第06章 交流电压与电流

Note

前两章分别认识了电容和电感在正弦信号下的”怪脾气”——相位超前或滞后。本章把 R、L、C 放进同一个电路，教你怎么算：电抗（reactance）解决”大小”，相量图（phasor diagram）解决”相位”，复数阻抗（impedance）把两者合二为一。学会复数阻抗后，第3章的全部分析套路都能原封不动搬到交流电路里。

6.1 引言

正弦电压波形可以写成：

$$v=V_p\sin (\omega t+\varphi )$$

$V_p$ 是峰值电压，$\omega$ 是角频率，$\varphi$ 是相位角。三者的换算关系：

$$\omega =2\pi f,T=\frac{1}{f}=\frac{2\pi }{\omega }$$

若相位角 $\varphi$ 以弧度表示，对应的时间延迟为 $t=\varphi /\omega$——相位差本质上是时间差。

6.2 电压与电流的相位关系

给电阻、电感、电容通入同一个正弦电流 $i=I_p\sin (\omega t)$，看三者的电压响应。

6.2.1 电阻

由欧姆定律直接得：

$$v_R=I_{p}R\sin (\omega t)\text{\hspace{1em}(6.1)}$$

电压与电流同相——电阻”最老实”，对相位没有任何偏好。

6.2.2 电感

$v_L=L\mathrm{d}i/\mathrm{d}t$，代入正弦电流求导：

$$v_L=\omega L{I}_p\cos (\omega t)\text{\hspace{1em}(6.2)}$$

余弦即超前正弦 90°：电感电压超前电流 90°。

6.2.3 电容

$v_C=\frac{1}{C}\int i\mathrm{d}t$，积分得：

$$v_C=-\frac{I_p}{\omega C}\cos (\omega t)\text{\hspace{1em}(6.3)}$$

负号把余弦翻转 180°：电容电压滞后电流 90°。

记忆口诀：CIVIL

C 中 I 超前 V，V 超前 I 在 L。读作”西维尔”：电容电流超前电压，电感电压超前电流。三个元件对正弦电流的”态度”一句话记住。

6.3 电抗：只看大小

先不管相位，只比较电压与电流的峰值之比。对电阻这个比值是 $R$；对电感是 $\omega L$；对电容是 $1/(\omega C)$。后两者称为电抗（reactance），符号 $X$，单位欧姆：

$$\text{电感的电抗 }{X}_L=\omega L\text{\hspace{1em}(6.4)}$$ $$\text{电容的电抗 }{X}_C=\frac{1}{\omega C}\text{\hspace{1em}(6.5)}$$

物理意义：电感”阻碍”高频——频率越高 $\omega L$ 越大；电容”放行”高频——频率越高 $1/\omega C$ 越小。这个比值用 r.m.s. 值、峰值还是峰峰值都一样（上下同乘 0.707 而已），但必须同一种度量混用才有效。

有了电抗，电压电流的大小关系就能像欧姆定律那样算：

$$V=I{X}_{L}V=I{X}_C$$

例 6.1：1 mH 电感在 $\omega =1000$ rad/s 时，$X_L=1000\times 10^{-3}=1\Omega$。

例 6.2：2 μF 电容在 50 Hz 时，$\omega =2\pi \times 50=314.2$ rad/s，$X_C=1/(314.2\times 2\times 10^{-6})\approx 1.59$ kΩ。

例 6.3：5 V 峰值、100 Hz 正弦电压加在 25 mH 电感上：$X_L=2\pi \times 100\times 0.025=15.7\Omega$，峰值电流 $I=5/15.7\approx 318$ mA。

例 6.4：2 A（r.m.s.）、25 rad/s 电流流过 10 mF 电容：$X_C=1/(25\times 0.01)=4\Omega$，电容电压 $V=2\times 4=8$ V（r.m.s.）。

6.4 相量图

同频率的正弦量之间只有幅度和相位两个自由度，而相量（phasor）能在一个图上同时表达两者：线段长度代表幅度，与参考轴的夹角代表相位角（习惯上从水平右轴逆时针度量，箭头标明方向）。

书写约定要分清三层记号：相量用粗体（${\mathbf{V}}_R$），相量的幅度用斜体（$V_R$），它代表的瞬时正弦量用小写斜体（$v_R$）。

相量的加减

两个同频正弦量相加，结果既不是幅度简单相加——要用矢量运算：

• 平行四边形法：以 A、B 为邻边作平行四边形，对角线即合相量；
• 首尾相接法：把 B 画在 A 的末端，起点到终点的连线即 A+B，可连续叠加任意多个；
• 相减：减去 B 等于加上 −B（长度相同、方向反转 180°）。

万幸的是，电路里 R、L、C 的电压（或电流）相量恰好互相垂直（0°、±90°），几何计算简化成勾股定理。

6.4.1 RL 串联电路的相量分析

以电流 $i$ 为参考相位：${\mathbf{V}}_R$ 沿水平轴（0°），${\mathbf{V}}_L$ 竖直向上（+90°）。电源电压 $\mathbf{V}={\mathbf{V}}_R+{\mathbf{V}}_L$，合成结果不在水平轴上——总电压超前电流一个角度 $\varphi$。

