES}=\sum V_{DROPS}\text{\hspace{1em}(2-2)}$$

白话解释：沿一条回路走一圈，所有电源提供的电压 = 所有元件上降掉的电压（电压降的代数和）。能量不会凭空产生也不会消失，电源”泵”上来的电压必须被路上的元件一个个”消耗”掉。

对图 2–3 的串联电路具体写出来就是：

$$V=V_{R1}+V_{R2}\text{\hspace{1em}(2-3)}$$

即电源电压 $V$ 被 $R_1$ 和 $R_2$ 按比例分掉了。

基尔霍夫电流定律（KCL）

$$\sum I_{IN}=\sum I_{OUT}\text{\hspace{1em}(2-4)}$$

白话解释：流入任意一个节点的电流之和 = 流出该节点的电流之和。电荷同样不会在节点上堆积或消失。注意不管电流来自电流源、元件还是导线，都一视同仁。

对图 2–4 的节点：两路电流汇入（$I_1$、$I_2$），分两路流出（$I_3$、$I_4$），进出相等（式 2-5：${\mathsf{I}}_1+{\mathsf{I}}_2={\mathsf{I}}_3+{\mathsf{I}}_4$）。

钥匙二：电压分配规则（分压）

设 $V$ 加在 $R_1$、$R_2$ 串联电路上，输出从 $R_2$ 两端取。由于输出端不接负载，流过两个电阻的是同一个电流。由欧姆定律：

$$I=\frac{V}{R_1+R_2}\text{\hspace{1em}(2-6)}$$ $$V_{OUT}=I{R}_2\text{\hspace{1em}(2-7)}$$

把 2-6 代入 2-7 消去 $I$，得到最常用的分压公式：

$$V_{OUT}=V\frac{R_2}{R_1+R_2}\text{\hspace{1em}(2-8)}$$

白话解释：输出电压 = 输入电压 ×（“输出电阻 ÷ 总电阻”）。$R_2$ 占总电阻的比例越大，分到的电压越多。量纲上比值无量纲，结果仍是电压。

什么时候用：想从一个电压”抽”出一部分时。第 3 章推导同相放大器增益公式时用的就是它。

使用前提（重要）：输出端不能带负载。如果 $R_2$ 上并联了一个负载电阻，公式就不再成立；不过可以把 $R_2$ 与负载电阻先并联成一个等效电阻，再代入分压公式，结果依然精确。很多人在负载电阻是输出电阻 10 倍以上时就直接忽略负载，但这个偷懒最多会带来约 10% 的误差。

钥匙三：电流分配规则（分流）

总电流 $I$ 流入 $R_1$ 与 $R_2$ 的并联电路，求 $R_2$ 支路的电流 $I_2$。由 KCL（式 2-9）与”两支路电压相等”（式 2-10：$V=I_1{R}_1=I_2{R}_2$）：

$$I=I_1+I_2\text{\hspace{1em}(2-9)}$$ $$V=I_1{R}_1=I_2{R}_2\text{\hspace{1em}(2-10)}$$

联立消去 $V$ 与 $I_1$，整理得：

$$I_2=I\left(\frac{R_1}{R_1+R_2}\right)\text{\hspace{1em}(2-12)}$$

白话解释：注意分母上取的是对面那条支路的电阻！电阻越小分到的电流越多——电流走”好走的路”。记忆技巧：分压规则用”自己的电阻 ÷ 总电阻”，分流规则用”对面的电阻 ÷ 总电阻”。

钥匙四：戴维南定理（Thevenin’s Theorem）

它解决什么问题

复杂电路里，往往只有一小部分是你关心的。戴维南定理允许你把”不关心的那一大片”整个电路替换成一个电压源 $V_{TH}$ 串一个电阻 $R_{TH}$ 的简单等效电路，避免联立求解一堆方程。

• 电压源输入用戴维南定理；
• 电流源输入用**诺顿（Norton）**定理（把电路等效为电流源并电阻）。诺顿用得少，需要时再查教材即可。

三步操作法

1. 算开路电压：站在 X–Y 端口上（想象双脚踩在端口两端），背对负载往里看，用分压规则算出空载电压 $V_{TH}$；
2. 算等效阻抗：仍然站在端口上，把独立电压源短路，算端口看进去的阻抗；
3. 替换：把被替换的电路整体换成 $V_{TH}$ 串联 $R_{TH}$（原书图 2–8 的等效电路），然后正常分析。

