第05章 电感与磁场

Note

第4章里电容器把能量存在电场中，本章的主角电感器（inductor）则把能量存在磁场中。要理解电感和变压器，得先从电磁学基本定律讲起：电流产生磁场，变化的磁场又反过来感应出电压。掌握”磁路—磁阻—电感”这条主线，后续交流电路分析就顺理成章了。

5.1 引言

电感器与电容器是一对”镜像”元件：电容稳定电压、电感稳定电流；电容储能于电场、电感储能于磁场。本章沿”电流→磁场→磁通→感应电压”的因果链展开，最后落到变压器与电感式传感器这两个最常见的工程应用上。

5.2 电磁学

5.2.1 磁动势与磁场强度

载流导线会产生磁动势（magnetomotive force, m.m.f.）$F$，进而在周围建立磁场。可以把 m.m.f. 类比为电路中的电动势（e.m.f.）：e.m.f. 驱动电流，m.m.f. 则”驱动”磁通（magnetic flux）。单根导线的 m.m.f. 就等于电流 $I$，单位是安培。

磁场的大小用磁场强度（magnetic field strength）$H$ 描述：

$$H=\frac{I}{l}\text{\hspace{1em}(5.1)}$$

其中 $I$ 是导线电流，$l$ 是磁路（magnetic circuit）的长度，$H$ 的单位是安/米（A/m）。对直导线而言，磁路是围绕导线的同心圆，离导线越远周长越长，磁场越弱——这正是 $H$ 与距离成反比的原因。

方向怎么记？ 想象沿导线轴向放一把木螺钉：螺钉的旋转方向与前进方向的关系，就是磁场方向与电流方向的关系。工程图上用”叉”表示电流流入纸面、“点”表示流出纸面——正好对应螺钉头和螺钉尖的样子。

要点口诀

“叉进点出”：叉号=电流入纸面，点号=电流出纸面；右手握导线，拇指指电流，四指即磁场方向。

例 5.1：直导线通 5 A 电流，求距导线 100 mm 处的 $H$。 磁路长度为半径 0.1 m 的圆周 $2\pi r=0.628$ m，故 $H=5/0.628\approx 7.96$ A/m。

5.2.2 磁通与磁通密度

磁场会产生与其同方向的磁通 $\Phi$，单位是韦伯（weber, Wb）。某处磁通的”密集程度”用磁通密度（magnetic flux density）$B$ 表示，即单位横截面积上的磁通：

$$B=\frac{\Phi }{A}\text{\hspace{1em}(5.2)}$$

$B$ 的单位是特斯拉（tesla, T），$1\text{T}=1{\text{Wb/m}}^2$。反过来也常用 $\Phi =BA$ 求总磁通。

5.2.3 磁导率

磁通密度既取决于场强，也强烈依赖于所处材料。两者关系为：

$$B=\mu H\text{\hspace{1em}(5.3)}$$

其中 $\mu$ 是材料的磁导率（permeability），可理解为”磁通穿过该材料的容易程度”。更常用的写法是：

$$B={\mu }_0{\mu }_{r}H\text{\hspace{1em}(5.4)}$$

• ${\mu }_0$：真空磁导率，常数 $4\pi \times 10^{-7}$ H/m；
• ${\mu }_r$：相对磁导率，是该材料中的磁通密度与真空中之比。

空气及大多数非磁性材料 ${\mu }_r\approx 1$；铁磁材料（ferromagnetic materials）的 ${\mu }_r$ 可达 1000 以上——把载流导线套进铁磁环，磁通能提高几个数量级。但要注意：铁磁材料的 ${\mu }_r$ 随磁场强度变化明显，这是后面”电感器非线性”问题的根源。

5.2.4 线圈与安匝数

把导线绕成线圈后磁场被集中起来，且匝数越多场越强。此时 m.m.f. 等于电流与匝数 $N$ 的乘积：

$$F=IN\text{\hspace{1em}(5.5)}$$

因此 m.m.f. 常用”安匝”（ampere-turns）表述，尽管正式单位仍是安培。对于匝数多、长度长的线圈，磁场强度为：

$$H=\frac{IN}{l}\text{\hspace{1em}(5.6)}$$

在线圈中加入铁磁材料（铁棒、铁氧体磁环 ferrite toroid 等）可大幅提升磁通密度，如图 5.4 所示。

例 5.2：在非磁性磁环上绕 500 匝，磁环平均周长 400 mm、截面积 300 mm²，通 6 A 电流：

• (a) $F=IN=6\times 500=3000$ 安匝；
• (b) $H=F/l=3000/0.4=7500$ A/m；
• (c) 非磁性材料 $B={\mu }_{0}H=4\pi \times 10^{-7}\times 7500\approx 9.42$ mT；
• (d) $\Phi =BA=9.42\times 10^{-3}\times 300\times 10^{-6}\approx 2.83\mu$Wb。

