第08章 交流电路的频率特性

Note

电容和电感的电抗都随频率变化，所以任何含电抗元件的电路，其特性都是”挑频率”的。本章教你定量描述这种挑选：dB 与波特图是语言，高通/低通网络是积木，谐振电路是精华，滤波器是成品。同时理解为什么杂散电容和杂散电感是所有高频电路性能的隐形天花板。

8.1 引言

纯电阻的特性与频率无关，但电感和电容的电抗依赖频率，因此任何含它们的电路特性都会随频率改变。更麻烦的是，第4、5章讲过所有实际电路都不可避免地存在杂散电容和杂散电感——所以一切实际电路的特性都随频率变化，这不是设计选择，而是物理事实。

8.2 二端口网络与增益

二端口网络（two-port network）指有输入端口和输出端口的电路配置。接上输入源和负载 $R_L$ 后，可以定义输入电压电流（$V_i$、$I_i$）和输出电压电流（$V_o$、$I_o$），进而定义三种增益：

$$\text{voltage gain }(A_v)=\frac{V_o}{V_i}\text{\hspace{1em}(8.1)}$$ $$\text{current gain }(A_i)=\frac{I_o}{I_i}\text{\hspace{1em}(8.2)}$$ $$\text{power gain }(A_p)=\frac{P_o}{P_i}\text{\hspace{1em}(8.3)}$$

增益可以大于 1（放大，amplification）也可以小于 1（衰减，attenuation）。关键判据：无源电路（只含 R、L、C）的功率增益永远不大于 1；功率增益大于 1 意味着电路有外部电源供能，即有源电路。

例 8.1：输入 10 V / 2 mA、输出 3 V / 5 mA 的网络：$A_v=0.3$，$A_i=2.5$，$A_p=(3\times 5)/(10\times 2)=0.75$。注意电压增益和电流增益一降一升，功率增益仍小于 1。

8.3 分贝（dB）

现代放大器功率增益常达 $10^6\sim 10^7$，直接写比值太笨重，于是用对数刻度——分贝（decibel, dB）：

$$\text{power gain(dB)}=10{\log }_{10}\frac{P_2}{P_1}\text{\hspace{1em}(8.4)}$$

$P_2$ 是输出功率、$P_1$ 是输入功率。dB 的三大好处：

1. 数字紧凑好写；
2. 多级级联直接相加：总增益（dB）= 各级增益（dB）之和（因为对数把乘法变成加法）；
3. 频率响应曲线画起来更方便（见波特图）。

几个必须背下来的锚点：功率翻倍 = +3 dB，减半 = −3 dB，不变 = 0 dB；10 倍 = +10 dB，100 倍 = +20 dB，1000 倍 = +30 dB（10 的负幂对应负 dB）。

电压增益也常直接用 dB 表示：

$$\text{voltage gain(dB)}=20{\log }_{10}\frac{V_2}{V_1}\text{\hspace{1em}(8.5)}$$

系数是 20 而不是 10，因为功率正比于电压平方。严格说，$20\log (V_2/V_1)$ 只有在输入输出电阻相等时才等于功率增益（dB），但工程上即使两者不等也普遍这样用。

反过来的换算：

\text{power gain} = 10^{\text{(gain(dB)}/10}\tag{8.6} \qquad \text{voltage gain} = 10^{\text{(gain(dB)}/20}\tag{8.7}

例 8.2：功率增益 2500 = $10{\log }_{10}2500=34$ dB。例 8.4：20 dB 对应功率增益 100、电压增益 10；30 dB 对应功率 1000 倍、电压 31.6 倍。

心算口诀

每 +3 dB 功率翻倍、+10 dB 功率十倍、+20 dB 电压十倍。看到 34 dB 就拆成 30+3+1 ≈ 千倍×2×1.26 = 2500 倍。反向也一样。

8.4 频率响应

电路增益随频率的变化称为频率响应（frequency response），包含两个方面：幅频响应（幅度随频率）和相频响应（相位随频率）。很多场合只关心幅度，所以”频率响应”常默认指幅频响应。

分析工具依然是第6章的分压公式。对阻抗分压电路：

$$\frac{v_o}{v_i}=\frac{{\mathbf{Z}}_2}{{\mathbf{Z}}_1+{\mathbf{Z}}_2}\text{\hspace{1em}(8.8)}$$