代价：被替换电路内部的细节信息丢了——但你本来就不关心，所以无所谓。

例题：戴维南定理简化串并联电路

例题 1（原书图 2–9A）：求下图电路的输出电压 $V_{OUT}$。

解：

第一步，站在 X–Y 端口，用分压规则求开路电压：

$$V_{TH}=V\frac{R_2}{R_1+R_2}\text{\hspace{1em}(2-13)}$$

第二步，把电压源 $V$ 短路，从端口看进去，$R_1$ 与 $R_2$ 变成并联：

$$R_{TH}=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}=R_1\Vert R_2\text{\hspace{1em}(2-14)}$$

记号说明：两条竖线 $\Vert$ 表示”并联”，$R_1\Vert R_2=R_1{R}_2/(R_1+R_2)$。

第三步，换上等效电路后再用一次分压规则（$R_{TH}$、$R_3$、$R_4$ 现在是一条串联回路）：

$$V_{OUT}=V_{TH}\frac{R_4}{R_{TH}+R_3+R_4}=V\left(\frac{R_2}{R_1+R_2}\right)\frac{R_4}{\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}+R_3+R_4}\text{\hspace{1em}(2-15)}$$

注意最后答案的形式是两个分压器连乘，一眼就能看出电路结构——这是戴维南定理的额外好处：答案出来就是”可读懂”的形式，而不是一堆系数大杂烩。

对比：硬算有多痛苦

同一电路用网孔电流法硬解：设两个网孔电流 $I_1$、$I_2$，列两个回路方程（式 2-16、2-17）：

$$V=I_1\left(R_1+R_2\right)-I_2{R}_2\text{\hspace{1em}(2-16)}$$ $${\mathsf{I}}_2({\mathsf{R}}_2+{\mathsf{R}}_3+{\mathsf{R}}_4)={\mathsf{I}}_1{\mathsf{R}}_2\text{\hspace{1em}(2-17)}$$

联立求解（式 2-18 代入 2-16，解出 $I_2$，即式 2-20），再由 $V_{OUT}=I_2{R}_4$（式 2-21）得到：

$$V_{OUT}=V\frac{R_4}{\frac{(R_2+R_3+R_4)(R_1+R_2)}{R_2}-R_2}\text{\hspace{1em}(2-22)}$$

结果和式 2-15 等价，但费力得多，而且形式上认不出分压结构，还得继续化简。费了牛劲，没捞着好——结论：先看电路能不能用戴维南拆，再考虑列方程。

钥匙五：叠加原理（Superposition）

适用条件：只对线性电路成立。思路：电路里有多个独立电源时，让它们一个一个单独起作用（其余电源置零：电压源短路、电流源开路），分别算输出，最后把结果代数相加。

情形一：$V_1$ 接地（置零），只剩 $V_2$。此时 $R_1\Vert R_2$ 相当于 $V_2$ 负载侧的并联电阻，$V_2$ 与 $R_3$、$R_1\Vert R_2$ 构成分压器（原书图 2–12）：

$$V_{OUT2}=V_2\frac{R_1\Vert R_2}{R_3+R_1\Vert R_2}\text{\hspace{1em}(2-23)}$$

情形二：$V_2$ 接地，只剩 $V_1$。同理（原书图 2–13）：

$$V_{OUT1}=V_1\frac{R_2\Vert R_3}{R_1+R_2\Vert R_3}\text{\hspace{1em}(2-24)}$$

合并（式 2-25）——每个电源贡献一份输出，代数相加：

$$V_{OUT}=V_1\frac{R_2\Vert R_3}{R_1+R_2\Vert R_3}+V_2\frac{R_1\Vert R_2}{R_3+R_1\Vert R_2}\text{\hspace{1em}(2-25)}$$

白话解释：每个电源贡献一份输出，各管各的，互不干扰——这就是”线性”的含义。叠加结果的可读性极好：从式 2-25 一眼就能看出，若 $V_1$、$V_2$ 大小相等极性相反，且 $R_1=R_3$，则 $V_{OUT}=0$。用网孔方程解完再想得出这种结论，得费九牛二虎之力化简成对称形式。第 3 章的加法器和减法器公式推导都靠它。

例题实战一：饱和晶体管开关电路

例题 2（原书 2.7 节）：设计一个晶体管开关电路，规格：$V_{IN}=12\text{ V}$ 时输出 $V_{OUT}<0.4\text{ V}$（导通饱和，灌电流 $I_{SINK}<10\text{ mA}$）；$V_{IN}<0.05\text{ V}$ 时输出 $V_{OUT}>10\text{ V}$（截止，负载电流 $I_{OUT}=1\text{ mA}$）。

