第04章 电容与电场

Note

电容是几乎一切电子电路里的关键角色：它能储存电荷和能量，“隔直流、通交流”。本章从电容器的物理构造讲起，建立 $Q=CV$ 的核心关系，介绍介电常数、电场强度、电通量密度等场量，推导串并联公式，最后给出伏安微分关系、时间常数和储能公式——这些是后面交流分析与滤波器设计的地基。

4.1 引言

第03章说过，电流是电荷的流动。**电容器（capacitor）**正是能储存电荷（从而储存能量）的元件。它常与交流电压/电流打交道，是几乎所有电子电路中的关键组件。

4.2 电容器与电容

电容器的基本构造：两块导体表面，中间隔一层绝缘材料——电介质（dielectric）。构造形式多样：

• (a) 平行板电容器：两块金属板夹一层均匀介质（介质可以是空气——空气是良好的绝缘体）；
• (b) 若导体是金属箔、介质可弯曲，可以卷成圆柱形以缩小体积；
• (c) 集成电路中，电容可以是在半导体导电层上沉积一层绝缘层、再覆一层金属构成。

构造五花八门，工作原理完全一样。

充电过程：如图 4.2，电池、电阻、开关和电容串联。开关闭合后，电池的 e.m.f. 驱动电子流向电容下极板，把上极板的电子排斥走——上极板因此留下剩余正电荷（缺电子）。电子”流进一侧、流出另一侧”，看起来像电流穿过了电容，但这是错觉：介质是绝缘体，电子并没有跨过去。

这个过程不会无限持续：极板上积累的电荷形成越来越大的电场，在电容两端产生电位差 $V_C$，与电池 e.m.f. 方向相反。当 $V_C$ 等于电池电压时，电流降为零——充电完成。此时电容储存着电荷与能量；断开开关，电荷无处可去，电压 $V_C$ 保持不变；若用电阻接在电容两端，储存的能量会驱动电流放电释放出来。电容有点像”可充电电池”——虽然储能机制完全不同，储存的能量通常也小得多。

对给定的电容，储存的电荷 $Q$ 与两端电压 $V$ 成正比，比例常数就是电容（capacitance）$C$：

$$C=\frac{Q}{V}$$

• $Q$：电荷（C，库仑）；$V$：电压（V）；$C$：电容（F，法拉）。
• 物理意义：1 法拉 = 每伏特储存 1 库仑电荷。实用中法拉太大，常用 μF、nF、pF。

例题 4.1：10 μF 电容两端 10 V，储存多少电荷？

$$Q=CV=10^{-5}\times 10=100\mu \mathrm{C}$$

Warning

注意符号撞车：$C$ 既是电容的符号，又是库仑（coulomb）的单位符号。“10 μF 电容上存了 100 μC 电荷”这句话里，大小写 C 含义完全不同。写公式时分不清上下文很容易闹笑话。

4.3 电容与交流：隔直流、通交流

恒定（直流）电流无法”流过”电容，但由 $V\propto Q$ 可知：电压变化必然对应电荷变化，而电荷变化必然对应流进/流出电容的电流。于是交流电压会在整个电路中产生交变电流——电路表现得就像有电流”穿过”了电容。

一个直觉类比——玻璃窗：稳定的气压差不会让空气穿过玻璃（玻璃会微微形变储存能量，对应电容储存电场能）；但声波（交变的气压差）能穿过窗户传到另一侧，尽管没有空气真正通过。同样，电容隔直流、通交流；而且正如窗户会削弱声音（取决于窗户大小和声音频率），电容也会”阻碍”看似通过的电流——阻碍程度取决于电容量和信号频率（第06章详述）。

这个”隔直通交”的特性是后面大量应用的源头：

• 耦合电容（coupling capacitor）：串在两级放大电路之间，让交流信号通过、把前级的直流工作点隔断，使两级的直流偏置互不干扰；
• 去耦电容（decoupling capacitor）：并接在电源与地之间，为电路中的高频电流波动提供就地储能，稳定电源电压；
• 滤波：与电阻、电感配合，把混在一起的直流成分和交流纹波分开。

理解了”直流过不去、交流绕得过去”这句话，这些电路的动机就都顺理成章了。

4.4 电容与尺寸的关系

电容正比于极板面积 $A$，反比于极板间距 $d$，比例常数是介质的介电常数（permittivity）$\epsilon$。它通常写成真空绝对介电常数 ${\epsilon }_0$ 与介质相对介电常数 ${\epsilon }_r$ 的乘积：

$$C=\frac{\epsilon A}{d}=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}A}{d}$$