这个比值既是电压增益，也叫传递函数（transfer function）。把 ${\mathbf{Z}}_1$、${\mathbf{Z}}_2$ 换成不同的 R、L、C 组合，就得到各种频率特性电路。

8.5 高通 RC 网络

电容串联在前、电阻接地在后（图 8.4），套用式 (8.8)：

$$\frac{v_o}{v_i}=\frac{R}{R-\mathrm{j}\frac{1}{\omega C}}=\frac{1}{1-\mathrm{j}\frac{1}{\omega CR}}\text{\hspace{1em}(8.9)}$$

高频时 $1/\omega CR$ 很小，分母接近 1，增益约为 1——高频畅通无阻；低频时该项变大，增益下降——低频被挡住。这就是高通（high-pass）网络。

截止频率

增益幅值为 $\frac{1}{\sqrt{1+(1/\omega CR{)}^2}}$。当 $1/\omega CR=1$ 时增益 $=1/\sqrt{2}=0.707$，即功率减半（−3 dB）。这一点称为截止频率（cut-off frequency）：

\omega_{c} = \frac {1}{CR} = \frac {1}{T}\ \text{rad/s}\tag{8.10} \qquad f_{c} = \frac {1}{2\pi CR}\ \text{Hz}\tag{8.11}

其中 $T=CR$ 正是第4章的时间常数——截止角频率就是时间常数的倒数。

例 8.5：R = 1 kΩ、C = 10 μF：$T=0.01$ s，${\omega }_c=100$ rad/s，$f_c=15.9$ Hz。

三个频段的增益与相位

用 $f_c$ 改写增益表达式，方便分频段讨论：

$$\frac{v_o}{v_i}=\frac{1}{1-\mathrm{j}\frac{f_c}{f}}\text{\hspace{1em}(8.12)}$$

• $f\gg f_c$：$f_c/f\to 0$，增益 ≈ 1（0 dB），几乎无相移；
• $f=f_c$：增益 $=\frac{1}{1-\mathrm{j}}=0.5+0.5\mathrm{j}=0.707\angle 45°$——幅度 0.707，输出超前输入 45°；
• $f\ll f_c$：增益 $\approx \mathrm{j}f/f_c$——幅度正比于频率，超前 90°。频率每减半增益减半（−6 dB），即 −6 dB/倍频程（octave） 或 −20 dB/十倍频（decade）。

倍频程是频率翻倍或减半（相当于钢琴上一个八度）；十倍频是频率乘 10 或除 10。例：1 kHz 的两个倍频程之上是 4 kHz；1 MHz 的三个十倍频之下是 1 kHz。

波特图

图 8.6 那种”对数增益（dB）+相位 对 对数频率”的图叫波特图（Bode diagram）。画法极简：

• 增益画两条渐近线：通带内 0 dB 水平线，阻带内 ±20 dB/decade 斜线，两线交于 $f_c$；实际曲线在 $f_c$ 处比交点低 3 dB；
• 相位用直线近似：过 $f_c$ 处 ±45° 点、以 ±45°/decade 斜率画一段，起点低一个十倍频、终点高一个十倍频。

这个高通 RC 网络允许高频通过、滤除低频，已经是一个高通滤波器（high-pass filter）。

易错点：截止点不是"陡壁"

很多初学者以为低于 $f_c$ 的信号”通不过”。实际上截止频率处增益只降 3 dB（电压剩 70.7%），且阻带内的衰减也是渐进的（每十倍频才多 −20 dB）。一阶 RC 滤波器的”膝盖”很软，别指望它在 $f_c$ 附近一刀切。

8.6 低通 RC 网络

把 R、C 位置互换——电阻串联在前、电容接地在后：

$$\frac{v_o}{v_i}=\frac{-\mathrm{j}\frac{1}{\omega C}}{R-\mathrm{j}\frac{1}{\omega C}}=\frac{1}{1+\mathrm{j}\omega CR}\text{\hspace{1em}(8.13)}$$

低频时 $\omega CR$ 小，增益 ≈ 1；高频时增益下降——低通（low-pass）网络。截止频率公式与高通完全相同（${\omega }_c=1/CR$），区别只是被衰减的是高频而非低频。