若换成 ${\mu }_r=100$ 的磁性材料，(a)(b) 不变（只由电流、匝数、几何决定），(c)(d) 放大 100 倍。

5.2.5 磁阻

电路里 e.m.f. 除以电流得电阻；磁路里同样有：

$$S=\frac{F}{\Phi }\text{\hspace{1em}(5.7)}$$

磁阻（reluctance）$S$ 衡量磁路对磁通的阻碍程度，单位是安/韦（A/Wb）。磁路欧姆定律 $F=S\Phi$ 与电路欧姆定律 $V=IR$ 一一对应，是分析磁路的捷径。

易错点

m.m.f. 的”安匝”只是习惯叫法，正式单位是安培（匝数无量纲）。计算 $H=F/l$ 时，$l$ 必须取磁路长度（如磁环的平均周长），不要误用导线长度或线圈轴向长度。

5.4 电感：法拉第定律与楞次定律

变化的磁通会在场内任何导体中感应出电动势，这就是电感（inductance）现象的基础。两条基本定律：

• 法拉第定律（Faraday’s law）：感应 e.m.f. 的大小正比于磁通的变化率。
• 楞次定律（Lenz’s law）：感应 e.m.f. 的方向，总是使它产生的电流阻碍引起感应的磁通变化。

对 $N$ 匝线圈，每匝的感应电压叠加：

$$V=N\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t}\text{\hspace{1em}(5.8)}$$

$\mathrm{d}\Phi /\mathrm{d}t$ 是磁通变化率，单位 Wb/s。匝数是”放大器”：同样的磁通变化，100 匝线圈感应出的电压是单匝的 100 倍。

5.5 自感

线圈电流变化 → 磁通变化 → 在线圈自身中感应出阻碍电流变化的 e.m.f.，这个过程称为自感（self-inductance）。感应电压与电流变化率成正比：

$$V=L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\text{\hspace{1em}(5.9)}$$

$L$ 就是线圈的电感，单位亨利（henry, H）：当电流以 1 A/s 的速率变化、感应出 1 V e.m.f. 时，该电路电感为 1 H。

易错点：正负号

有些教材把式 (5.8)、(5.9) 写成负号，以体现楞次定律的”阻碍”含义。两种写法都对，关键是在分析时正确应用方向。本书统一用正号，与电阻、电容电压的处理保持一致——不要看到不同教材符号相反就以为谁错了。

例 5.3：10 mH 电感中电流以 3 A/s 匀速变化，感应电压 $V=10\times 10^{-3}\times 3=30$ mV。

5.6 电感器

专为提供电感而设计的元件叫电感器。电子电路常用微亨（μH）到毫亨（mH）量级，大功率器件可达亨级。小电感用空心线圈即可；大电感必须加铁磁磁芯——磁芯把磁通密度提高几个数量级，从而大幅提升 $\mathrm{d}\Phi /\mathrm{d}t$ 和电感量。小磁芯常用高磁导率的铁氧体（ferrite），大器件用叠片钢芯（laminated steel core）。

铁磁材料磁导率随场强增大而下降，所以带磁芯的电感器是非线性的；空气无此问题，空心电感线性但体积大，某些场合宁愿用大体积的空心电感换取线性度。

5.6.1 线圈电感的计算

电感由线圈几何尺寸和磁芯材料决定。两种标准形式：

螺旋管空心线圈（长度 $l$ 远大于直径时）：

$$L=\frac{{\mu }_{0}A{N}^2}{l}\text{\hspace{1em}(5.10)}$$

磁环线圈（平均周长 $l$、截面积 $A$、磁芯相对磁导率 ${\mu }_r$）：

$$L=\frac{{\mu }_0{\mu }_{r}A{N}^2}{l}\text{\hspace{1em}(5.11)}$$

磁芯为非磁性材料时 ${\mu }_r=1$，退化为与式 (5.10) 相同的形式。注意这两个公式里 $L$ 与 $N^2$ 成正比——匝数翻倍，电感变四倍，这是估算电感时最有用的直觉。

例 5.4：空心螺旋线圈长 200 mm、截面积 30 mm²、400 匝： $L=\frac{4\pi \times 10^{-7}\times 30\times 10^{-6}\times 400^2}{0.2}\approx 30\mu$H。

5.6.2 实际电感器的等效电路

真实电感由导线绕成，必有电阻。实际电感可建模为”理想电感串联一个代表内阻的电阻”：

5.6.3 杂散电感与电感的串并联

任何电路中的导线都带有杂散电感（stray inductance）——直导线约 1 nH/mm，单独看微不足道，但在高速电路里多段导线的累积效应会显著影响电路工作，必须像对待杂散电容一样小心控制。