• ${\epsilon }_0\approx 8.85pF/m$（真空介电常数）；${\epsilon }_r$ 是材料介电常数与真空之比。
• 空气的 ${\epsilon }_r\approx 1$；绝缘材料从 2 到上千不等。用高 ${\epsilon }_r$ 材料能把电容做得小得多。

例题 4.2：极板 10×25 mm、间距 7 μm、介质 ${\epsilon }_r=100$，求电容。

$$C=\frac{8.85\times 10^{-12}\times 100\times (10\times 10^{-3})\times (25\times 10^{-3})}{7\times 10^{-6}}\approx 31.6\mathrm{nF}$$

若用空气做介质，同样极板间距要达到该电容，器件得做到 100×250 mm——大了整整一千倍。

顺带一个重要概念：杂散电容（stray capacitance）。任何被绝缘体隔开的导体之间都存在电容——导线与导线之间、元件内部各部分之间。这些非预期的寄生电容必须反复充放电，会限制电路的工作速度，在高速电路和小信号电路中尤其麻烦。

4.5 电场（Electric Fields）

同性电荷相斥、异性电荷相吸。当带电粒子因电荷而受力时，我们说该区域存在电场。

电场强度（electric field strength）$E$：定义为单位电荷在该点所受的力。两点相距 $d$、电压为 $V$ 时：

$$E=\frac{V}{d}$$

• $E$：电场强度（V/m）；$V$：两点间电压；$d$：距离。
• 物理意义：电压越集中（间距越小），电场越”强”，对电荷的作用力越大。

例题 4.3：极板间距 10 μm、电压 100 V，介质中电场强度为 $E=100/10^{-5}=10^7$ V/m。

每种绝缘材料都有能承受的最大场强——介电强度（dielectric strength）$E_m$，超过就会击穿。所以每个电容都有最高工作电压（由介质材料和厚度决定）。矛盾在于：由式 (4.2)，想让同样尺寸的电容容量最大就要介质越薄越好；但由式 (4.3)，介质越薄场强越大、越接近击穿。尺寸与耐压必须折中。

电通量与电通量密度：正负电荷之间的作用力也常用**电通量（electric flux）**描述，其单位与电荷相同（库仑）——电荷 $Q$ 库仑产生 $Q$ 库仑的电通量。电通量密度（electric flux density）$D$ 定义为垂直穿过单位面积的电通量。电容极板尺寸远大于间距时边缘效应可忽略，全部通量都穿过介质面积 $A$：

$$D=\frac{Q}{A}$$

例题 4.4：极板面积 200 mm²、电荷 15 μC，$D=15\times 10^{-6}/(200\times 10^{-6})=75mC/{\mathrm{m}}^2$。

综合以上各式可得一个漂亮的关系：

$$\epsilon =\frac{D}{E}$$

即介电常数 = 电通量密度与电场强度之比。

Success

一对对偶记忆：$E=V/d$（电压/距离） 与 $D=Q/A$（电荷/面积）——E 是”每米的伏特”，D 是”每平方米的库仑”，两者相除恰好还原出介电常数 $\epsilon =D/E$。

4.6 电容的串联与并联

4.6.1 电容的并联

并联电容两端电压同为 $V$，各自储存电荷 $Q_1=V{C}_1$、$Q_2=V{C}_2$。等效电容储存的总电荷必须等于两者之和：

$$VC=V{C}_1+V{C}_2\Rightarrow C=C_1+C_2$$

推广到 N 个电容：

$$C=C_1+C_2+\cdots +C_N$$

例题：10 μF 与 25 μF 并联：$C=10+25=35\mu \mathrm{F}$。

4.6.2 电容的串联

串联时，能送到 $C_1$ 下极板的电荷只能来自 $C_2$ 的上极板，所以每个电容上的电荷必定相等（同为 $Q$）。总电压 $V=V_1+V_2$：

$$\frac{Q}{C}=\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}\Rightarrow \frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}$$

推广到 N 个电容：

$$\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\cdots +\frac{1}{C_N}$$

例题：10 μF 与 25 μF 串联：$1/C=1/10+1/25=35/250$，故 $C\approx 7.14\mu \mathrm{F}$。

Warning

电容的串并联公式与电阻正好相反：电容并联相加（像电阻串联），电容串联取倒数和（像电阻并联）。死记容易混，用物理直觉记：并联相当于极板面积变大（C ∝ A），所以电容相加；串联相当于介质变厚（C ∝ 1/d），所以总电容变小、小于最小的那个。