分频段对照：

• $f\ll f_c$：增益 ≈ 1，无相移；
• $f=f_c$：增益 $=0.707\angle -45°$——输出滞后输入 45°；
• $f\gg f_c$：增益 $\approx -\mathrm{j}{f}_c/f$——幅度反比于频率，滞后 90°，斜率 −6 dB/octave（−20 dB/decade）。

$$\frac{v_o}{v_i}=\frac{1}{1+\mathrm{j}\frac{f}{f_c}}\text{\hspace{1em}(8.15)}$$

对照式 (8.12) 与 (8.15)：分母里 $f_c/f$ 换成了 $f/f_c$，$-\mathrm{j}$ 换成了 $+\mathrm{j}$——高通与低通互为”频率镜像”，相位符号相反。

例 8.7：R = 1 kΩ、C = 10 μF 的低通网络同样得 $T=0.01$ s、${\omega }_c=100$ rad/s、$f_c=15.9$ Hz——但这是高频截止。

8.7 低通 RL 网络与高通 RL 网络

把电容换成电感也能得到同样的滤波特性。低通 RL（电感串联在前、电阻在后）：

$$\frac{v_o}{v_i}=\frac{R}{R+\mathrm{j}\omega L}=\frac{1}{1+\mathrm{j}\omega \frac{L}{R}}\text{\hspace{1em}(8.16)}$$

截止条件 $\omega L/R=1$，即：

$${\omega }_c=\frac{R}{L}=\frac{1}{T}\text{rad/s}\text{\hspace{1em}(8.17)}$$

这里 $T=L/R$ 正是第5章 RL 电路的时间常数。式 (8.16) 与低通 RC 的式 (8.13) 形式完全一致——频率行为也一模一样。

把 R、L 互换即得高通 RL 网络，其增益表达式与高通 RC 的式 (8.12) 相同。四种网络的行为总结于图 8.12：

规律有两条：

1. 对调元件位置：高通 ↔ 低通互转；
2. 电容换成电感（或反之）：高通 ↔ 低通互转。

所有电路的截止角频率都是 ${\omega }_c=1/T$，其中 RC 电路 $T=CR$、RL 电路 $T=L/R$。

要点口诀

“阻低容通挡高，感通挡低”——电容通高频阻低频，所以”电容在串联位置/电感在接地位置”是高通；反过来是低通。截止频率一律 ${\omega }_c=1/T$，RC 的 $T=CR$、RL 的 $T=L/R$，一个乘积一个比值，别记混。

8.10 多级电路的合并

实际电路往往同时含多个高通、低通环节。dB 的加法性质在这里大显身手：级联时总增益（dB）= 各级增益（dB）之和，总相移 = 各级相移之和——直接把各级波特图”叠”起来即可。

• 高通截止频率低于低通截止频率时，合成结果是一个带通滤波器（band-pass filter）：只让某段频率通过；
• 多个环节叠加时，每个新截止频率（称为转折频率或拐角频率，break/corner frequency）给最大滚降斜率额外增加 6 dB/octave，并给极端频率处的相移额外增加 90°。例如两个带通级联，高频端先以 −6 dB/oct 下降，越过第二个拐角后变 −12 dB/oct，相位极限也累加到 −180°。

8.11 RLC 电路与谐振

8.11.1 串联 RLC 电路：接受器

把 R、L、C 串联起来（图 8.17），总阻抗：

$$\mathbf{Z}=R+\mathrm{j}\omega L+\frac{1}{\mathrm{j}\omega C}=R+\mathrm{j}\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)\text{\hspace{1em}(8.22)}$$

感抗随频率升、容抗随频率降，两者必然在某频率相等：$\omega L=1/\omega C$，此时虚部消失、阻抗纯为 $R$——这就是谐振（resonance）。谐振角频率与谐振频率：

\omega_{0} = \frac {1}{\sqrt {LC}}\tag{8.23} \qquad f_{0} = \frac {1}{2\pi \sqrt {LC}}\tag{8.24}

谐振时阻抗最小（$=R$），电流最大；且 L、C 上的电压可以远大于电源电压（但两者相位相反、互相抵消，只剩电阻分压）。这种电路称接受器电路（acceptor circuit）——只放行谐振频率附近的信号，收音机选台用的就是它。