解：

第一步：选集电极电阻 $R_C$（晶体管关断时考虑）。关断时集电极要输出大于 10 V，意味着 $R_C$ 上最多只能掉 2 V，否则 1 mA 的负载电流会把输出电压拉到 10 V 以下：

$$R_C\le \frac{V_{+12}-V_{OUT}}{I_{OUT}}=\frac{12-10}{1}=2\mathrm{k\Omega }\text{\hspace{1em}(2-26)}$$

• $V_{+12}$：电源电压 12 V；$I_{OUT}$：负载电流 1 mA。
• 取 $R_C=2\mathrm{k\Omega }$。

第二步：算需要多大的基极电流（晶体管导通时考虑）。导通时晶体管既要把集电极拉到 0.4 V（流过 $R_C$ 的电流 $\approx 12/2\text{ k}=6\text{ mA}$），还要吸收 10 mA 灌电流。晶体管放大倍数 $\beta =50$（集电极电流是基极电流的 β 倍）：

$$I_C=\beta I_B=\frac{V_{+12}-V_{CE}}{R_C}+I_L\approx \frac{V_{+12}}{R_C}+I_L\text{\hspace{1em}(2-27)}$$

其中 $I_C\approx 6\text{ mA}+10\text{ mA}=16\text{ mA}$。

第三步：选基极电阻 $R_B$。基极电阻要小到能让输入电压”顶开”足够的基极电流：

$$R_B\le \frac{V_{IN}-V_{BE}}{I_B}\text{\hspace{1em}(2-28)}$$

• $V_{BE}$：基极-发射极压降，硅管约 0.6 V；$I_B=I_C/\beta$，其中 $I_C\approx 6\text{ mA}+10\text{ mA}=16\text{ mA}$。

代入数值：

$$R_B\le \frac{\left(V_{IN}-V_{BE}\right)\beta }{I_C}=\frac{(12-0.6)\times 50\mathrm{V}}{\left[\frac{12}{2}+(10)\right]\mathrm{mA}}=35.6\mathrm{k\Omega }\text{\hspace{1em}(2-29)}$$

所以 $R_B$ 取 35.6 kΩ 或更小即可保证晶体管在带载时也能进入饱和。这些计算忽略了一些次要因素，但精度在 98% 左右，工程上足够。

例题实战二：晶体管放大器（模拟设计的”难”在哪）

例题 3（原书 2.8 节）：设计一个交流电压增益为 4、峰-峰信号摆幅 4 V 的晶体管放大器。

为什么放大器比开关难：开关只有”开/关”两个状态，放大器却要让晶体管在所有状态下都保持线性——这正是”模拟设计比数字设计难”的根源。

解：

第一步：定静态工作点。选 $I_C=10\text{ mA}$（此时晶体管 β = 100）；集电极电压定在 8 V：向上摆 2 V（8→10 V）时 $R_C$ 上仍有压降，晶体管不关断；集电极-发射极电压定 4 V，则发射极电压 $V_E=8-4=4\text{ V}$，向下摆 2 V（8→6 V）时晶体管两端仍有 2 V，保持线性。

第二步：算集电极电阻和发射极总电阻：

$$R_C\le \frac{V_{+12}-V_C}{I_C}=\frac{12\text{ V}-8\text{ V}}{10\text{ m A}}=400\Omega \text{\hspace{1em}(2-30)}$$ $$R_E=R_{E1}+R_{E2}=\frac{V_E}{I_E}\cong \frac{V_E}{I_C}=\frac{4\text{ V}}{10\text{ m A}}=400\Omega \text{\hspace{1em}(2-31)}$$

• $I_E=I_B+I_C$ 是发射极电流，因为 $I_B$ 很小，近似等于 $I_C$。

第三步：用戴维南等效算基极偏置电阻 $R_1$、$R_2$（这正是戴维南定理的用武之地）。基极偏置分压器 $R_1$/$R_2$ 等效为 $V_{TH}$ 串联 $R_{TH}$（原书图 2–16）。基极电流：

$$I_B=\frac{I_C}{\beta }=\frac{10\text{ m A}}{100}=0.1\text{ m A}\text{\hspace{1em}(2-32)}$$

分压器的戴维南等效：

$$V_{TH}=\frac{12R_2}{R_1+R_2}\text{\hspace{1em}(2-33)}$$ $$R_{TH}=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}\text{\hspace{1em}(2-34)}$$