例 6.5：5 A、50 Hz 正弦电流流过 10 Ω 电阻与 25 mH 电感的串联组合。

• $V_R=IR=50$ V；$X_L=2\pi \times 50\times 0.025=7.85\Omega$，$V_L=5\times 7.85=39.3$ V；
• 合成：$V=\sqrt{V_R^2+V_L^2}=\sqrt{50^2+39.3^2}=63.6$ V；
• 相位：$\varphi ={\tan }^{-1}(39.3/50)=38.2°$，电压超前电流 38.2°。

6.4.2 RC 串联电路的相量分析

电容电压滞后电流 90°，所以 ${\mathbf{V}}_C$ 画在竖直向下（−90°）。合成相位角 $\varphi$ 为负——总电压滞后电流。

例 6.6：10 V、1 kHz 电压加在 10 kΩ 电阻与 30 nF 电容的串联上，求电流。

• $X_C=1/(2\pi \times 10^3\times 3\times 10^{-8})=5.3$ kΩ；
• 设电流为 $I$，则 $V^2=(I\times 10^4{)}^2+(I\times 5.3\times 10^3{)}^2$，代入 $V=10$ 解得 $I\approx 884\mu$A；
• $\varphi ={\tan }^{-1}(5.3/10)=-27.9°$：电流超前电压约 28°。

6.4.3 RLC 电路与并联网络

任意 R、L、C 组合都能用同样的画法。有趣的是，把各元件电压按不同顺序首尾相加，得到的合相量完全相同——相量加法满足交换律，这也是检验画图正确性的好办法。

并联网络里各元件电压相同、电流不同，这时以电压 $\mathbf{v}$ 为参考画电流相量：${\mathbf{I}}_R$ 水平（0°），电感电流滞后竖直向下，电容电流超前竖直向上——方向与电压相量图正好相反，容易搞混。

易错点：串联画电压、并联画电流

串联电路电流处处相同，以电流为参考画各元件的电压相量；并联电路电压处处相同，以电压为参考画各支路的电流相量。参考量和相量种类选反了，整个图就全错。

6.5 阻抗

把”对电流的阻碍+移相”合起来描述的量叫阻抗（impedance）$Z$。对 RL 串联，由相量图：

$$V=\sqrt{(IR{)}^2+(I{X}_L{)}^2}=I\sqrt{R^2+X_L^2}=IZ$$

同理 RC 串联的 $Z=\sqrt{R^2+X_C^2}$。统一写成：

$$Z=\sqrt{R^2+X^2}\text{\hspace{1em}(6.6)}$$

阻抗不仅有幅度 $Z$，还有相位角：

$$\varphi ={\tan }^{-1}\frac{X}{R}\text{\hspace{1em}(6.7)}$$

RL 电路 $\varphi$ 为正（电压超前），RC 为负（电压滞后），符号看相量图即可判断。

阻抗本身也可以画在一张图上：水平轴是电阻分量，竖直轴是电抗分量，$Z$ 与 $\varphi$ 就是极坐标形式——这与复数的阿甘德图（Argand diagram）一模一样，自然引出复数记法。

6.6 复数阻抗

复数的实部/虚部之分正好对应阻抗的电阻性/电抗性之分：电阻上电压与电流同相，是实阻抗；电感和电容产生 ±90° 相移，是虚阻抗。按惯例电感取正虚、电容取负虚：

$${\mathbf{Z}}_R=R,{\mathbf{Z}}_L=\mathrm{j}{X}_L=\mathrm{j}\omega L,{\mathbf{Z}}_C=-\mathrm{j}{X}_C=\frac{1}{\mathrm{j}\omega C}$$

（$\mathrm{j}$ 是虚数单位，即 $\sqrt{-1}$；电机工程用 $\mathrm{j}$ 而不用 $\mathrm{i}$，避免与电流混淆。）

6.6.1 串联组合

$$\mathbf{Z}={\mathbf{Z}}_1+{\mathbf{Z}}_2+\cdots +{\mathbf{Z}}_N\text{\hspace{1em}(6.8)}$$

6.6.2 并联组合

$$\frac{1}{\mathbf{Z}}=\frac{1}{{\mathbf{Z}}_1}+\frac{1}{{\mathbf{Z}}_2}+\cdots +\frac{1}{{\mathbf{Z}}_N}\text{\hspace{1em}(6.9)}$$

与电阻的组合规则完全一致——这正是复数记法最大的红利。

例 6.7：R = 200 Ω、L = 400 mH、C = 50 μF 串联，50 Hz 时： $\mathbf{Z}=R+\mathrm{j}(\omega L-1/\omega C)=200+\mathrm{j}(125.7-63.7)=200+\mathrm{j}62\Omega$。 在这个频率上，该组合等效于 200 Ω 电阻串联 $X_L=62\Omega$ 的电感（等效电感约 197 mH）——但注意这个”等效”只对该频率成立。