品质因数 Q

谐振的本质是 L、C 之间反复吞吐能量，衡量”每周期储存能量与耗散能量之比”的量叫品质因数（quality factor）$Q$：

$$Q=\frac{X_L}{R}=\frac{X_C}{R}\text{\hspace{1em}(8.25,8.26)}$$

分子分母同乘 $I$，得 $Q=V_L/V_R=V_C/V_R$——Q 就是谐振时的电压放大倍数：Q = 100 意味着电感或电容上的电压是电源电压的 100 倍。对串联 RLC：

$$Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\text{\hspace{1em}(8.29)}$$

带宽

带宽 $B$ 定义为电流降到中频值 $1/\sqrt{2}$（−3 dB）两点的频率范围（图 8.18）。谐振频率与带宽的关系：

Q = \frac {f_{0}}{B}\tag{8.30} \qquad B = \frac {R}{2\pi L}\ \text{Hz}\tag{8.31}

Q 越高、带宽越窄、选频越”尖”。减小 $R$ 可以提高 $Q$——但别指望把 R 减到零得无限 Q：实际元件都有损耗（尤其电感内阻），实际 Q 通常只有几百。

例 8.9：R = 5 Ω、L = 15 mH、C = 30 μF 串联： $f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{15\times 10^{-3}\times 30\times 10^{-6}}}=237$ Hz；谐振时 $\mathbf{Z}=5\Omega$； $Q=\frac{1}{5}\sqrt{\frac{15\times 10^{-3}}{30\times 10^{-6}}}=4.47$；$B=\frac{5}{2\pi \times 15\times 10^{-3}}=53$ Hz。

8.11.2 并联 RLC 电路：拒绝器

R、L、C 并联（图 8.19）时：

$$\mathbf{Z}=\frac{1}{\frac{1}{R}+\mathrm{j}\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right)}\text{\hspace{1em}(8.32)}$$

谐振条件同样是 $\omega C=1/\omega L$，谐振频率公式与串联完全相同：

$${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\text{\hspace{1em}(8.33, 8.34)}$$

但行为相反：谐振时阻抗最大，电流被”拒绝”，故称拒绝器电路（rejector circuit）。

两者对照（表 8.2 的核心）：

量	串联 RLC	并联 RLC
谐振时阻抗	最小（=R），电流最大	最大（=R），阻抗极大
Q	$\frac{1}{R}\sqrt{L/C}$	$R\sqrt{C/L}$
带宽 B	$\frac{R}{2\pi L}$	$\frac{1}{2\pi RC}$

易错点：提高 Q 的方向相反

串联谐振要减小 R 来提高 Q，并联谐振要增大 R 来提高 Q——看似矛盾，其实一致：都是减少损耗。串联中 R 是耗能的通路电阻（越小损耗越小）；并联中 R 跨在谐振回路上（越大分流损耗越小）。

实际并联谐振电路常省去外接电阻、只考虑电感内阻 r，其谐振频率变为 $f_0=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{r^2}{L^2}}$，r→0 时退化为理想公式。

8.12 滤波器

RC 滤波器的局限

只含一个时间常数的 RC 高/低通电路称一阶（单极点）滤波器（first-order / single-pole filter）。滚降只有 6 dB/octave，太慢。把两级、三级、四级串联，可得二阶、三阶、四阶滤波器，滚降分别 12、18、24 dB/octave；n 阶（n 极点）滤波器滚降 6n dB/octave，最大相移 $n\times 90°$。

但增加级数只改善阻带斜率，不改善”膝盖”的陡峭度（图 8.22）——通带边缘依然是软塌塌的过渡。要更接近理想滤波器（通带恒定增益、阻带零增益、拐角干脆），需要别的技术。

LC 滤波器（调谐电路）

电感+电容的串/并联谐振电路（又称调谐电路，tuned circuit）能做窄带滤波器，中心频率 $f_0=1/(2\pi \sqrt{LC})$，带宽由 Q 决定。其他 LCR 配置还可组成高通、低通、带通、带阻滤波器，截止率可以很高。缺点：电感贵、笨重、损耗大。