若电感器之间没有磁耦合，其组合规律与电阻完全相同：串联相加，并联取倒数和的倒数。

例 5.5：10 H 与 20 H 串联得 30 H；并联得 $1/(1/10+1/20)=6.67$ H。

要点口诀

电感串并联 = 电阻串并联；电容串并联 = 电阻”反着来”。三兄弟里只有电容是”反的”。

5.7 电感中的电压与电流关系

由 $V=L\mathrm{d}I/\mathrm{d}t$ 可读出两条重要结论：

1. 恒定电流流过电感时，电感两端电压为零（$\mathrm{d}I/\mathrm{d}t=0$）——稳态下电感相当于短路（只余内阻）。
2. 电感中的电流不能突变：若电流瞬间跳变，$\mathrm{d}I/\mathrm{d}t\to \infty$，需要无穷大电压，物理上不可能。电感因此”稳定”流过它的电流。（对照：电容两端电压不能突变，电容”稳定”其上的电压。）

5.8 直流暂态与时间常数

看图 5.8(a) 的电路：开关闭合瞬间电流不能突变，$I=0$、$V_R=0$，由基尔霍夫电压律全部电源电压落在电感上（$V_L=V$）。这个电压决定了电流的初始上升率；随着 $I$ 增大，$V_R$ 增大、$V_L$ 下降，电流增速放缓，最终 $V_L\to 0$、电流稳定在 $V/R$。

结果是：电流从零开始按指数规律上升，电感电压从 $V$ 开始指数衰减。与 RC 电路对照：RC 的时间常数是 $CR$，RL 电路的时间常数是：

$$T=\frac{L}{R}$$

电感越大、电阻越小，电路达到稳态越慢。与 RC 电路”乘积”不同，这里是”比值”。

5.9 断开开关的麻烦与正弦激励

断开开关会怎样？ 开关突然断开意味着电流要瞬间归零，$\mathrm{d}I/\mathrm{d}t\to \infty$，电感两端会产生极高的感应电压——它在开关触点间引起电弧（arcing）。汽车点火线圈正是利用这个高压火花点火；但一般场合电弧会烧蚀触点并产生电磁干扰，所以切换感性负载时通常并联一个电容（或续流电路）来减缓电流变化。

正弦激励下：对电感通正弦电流，由于 $v=L\mathrm{d}i/\mathrm{d}t$ 而正弦的导数是余弦，电压波形超前电流 90°（$\pi /2$ 弧度）——即电感中电流滞后电压 90°。对照第4章：电容是电流超前电压 90°，两者正好相反。

5.10 电感中的能量存储

设电感中电流从 0 渐增至 $I$，任一时刻 $v=L\mathrm{d}i/\mathrm{d}t$，$\mathrm{d}t$ 时间内的储能增量 $=vi\mathrm{d}t=Li\mathrm{d}i$，积分得：

$$\text{stored energy}=\frac{1}{2}L{I}^2\text{\hspace{1em}(5.13)}$$

能量储存在磁场中。与电容的 $\frac{1}{2}C{V}^2$ 对照记忆：电感按电流平方储能，电容按电压平方储能。

例 5.6：10 mH 电感通 5 A 电流，储能 $=\frac{1}{2}\times 10^{-2}\times 25=125$ mJ。

5.11 互感

两个导体若存在磁耦合，一个中变化的电流会在另一个中感应电压，这就是互感（mutual inductance）。若电路 1 中电流为 $I_1$，电路 2 中感应电压为：

$$V_2=M\frac{\mathrm{d}{I}_1}{\mathrm{d}t}\text{\hspace{1em}(5.14)}$$

$M$ 为互感，单位也是亨利。$M$ 的大小取决于两个电路各自的电感以及磁耦合程度，耦合程度用耦合系数（coupling coefficient）描述：1 表示磁通完全交链，0 表示无耦合。拉近距离、一环套一环、加铁磁磁芯都能提高耦合；把两个线圈绕在闭合铁磁磁路上可获得近乎理想的耦合。

5.12 变压器

变压器（transformer）是互感的头号应用：原边（primary）线圈通交流电产生交变磁通，副边（secondary）线圈感应出电压。理想变压器（耦合系数为 1）中，每一匝感应的电压相同，设为 $V_T$，则：

$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{N_2}{N_1}\text{\hspace{1em}(5.15)}$$

