第07章 交流电路中的功率

Note

交流电路里”电压×电流”不再等于功率——因为电压电流可能不同相。本章引入有功功率、无功功率、视在功率和功率因数四个概念，解释为什么电网公司要给功率因数差的企业罚款，以及怎么用一个电容把功率因数”校正”回来。这是从电路理论走向电力工程的桥梁一章。

7.1 引言

电阻上的瞬时功率是瞬时电压与瞬时电流的乘积。直流电路里有熟悉的 $P=VI$；交流电路里瞬时功率为：

$$p=vi$$

$v$、$i$ 是瞬时值，$p$ 是瞬时功耗。纯电阻电路里 $v$ 与 $i$ 同相，好算；一旦电路含有电抗元件，$v$ 与 $i$ 有相位差，功率计算就变得微妙了——下面从纯电阻讲到纯电抗再到混合负载。

7.2 电阻中的功率

给电阻 $R$ 加正弦电压 $v=V_P\sin \omega t$，则电流 $i=I_P\sin \omega t$（$I_P=V_P/R$）。瞬时功率：

$$p=vi=V_P{I}_P{\sin }^2\omega t=V_P{I}_P\left(\frac{1-\cos 2\omega t}{2}\right)$$

两个要点：

1. 功率以两倍频率波动（${\sin }^2$ 里的倍角 $2\omega t$），但始终非负——电阻只耗能不返能；
2. 余弦项平均值为零，所以平均功率 $P=\frac{1}{2}{V}_P{I}_P=\frac{V_P}{\sqrt{2}}\times \frac{I_P}{\sqrt{2}}=VI$。

这正是第2章 r.m.s.（均方根）值的意义：用 r.m.s. 值算交流功率，公式与直流完全一样。

算一笔具体的账：$v=10\sin 377t$ 加在 50 Ω 电阻上。峰值 $V_P=10$ V，有效值 $V=10/\sqrt{2}\approx 7.07$ V；电流有效值 $I=V/R=7.07/50\approx 0.141$ A。平均功率 $P=VI\approx 1$ W。也可以直接用峰值算：$P=\frac{1}{2}{V}_P{I}_P=\frac{1}{2}\times 10\times 0.2=1$ W，两条路殊途同归。观察图 7.1 还能发现：功率波形始终在横轴上方，以两倍频率脉动，其峰值是 $V_P{I}_P=2$ W，平均值恰好是峰值的一半。

7.3 电容中的功率

电容电流超前电压 90°，故 $v=V_P\sin \omega t$ 时 $i=I_P\cos \omega t$：

$$p=V_P{I}_P\left(\frac{\sin 2\omega t}{2}\right)$$

正弦函数平均值为零，所以平均功率为零。功率在一个周期里先流入电容（储能）、再流回电路（放能）——电容只是能量的”临时仓库”，不消耗能量。

7.4 电感中的功率

电感电流滞后电压 90°，$i=-I_P\cos \omega t$，代入得：

$$p=-V_P{I}_P\left(\frac{\sin 2\omega t}{2}\right)$$

与电容情况只差一个符号（能量往返的时序相反），结论相同：平均功率为零，电感也只是吞吐能量而不耗能。

7.4.1 从能量视角再验证一遍

第4、5章已经给出储能公式：电容储能 $\frac{1}{2}C{V}^2$、电感储能 $\frac{1}{2}L{I}^2$。稳态正弦激励下，元件两端电压（或电流）的有效值恒定，储存的能量在每周期首尾完全相同——能量没有净变化，自然没有净消耗。功率 $p=vi$ 为正的时段，是元件从电源”充电”；$p$ 为负的时段，是把刚存的能量原路”退还”。一个周期下来收支平衡，平均功率只能是零。这个能量视角也预告了第8章谐振的主角戏：L 与 C 之间可以互相倒手能量，形成振荡而无需外界持续做功。

7.5 电阻与电抗混合负载的功率

实际负载往往既有电阻又有电抗。设 $v=V_P\sin \omega t$，电流 $i=I_P\sin (\omega t-\varphi )$，则（积化和差后）：

$$p=\frac{1}{2}{V}_P{I}_P\cos \varphi -\frac{1}{2}{V}_P{I}_P\cos (2\omega t-\varphi )\text{\hspace{1em}(7.1)}$$