基极电压需要 4.6 V（= 发射极 4 V + $V_{BE}$ 0.6 V）。假设 $R_{TH}$ 上掉 0.4 V（β 有误差时这个压降不完全准，但差几百毫伏没关系）：

$$R_{TH}=\frac{0.4\text{ V}}{0.1\text{ m A}}=4\mathrm{k\Omega }\text{\hspace{1em}(2-35)}$$

再用分压规则定比例（负载电流已计入 $R_{TH}$ 压降）：

$$V_{TH}=I_B{R}_{TH}+V_B=0.4+4.6=5=12\frac{R_2}{R_1+R_2}\text{\hspace{1em}(2-36)}$$

解得：

$$R_2=\frac{7}{5}{R}_1\text{\hspace{1em}(2-37)}$$

$R_1$ 与 $R_2$ 比值接近 1，取 $R_1=11.2\mathrm{k\Omega }$、$R_2=8\mathrm{k\Omega }$（同时满足 $R_{TH}\approx 4\mathrm{k\Omega }$）。

第四步：定交流增益。发射极旁路电容 $C_E$ 在高频时把 $R_{E2}$ 短路，交流增益约为 $R_C/R_{E1}$：

$$R_{E1}=\frac{R_C}{G}=\frac{400}{4}=100\Omega \text{\hspace{1em}(2-38)}$$ $$R_{E2}=R_E-R_{E1}=400-100=300\Omega \text{\hspace{1em}(2-39)}$$

电容值取决于所需频率响应，起步值可取 $C_{IN}=10\mu \text{F}$、$C_E=1000\mu \text{F}$。

本章工具与第 3 章的连接

工具	在运放电路分析中的用途
欧姆定律	写出电阻上的电流-电压关系（一切推导的砖块）
KCL（基尔霍夫电流定律）	反相放大器：流过 $R_G$ 的电流 = 流过 $R_F$ 的电流
分压规则	同相放大器、减法器：反馈网络把输出分压回反相输入端
戴维南定理	T 型反馈网络化简、复杂反馈网络分析
叠加原理	加法器、减法器：每个输入单独算再相加

常见坑：分压公式当"万能公式"乱套

分压规则只在输出端不带负载时成立。新手常把分压公式直接套在带了负载的输出上，误差可达 10% 以上。正确做法：要么先把负载电阻与输出电阻并联求等效值再代入，要么确认负载电阻至少是输出电阻的几十倍。同样，分流公式的分子是对面支路的电阻，记反了结果刚好错一个比例。

通关标准：

学完本篇你应该能做到：

1. 默写并使用 $V=IR$、KVL、KCL、分压公式（式 2-8）、分流公式（式 2-12）；
2. 按三步法把复杂电路化成戴维南等效，并解释为什么等效后答案更好读；
3. 用叠加原理拆解双电源电路，并说明”电压源置零 = 短路、电流源置零 = 开路”；
4. 完整复述晶体管开关和放大器的设计流程。

自测：分压公式和分流公式的记忆诀窍与前提各是什么？

分压：输出电阻 ÷ 总电阻 × 输入电压；分流：对面电阻 ÷ 总电阻 × 输入电流（阻值小的支路分到更多电流）。前提都是”输出/目标支路不被额外加载”；若带负载，需先求并联等效电阻再计算。

自测：戴维南等效的两步分别怎么算？

第一步：站在端口上背对负载，算空载（开路）电压——常用分压规则；第二步：把独立电压源短路后，算从端口看进去的阻抗（通常是几个电阻的串并联组合）。等效电路为 $V_{TH}$ 串联 $R_{TH}$。

自测：叠加原理置零电源时，电压源和电流源分别怎么处理？

电压源置零 = 用导线短路（它本来就是个零内阻的电压源）；电流源置零 = 开路（断开）。然后每个电源单独算一遍输出，最后代数相加。

自测：为什么晶体管放大器设计比开关电路难？

开关只需保证两个状态（饱和导通 / 截止），放大器必须让晶体管在信号摆动的所有瞬时状态下都保持线性——静态工作点要留足上下摆动的电压余量，任何一边顶到电源轨或饱和区都会削波失真。

自测：晶体管放大器的交流增益由什么决定？为什么 $R_{E2}$ 不参与？

增益 $\approx R_C/R_{E1}$。因为发射极旁路电容 $C_E$ 在信号频率下容抗很小，把 $R_{E2}$ 短路了，只有未被旁路的 $R_{E1}$ 参与交流负反馈。直流偏置则由 $R_{E1}+R_{E2}$ 总值决定。