有源滤波器

用运算放大器搭配电阻电容构成的有源滤波器（active filter）可以不用电感就实现高性能多极点滤波（电路细节见原书第15章）。它的通带增益可能上翘或波动（图 8.24），极限滚降率同样是 6n dB/octave（n 常等于电容数）。但滤波器的各项指标往往互相牵制——膝盖更陡通常意味着通带波动更大、相位性能更差，没有万能设计。三种经典类型：

• Butterworth（巴特沃斯）：通带最平坦（maximally flat），代价是膝盖不陡、相位一般；
• Chebyshev（切比雪夫）：过渡带最陡，代价是通带内增益纹波，相位差、脉冲失真严重；
• Bessel（贝塞尔）：线性相位——各频率分量延迟相同的时间，复杂波形（如脉冲）通过后不失真；膝盖较软。

有源滤波依赖运放在工作频率上有足够增益，多用于音频（几十 kHz 以内）；LC 滤波器可用到几百 MHz；更高频段则用 SAW、陶瓷、传输线滤波器等。

8.13 杂散电容与杂散电感

电路设计者故意放的电容电感之外，所有电路还藏着”不请自来”的杂散电容和杂散电感：

• 杂散电容等效于到处挂着的对地小电容 → 无意中造出低通滤波器，还造成电路间信号耦合（串扰，cross-talk）；
• 杂散电感与负载串联 → 额外的高频衰减；它与电路中的电感并联还可能构成意外的谐振回路，严重时影响电路稳定性。

杂散参数一般很小，低频下无足轻重；但高频下它们决定一切——限制电路高频性能的，正是这些看不见的元件。这就是为什么高速电路设计要把每一段走线都当成传输线对待。

本篇要点回顾

一页速记

• dB：功率 10log，电压 20log；+3 dB 翻倍，级联相加。
• 一阶高/低通：${\omega }_c=1/T$（RC 取 $T=CR$，RL 取 $T=L/R$）；$f_c$ 处 −3 dB、±45°；阻带斜率 ±20 dB/decade，相移趋于 ±90°。
• 级联：增益 dB 相加、相位相加；每加一个拐角频率多 6 dB/oct、90° 相移。
• 谐振：$f_0=1/(2\pi \sqrt{LC})$；串联=接受器（阻抗最小），并联=拒绝器（阻抗最大）；$Q=f_0/B$。
• 滤波器：RC 阶数多斜率陡但膝盖软；LC 窄带高性能；有源滤波免电感；Butterworth 平坦、Chebyshev 陡峭、Bessel 线性相位。

自测五题（点击展开）

1. 33 kΩ 电阻与 15 nF 电容串联组成的 RC 电路，时间常数和截止频率是多少？ $T=CR=33\times 10^3\times 15\times 10^{-9}=0.495$ ms；$f_c=1/(2\pi T)\approx 322$ Hz。至于是高通还是低通，取决于输出取在哪个元件上。

2. 电压增益 100 倍是多少 dB？60 dB 又对应多大的电压增益？ 电压增益用 20log：$20{\log }_{10}100=40$ dB。反向：$10^{60/20}=10^3=1000$ 倍。

3. 一个电路含三个高频截止和两个低频截止，它在极高频和极低频的滚降率是多少？ 每个截止贡献 6 dB/octave：极高频滚降 3×6 = 18 dB/octave，极低频同样 18 dB/octave（上翘）。相位极限为 ±(3×90°+2×90°) = ±450°。

4. 串联 RLC 电路 L = 15 mH、C = 30 μF、R = 5 Ω，求 $f_0$、Q 和带宽 B。 $f_0=1/(2\pi \sqrt{LC})=237$ Hz；$Q=\frac{1}{R}\sqrt{L/C}=4.47$；$B=f_0/Q=R/(2\pi L)=53$ Hz。谐振时阻抗最小（5 Ω），电流最大。

5. Butterworth、Chebyshev、Bessel 滤波器各以什么性能为优化目标？ Butterworth 优化通带平坦度（最平坦）；Chebyshev 优化过渡带陡峭度（代价是通带纹波与差相位）；Bessel 优化线性相位（各频率等时延，脉冲波形通过不失真）。三者按应用需求取舍，没有全面最优。