4.7 电容中的电压与电流关系

电阻的电压与电流成正比，电容不是。由 $V=Q/C$ 和 $Q=\int I\mathrm{d}t$：

$$V=\frac{Q}{C}=\frac{1}{C}\int I\mathrm{d}t$$

一个重要推论：电容两端的电压不能突变——那需要无穷大的电流。电压变化的速率由电流大小决定。

反过来用电流表达（对 $Q=CV$ 求导）：

$$I=C\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}$$

• $I$：流入电容的电流（A）；$\mathrm{d}V/\mathrm{d}t$：电压变化率（V/s）。
• 物理意义：电流不取决于电压本身，而取决于电压变化的快慢——电压不变，电流为零。

充电过程分析（图 4.7：V、R、C、开关串联）：开关闭合瞬间 $V_C=0$（不能突变），由 KVL 全部电源电压落在电阻上，初始电流 $I=V/R$。随着电荷积累、$V_C$ 上升，电阻上的电压减小、电流减小——电流从 $V/R$ 起步按指数规律衰减，电容电压从零起步逐渐上升，最终逼近电源电压。

充电快慢由 R 和 C 共同决定：R 越大电流越小充电越慢；C 越大需要充入的电荷越多也越慢。两者综合成时间常数（time constant）：

$$\tau =CR$$

• $\tau$：时间常数（秒）；决定充电速率的是 CR 的乘积，而不是 C 或 R 的具体数值。

4.8 正弦电压与电流

把正弦电压加在电容上：由 $I=C\mathrm{d}V/\mathrm{d}t$，电流正比于电压的微分，而正弦波的微分是余弦波——电流波形超前电压波形 90°（π/2 弧度）。

这是电容极重要的性质：正弦激励下电流超前电压 90°（第06章会用数学严格处理）。另外 $I=C\mathrm{d}V/\mathrm{d}t$ 还说明电流大小取决于电压变化率，而正弦波的变化率与其频率成正比——电容对交流的响应与频率相关。

Success

电容伏安两句话：电流超前电压 90°（“C 代表 Current 抢跑”）；直流稳态下电流为零（电压不变、$\mathrm{d}V/\mathrm{d}t=0$），所以电容在直流电路里最终表现为开路。

4.9 储存在充电电容中的能量

给电容充电就是把电荷 ΔQ “搬”过电压 V，每次耗能 $V\times \Delta Q$。从零充到 V，累加起来就是积分：

$$E={\int }_0^{V}CV\mathrm{d}V=\frac{1}{2}C{V}^2$$

• $E$：储存能量（J，焦耳）；$C$：电容（F）；$V$：电压（V）。
• 代入 $V=Q/C$ 还有等价形式 $E=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}$。

例题 4.7：10 μF 电容充到 100 V，储能

$$E=\frac{1}{2}\times 10^{-5}\times 100^2=50\mathrm{mJ}$$

Warning

储能公式里的 1/2 千万别丢——常见错误是照搬 $W=QV$ 算成 $C{V}^2$。为什么有 1/2？因为电荷是逐渐搬上去的，先搬的电荷只经过较低的电压，平均”搬运电压”只有最终电压的一半。这也解释了为什么理想电容充电过程的能量效率只有 50%（另一半耗在限流电阻上）。

4.10 电路符号

不同类型的电容用不同符号区分：

• (a) 固定电容标准符号；(b) 可变电容；
• (c)、(d) 极性电容（polarised capacitor）：如电解电容，因构造原因只能承受单一极性的电压，符号上加”+“号或用弯曲极板标记正端。接反了轻则失效、重则爆裂。

自测五题（点击展开答案）

1. 22 μF 电容储存 1 mC 电荷，两端电压是多少？

$V=Q/C=10^{-3}/(22\times 10^{-6})\approx 45.5$ V。

2. 电容极板 5×15 mm、间距 10 μm，介质为空气，电容是多少？换 ${\epsilon }_r=200$ 的介质呢？

空气：$C=8.85\times 10^{-12}\times (5\times 15\times 10^{-6})/(10^{-5})\approx 0.66$ pF。换介质：乘以 200，约 133 pF。

3. 极板间距 15 μm、电压 250 V，介质中电场强度是多少？

$E=V/d=250/(15\times 10^{-6})\approx 1.67\times 10^7$ V/m。

4. 10 μF 与 25 μF 串联、并联，各得多少？

并联 35 μF；串联 $1/C=1/10+1/25$，$C\approx 7.14\mu \mathrm{F}$（小于最小值，检验通过）。

5. 5 mF 电容充到 15 V，储能多少？50 μF 电容带 1.25 mC 电荷呢？

$E=\frac{1}{2}C{V}^2=0.5\times 5\times 10^{-3}\times 225\approx 0.56$ J。第二个：$V=Q/C=1.25\times 10^{-3}/(50\times 10^{-6})=25$ V，$E=Q^2/2C=(1.25\times 10^{-3}{)}^2/(10^{-4})\approx 15.6$ mJ。