瞬时功率分解为两个成分：

• 第二项以 $2\omega$ 振荡、周期平均为零——这是电抗元件储存又返还的能量；
• 第一项是与时间无关的常数——这是电阻元件真正消耗的功率。

于是平均功率（称有功功率，active power，单位瓦特 W）为：

$$P=\frac{1}{2}{V}_P{I}_P\cos \varphi =VI\cos \varphi \text{\hspace{1em}(7.2)}$$

$V$、$I$ 为 r.m.s. 值。那个 $\cos \varphi$ 就是”相位折扣”：相位差越大，同样的 $V$、$I$ 能兑现的功率越少。

7.6 视在功率与功率因数

若只测负载两端 r.m.s. 电压 $V$ 和流过的 r.m.s. 电流 $I$，把两者相乘得到 $VI$，称为视在功率（apparent power）$S$。它不等于实际消耗的功率，但仍是重要指标（发电机、电缆的容量就按它标定）。为免混淆，$S$ 的单位用伏安（volt amperes, VA）而非瓦。

由式 (7.2)，$P=S\cos \varphi$。这个余弦因子叫功率因数（power factor）：

$$\text{power factor}=\frac{P}{S}=\cos \varphi \text{\hspace{1em}(7.4)}$$

物理意义：功率因数衡量”电表读数的乘积里有多少真正变成了有用功”。

例 7.1：某元件两端 50 V（r.m.s.）、电流 5 A（r.m.s.），电流超前电压 30°：

• 视在功率 $S=VI=250$ VA；
• 功率因数 $=\cos 30°=0.866$；
• 有功功率 $P=250\times 0.866=216.5$ W。

易错点：VA、var、W 不能混写

三种单位量纲相同但含义不同：瓦（W）只标有功功率 $P$，伏安（VA）只标视在功率 $S$，乏（var）只标无功功率 $Q$。电机铭牌写 “2 kVA” 说的是容量不是耗电；写 “1500 W” 才是实际做功的功率。单位用错，工程核算全错。

7.7 有功功率、无功功率与功率三角形

式 (7.1) 的第二项虽然不消耗能量，但它的存在迫使电源在周期的一部分时间向电抗元件送能、另一部分时间收回能——这增大了电源必须提供的电流和电缆上的电阻损耗。这部分往返吞吐的功率称为无功功率（reactive power）$Q$。

把复阻抗负载 $\mathbf{Z}=R+\mathrm{j}X$ 的电压相量图各边乘以电流 $I$，就得到功率三角形（power triangle）：

$$\text{active power }P=VI\cos \varphi \text{W}\text{\hspace{1em}(7.5)}$$ $$\text{reactive power }Q=VI\sin \varphi \text{var}\text{\hspace{1em}(7.6)}$$ $$\text{apparent power }S=VI\text{VA}\text{\hspace{1em}(7.7)}$$ $$S^2=P^2+Q^2\text{\hspace{1em}(7.8)}$$

斜边是 $S$，水平底边是 $P$，竖直边是 $Q$——三相鼎立，勾股定理 (7.8) 把它们连成一个整体。

功率三角形还能直观解释”为什么相位差会浪费容量”：把电流同样分解为两个分量——与电压同相的有功分量 $I\cos \varphi$（真正做功）和与电压正交的无功分量 $I\sin \varphi$（往返储能）。发电机和电缆必须同时承载两个分量，无功分量越大，同样的输电容量里”夹带”的无用电流越多。功率因数校正的本质，就是让无功电流在负载本地打转，不要占用电源与线路的容量。

例 7.2：一台 2 kVA 电机接 240 V、50 Hz 电源，功率因数 0.75：

• $S=2000$ VA（铭牌容量即视在功率）；
• $P=S\cos \varphi =2000\times 0.75=1500$ W；
• $\sin \varphi =\sqrt{1-0.75^2}=0.661$，$Q=2000\times 0.661=1323$ var；
• 电流 $I=S/V=2000/240=8.33$ A。

要点口诀

功率三角形记三个数：P 乘 cos、Q 乘 sin、S 是斜边。求电流永远用 $S$（视在）除以电压，因为电缆里流的正是这个总电流。

例 7.2 进阶：同样这台电机，若用钳形电流表只量出 8.33 A、用电压表量出 240 V，两者相乘得到 2000 VA——但要算它每小时耗多少电（度），必须再知道功率因数 0.75，实际有功只有 1500 W。供电局按”有功”计费但按”视在功率+功率因数”考核：如果用户的功率因数过低拉低了电网效率，账单上还会加上”无功电费”罚款。这也是为什么大工厂都会装电容器柜做集中补偿。