6.6.3 复数的三种表达形式与运算选择

常用形式：直角形式 $(a+\mathrm{j}b)$、极形式 $(r\angle \theta )$、指数形式 $(r{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\theta })$。

• 加减用直角形式最方便：$(a+\mathrm{j}b)+(c+\mathrm{j}d)=(a+c)+\mathrm{j}(b+d)$；
• 乘除用极形式最方便：$\frac{A\angle \alpha }{B\angle \beta }=\frac{A}{B}\angle (\alpha -\beta )$。

正弦量常用极形式表示幅度和相位，如输入电压取参考相位记为 $20\angle 0$ V；相位角为正表示超前参考、为负表示滞后。

易错点：形式选错算不动

复数运算最常见的翻车是用直角形式做除法。记住分工：加减用直角，乘除转极坐标。算完阻抗 $\mathbf{Z}$ 后求 $v/\mathbf{Z}$ 前，先把 $\mathbf{Z}$ 化成 $|Z|\angle \varphi$，一步到位。

6.6.4 用复数阻抗解题

复阻抗可以像直流电阻一样代入欧姆定律、基尔霍夫定律——第3章所有电路分析方法全部适用，只需把 $R$ 换成 $\mathbf{Z}$。

例（图 6.13）：$v=100\sin 250t$ 加在 R = 100 Ω、C = 100 μF 的串联上。 $\mathbf{Z}=100-\mathrm{j}\frac{1}{250\times 10^{-4}}=100-\mathrm{j}40=107.7\angle -21.8°\Omega$， 则 $i=\frac{100\angle 0}{107.7\angle -21.8°}=0.93\angle 21.8°$ A。

例 6.8：更复杂的电路（两电阻+一电容+一电感）也一样：先把每个元件换成阻抗，串联的合并成 ${\mathbf{Z}}_1$、并联的合并成 ${\mathbf{Z}}_2$，最后用阻抗版分压公式 $v_o=v\times \frac{{\mathbf{Z}}_2}{{\mathbf{Z}}_1+{\mathbf{Z}}_2}$ 求输出。代入 C = 200 μF、R₁ = 5 Ω、L = 50 mH、R₂ = 50 Ω、$v=10\sin 500t$，算得 ${\mathbf{Z}}_1=5-\mathrm{j}10$、${\mathbf{Z}}_2=10+\mathrm{j}20$，最终 $v_o=12.4\angle 29.7°$，即 $v_o=12.4\sin (500t+29.7°)$——输出幅度 12.4 V、相位超前输入 29.7°，频率与输入相同。

本篇要点回顾

一页速记

• 相位：R 同相、L 超前 90°、C 滞后 90°（口诀 CIVIL）。
• 电抗：$X_L=\omega L$ 随频率升，$X_C=1/\omega C$ 随频率降。
• 阻抗：$Z=\sqrt{R^2+X^2}$，$\varphi ={\tan }^{-1}(X/R)$。
• 复阻抗：${\mathbf{Z}}_R=R$、${\mathbf{Z}}_L=\mathrm{j}\omega L$、${\mathbf{Z}}_C=1/\mathrm{j}\omega C$；串并联规则同电阻。
• 解题流：元件→阻抗→化简串/并联→阻抗版欧姆定律/分压公式，乘除记得转极坐标。

自测五题（点击展开）

1. $v=15\sin 100t$ 的角频率和峰值是多少？ 对照 $v=V_p\sin \omega t$：峰值 $V_p=15$ V，角频率 $\omega =100$ rad/s（频率 $f=\omega /2\pi \approx 15.9$ Hz）。

2. 电感电压超前电流、电容电压滞后电流，各是多少度？为什么？ 各 90°。电感 $v_L=L\mathrm{d}i/\mathrm{d}t$，正弦求导得余弦（超前 90°）；电容 $v_C=\frac{1}{C}\int i\mathrm{d}t$，正弦积分得负余弦（滞后 90°）。口诀 CIVIL：电容中电流超前电压，电感中电压超前电流。

3. 20 mH 电感在 100 Hz 下的电抗是多少？ $X_L=2\pi fL=2\pi \times 100\times 0.02\approx 12.6\Omega$。单位是欧姆。

4. 1 μF 电容在 1 kHz 下的复阻抗是什么？ ${\mathbf{Z}}_C=1/(\mathrm{j}\omega C)=-\mathrm{j}/(2\pi \times 1000\times 10^{-6})\approx -\mathrm{j}159\Omega$，即 $159\angle -90°\Omega$。纯电抗，相位恰为 −90°。

5. RL 串联电路中总电压为什么超前电流？相位角由什么决定？ 电阻电压与电流同相、电感电压超前 90°，两者正交相加的合成量必然偏向电感一侧，故总电压超前电流。相位角 $\varphi ={\tan }^{-1}(X_L/R)$：感抗占比越大超前越多，纯电阻时为零。