电压比等于匝数比（turns ratio）$N_2/N_1$——副边匝数多就升压，匝数少就降压。

三点必须牢记：

1. 只对交流有效。恒定直流不产生变化的磁通，副边什么也感应不到。
2. 不能放大功率。变压器是”无源放大器”，除了输入信号没有别的能量来源。理想变压器满足：

$$V_1{I}_1=V_2{I}_2\text{\hspace{1em}(5.16)}$$

升压必然减流，降压必然增流。 3. 带负载后电压会跌。副边电流产生的磁通阻碍原边磁通，输出电流越大，输出电压比空载值 (5.15) 越低。现代变压器效率很高，输出功率几乎等于输入功率。

降压变压器广泛用于低压电子设备的电源，还有个附带好处：原副边没有电气连接，变压器天然提供与市电的电气隔离（electrical isolation）。

5.13 电路符号

空心/带磁芯电感、空芯/带磁芯变压器各有不同符号。多绕组变压器还要用同名端标记（dot notation）：电流从各绕组打点端流入时，在磁芯中产生的 m.m.f. 方向相同；把某绕组两端反接，对应电压波形就反相。有了点标记，电路图上就能明确绕组极性。

易错点：同名端

同名端不是”正负极”，它只约定相对极性。两个副边绕组串联时，若按”点点相接”（异名端相接）方式连接，输出电压是两个绕组电压相加；接反了就相减，可能输出为零。

5.14 电感在传感器中的应用

5.14.1 电感式接近传感器

基本结构是绕在铁磁棒上的线圈，配合一块贴在被测物体上的铁磁板使用：铁板靠近线圈时会增大线圈的自感，测自感即可判断铁板的有无或距离。最常用于二值化的”在/不在”检测。

5.14.2 线性可变差动变压器（LVDT）

LVDT（linear variable differential transformer）在空心非磁性管上绕三个线圈：中间是原边（加交流激励），两侧对称放置两个反相串联的相同副边（输出相互抵消）。管内有一个可滑动的铁磁”芯棒”（slug）：

• 芯棒居中 → 对两个副边的耦合相同 → 输出抵消为零；
• 芯棒偏移 → 一个副边耦合增强、另一个减弱 → 失衡产生输出。

输出交流电压的幅值代表偏移量大小，相位代表偏移方向，经简单电路即可转换为直流信号。LVDT 量程可从几米到不足一毫米，分辨率约为满量程的 0.1%，线性度好；由于无摩擦接触（对比电阻式电位器），操作力极小、寿命长。

本篇要点回顾

一页速记

• 电流生磁：$F=IN$，$H=IN/l$，$B={\mu }_0{\mu }_{r}H$，$\Phi =BA$，磁路”欧姆定律” $S=F/\Phi$。
• 磁生电：法拉第 $V=N\mathrm{d}\Phi /\mathrm{d}t$，楞次定方向（阻碍变化）。
• 自感 $V=L\mathrm{d}I/\mathrm{d}t$；电流不能突变；时间常数 $T=L/R$；交流下电流滞后 90°。
• 储能 $W=\frac{1}{2}L{I}^2$；串并联同电阻；$L\propto N^2$。
• 互感与变压器：$V_2/V_1=N_2/N_1$，$V_1{I}_1=V_2{I}_2$，只传交流、提供隔离。

自测五题（点击展开）

1. 直导线通 3 A 电流，距导线 1 m 处的磁场强度是多少？ 磁路为半径 1 m 的圆周，$l=2\pi \approx 6.28$ m，$H=I/l=3/6.28\approx 0.48$ A/m。方向由右手定则确定，是环绕导线的同心圆。

2. 为什么铁磁磁芯能大幅提高线圈电感？ 铁磁材料 ${\mu }_r$ 高达数百上千，由 $B={\mu }_0{\mu }_{r}H$ 可知同样激励下磁通密度增大几个数量级；电感 $L={\mu }_0{\mu }_{r}A{N}^2/l$ 中 ${\mu }_r$ 直接进入分子，故电感同步增大。代价是磁导率随场强变化，电感呈非线性。

3. 为什么电感中的电流不能突变？断开感性电路时会发生什么？ 若电流瞬间跳变则 $\mathrm{d}I/\mathrm{d}t\to \infty$，由 $V=L\mathrm{d}I/\mathrm{d}t$ 需要无穷大电压，物理上不可能。断开开关时电感产生极高感应电压，在开关触点间拉电弧；工程上用并联电容等缓冲电路来减缓电流变化，防止触点烧蚀与干扰。

4. 10 mH 电感通 7 A 电流，储能多少？ $W=\frac{1}{2}L{I}^2=\frac{1}{2}\times 0.01\times 49=0.245$ J = 245 mJ。

5. 匝数比为 10 的变压器，原边加 5 V 峰值正弦电压、副边开路，副边电压是多少？ 由 $V_2/V_1=N_2/N_1=10$，副边开路时输出为 50 V 峰值的正弦电压。注意前提是交流信号；若原边加直流，磁通不变，副边电压为零。