7.7.1 一个完整的串联 RL 算例

例：100 V（r.m.s.）、50 Hz 电压加在 40 Ω 电阻与 100 mH 电感的串联上，求电流 r.m.s. 值、视在功率、功率因数、有功功率与无功功率。

先算感抗：$X_L=2\pi fL=2\pi \times 50\times 0.1=31.4\Omega$。

阻抗模 $Z=\sqrt{R^2+X_L^2}=\sqrt{40^2+31.4^2}=50.8\Omega$，电流 $I=V/Z=100/50.8\approx 1.97$ A。

各项功率顺次得到：

• 视在功率 $S=VI=100\times 1.97=197$ VA；
• 功率因数 $\cos \varphi =R/Z=40/50.8=0.787$（也可以用 $P/S$ 验证）；
• 有功功率 $P=S\cos \varphi =197\times 0.787\approx 155$ W（或用 $I^{2}R=1.97^2\times 40\approx 155$ W 交叉验证）；
• 无功功率 $Q=S\sin \varphi$，其中 $\sin \varphi =X_L/Z=0.618$，故 $Q=197\times 0.618\approx 122$ var（或用 $I^2{X}_L$ 验证）。

注意两种算法互相印证——这正是功率三角形的用途：无论从电压电流、从阻抗三角形，还是从 $I^{2}R$ 出发，四个量永远自洽。如果手里只有电阻的电热功率（$I^{2}R$）这一项真实可测的量，其余三个都能由它和相量关系推出来。

7.8 功率因数校正

电源/发电机的输出电压和电流都有上限，因此希望它发出的每一安培都产出有用功率：

• 功率因数为 1 时可用功率最大，全部电流都用于有功；
• 功率因数小于 1 时，可用功率缩水，且无功电流在电缆上产生额外损耗。

感性负载的电流滞后电压，称其功率因数为滞后（lagging）；容性负载则为超前（leading）。大型电机等高功率设备几乎都是感性的（典型功率因数 0.9 或更低），于是整个国家电网的总负载通常呈 0.8–0.9 滞后——发电和配电效率大打折扣，所以电力公司会对功率因数差的工业用户加收费用。

校正方法：在感性负载两端并联一个合适的电容，让电容的超前无功抵消负载的滞后无功——无功电流改为在电容与电感之间就地往返，不再流经电源和长电缆。这既减小了电源电流，又降低了线路损耗。串联电容也能达到类似效果，但并联更常用，因为它不改变负载两端的电压。

例 7.3：给例 7.2 的电机并联电容，把功率因数提到 1.0。

• 需要抵消 1323 var 的滞后无功，即提供 $Q_C=-1323$ var 的超前无功；
• 类比 $P=V^2/R$，有 $Q=V^2/X$，故 $X_C=240^2/1323=43.54\Omega$；
• 由 $X_C=1/(2\pi fC)$：$C=\frac{1}{43.54\times 2\pi \times 50}\approx 73\mu$F。

校正后：有功功率不变（1500 W，电容不耗有功），功率因数为 1 时 $S=P=1500$ VA，电流降为 $1500/240=6.25$ A——从 8.33 A 降到 6.25 A，发电与配电容量省下四分之一。

校正到 0.9 要补多少？ 工程上更常见的做法是部分补偿。思路是：校正前 $Q=1323$ var；目标 $\cos \varphi =0.9$、$P$ 保持 1500 W 不变，则新的视在功率 $S^{\prime }=P/0.9=1667$ VA，新的无功 $Q^{\prime }=S^{\prime }\sin {\varphi }^{\prime }=1667\times 0.436\approx 727$ var。电容只需提供 $1323-727=596$ var，所需电容量约为例 7.3 的一半不到——用更便宜的电容拿走了大部分收益，这正是部分补偿划算的原因。

无功功率的正负约定：习惯上把感性负载产生的无功记为正（电流滞后，滞后功率因数），把容性负载产生的无功记为负（电流超前，超前功率因数）。校正就是让 $Q_L$ 与 $Q_C$ 符号相反、数值相等。当负载被完全补偿时，从电源看进去它”纯阻性”，电流与电压完全同相——这是电网最喜欢的负载形态。

易错点：并联电容不改变负载本身

并联电容校正后，电机两端电压不变、电机的有功功率和工作状态完全不变，变的是电源侧的电流和视在功率。别把”功率因数校正”误解为”给电机省电”——它省的是电网的输电损耗与容量占用。另外把 $\cos \varphi$ 校正到 1 未必划算（高压电容昂贵），工程上常只补到约 0.9。

7.9 三相供电

前面讨论的都是单相供电——家用供电的常见形式，用一对电缆（加地线）送电。对大功率场合（尤其是大型电机）单相并不理想，工业上普遍采用三相供电（three-phase supply）：三个正弦波形相位互差 120°，习惯用红（R）、黄（Y）、蓝（B）标记。

• 三线制：三根导线各供一相，负载接在导线之间；
• 四线制：多一根中线（neutral），负载可接在每相与中线之间。

三相制广泛用于大功率工业配电与电机驱动。

为什么大功率场合偏爱三相？一是三相电机的定子绕组通入互差 120° 的电流能产生平滑旋转的磁场，启动和运行特性远好于单相电机；二是三根导线传输的功率约为单相的三倍，单位导线材料利用率更高；三是瞬时总功率在三相平衡时是恒定的（三个脉动分量互相填平），对发电机和电网都更友好。这也解释了前面”平衡时一只瓦特计读数乘三即可”的道理——三相对称，每相情况完全相同。

7.10 功率的测量

正弦电路的功率由 $V$、$I$ 的 r.m.s. 值和相位角共同决定，所以不能各自独立测电压、电流再相乘算功率。注意万用表虽能分别显示 V 和 I，但单块表并不知道两者的相位关系；功率因数表或”功率计”之所以特别，就是因为它同时采样电压与电流的瞬时波形再做乘积平均（现代数字功率计的原理与电动式瓦特计相同，只是用高速 ADC 和乘法器实现）。

• 单相：用电动式瓦特计（electrodynamic wattmeter）——负载电流流过低电阻磁场线圈，负载电压加在高电阻动圈上，偏转正比于瞬时 $vi$（即瞬时功率）；线圈惯性滤除工频波动，直接读出平均功率，以瓦特刻度。
• 三相三线：由于相间相互作用，两只瓦特计读数相加即总功率（无论三相负载是否对称）；
• 三相四线：一般需要三只瓦特计分别测各相；但若已知系统平衡（各相取功相等），只需一只瓦特计，读数乘以三即总功率。

本篇要点回顾

一页速记

• 纯电阻：$P=VI$（r.m.s.）；纯 L 或 C：平均功率为零。
• 混合负载：$P=VI\cos \varphi$（W），$Q=VI\sin \varphi$（var），$S=VI$（VA），$S^2=P^2+Q^2$。
• 功率因数 $\cos \varphi =P/S$，越接近 1 电网利用率越高。
• 感性负载并电容校正；校正不改负载有功，只降电源电流。
• 三相三线用两瓦特计测总功率；平衡四线制一只表读数乘三。

自测五题（点击展开）

1. 100 V（r.m.s.）电压加在 7 A（r.m.s.）电流滞后 60° 的负载上，求 $S$、功率因数与 $P$。 $S=VI=700$ VA；功率因数 $=\cos 60°=0.5$；$P=S\cos \varphi =350$ W。有一半的视在功率没能变成有用功。

2. 为什么纯电容和纯电感的平均功率是零？ 电流与电压恰好相差 ±90°，瞬时功率 $p=vi=\pm \frac{1}{2}{V}_P{I}_P\sin 2\omega t$ 是正负对称的正弦——能量一半时间流入元件储存，一半时间流回电路，一个周期净耗能为零。元件只吞吐无功，不消耗有功。

3. 500 VA、功率因数 0.8 的设备接 250 V 电源，求 $P$、$Q$ 与电流。 $P=500\times 0.8=400$ W；$\sin \varphi =0.6$，$Q=500\times 0.6=300$ var；电流 $I=S/V=500/250=2$ A。

4. 功率因数校正为什么用并联电容而不是串联？校正后电机的电流会变吗？ 并联电容提供超前无功，就地抵消感性负载的滞后无功，使无功电流不再往返于电源；且并联不改变负载两端电压。校正后电机自身的电流和工作状态不变——变的是电源提供的总电流（减小）和视在功率。

5. 为什么不能用电压表和电流表的读数相乘来求交流功率？三相三线制怎么测总功率？ 因为交流功率还取决于电压与电流的相位差（$P=VI\cos \varphi$），独立测量 V 和 I 无法得知 $\varphi$。三相三线制用两只瓦特计，其读数之和即总功率，与负载是否对称无关。