第03章电阻与直流电路

Note

很多电路只用欧姆定律就能分析，但稍复杂一点就需要一套系统的方法。本章是全书分析能力的基石：从电压源/电流源的建模出发，重温欧姆定律与基尔霍夫定律，学会用戴维南/诺顿等效电路给电路”化简”，用叠加原理拆解多电源电路，最后掌握两个通用求解武器——节点分析法和网孔分析法。

3.1 引言

许多电路用欧姆定律就能分析甚至设计，但更多场合需要额外技巧。本章先深入理解电路基本元件的特性，再介绍一整套建模与分析电路的方法。

3.2 电流与电荷

电流是电荷的流动，即电荷的流量：

I = \frac{d Q}{d t}

$I$ ：电流（A）； $Q$ ：电荷（C）； $d Q / d t$ ：电荷流动速率（库仑每秒）。
物理意义：1 安培 = 每秒流过 1 库仑电荷。

反过来，把式 (3.1) 积分可得流过电流所转移的电荷：

Q = \int I d t

电流恒定时退化为简单乘积：

Q = I \times t

在原子层面，电流是电子的流动，每个电子携带约 $1.6 \times 1 0^{- 19}$ C 的负电荷。所以约定电流（假定为正电荷流动）的方向实际上与电子流动方向相反——但除非研究器件的物理机制，这个区别并不重要。

3.3 电压源（Voltage Sources）

电压源产生电动势（e.m.f.）驱动电流。注意：e.m.f. 不是通常意义的”力”，它代表电荷通过电源时所获得的能量。伏特的定义：用 1 焦耳的能量把 1 库仑电荷从一点移动到另一点，两点之间的电位差就是 1 V。

真实电源（如电池）有内阻，限制了它所能提供的电流。分析时常采用理想电压源（无内阻）的概念。理想源可以表示恒定电压、交流电压，也可以表示受其他物理量控制的电压（受控源）。

图 3.1：各种电压源的符号

关于电压标注符号：北美教材多用 ± 号，英国（及本书）用箭头——箭头标注表示”箭头头部相对尾部”的电压。优点是可以无歧义地表示正、负或交流量。

3.4 电流源（Current Sources）

与电压源对偶的概念：理想电流源无论接什么都输出恒定电流（同样可以是恒定、交流或受控的）。

图 3.2：理想电流源符号

一个漂亮的对偶关系：

理想电压源：输出电阻为零（输出电压不随负载变化）；
理想电流源：输出电阻为无穷大（输出电流不随负载变化）。

两者都是不可实现的理想模型，但能极大简化电路分析。

3.5 电阻与欧姆定律

导体两端电压与流过电流成正比，比例常数就是电阻：

V = I R, I = \frac{V}{R}, R = \frac{V}{I}

电流流过电阻会以热的形式耗散功率：

P = I V, P = \frac{V ^{2}}{R}, P = I^{2} R

电阻由材料特性和几何尺寸共同决定。材料的电阻特性用电阻率（resistivity） $ρ$ （或其倒数电导率 $σ$ ）描述。对均匀的电阻体（图 3.3）：

R = \frac{ρl}{A}

$ρ$ ：电阻率（Ω·m）； $l$ ：长度； $A$ ：横截面积。
物理意义：越长的导体电阻越大，越”粗”的导体电阻越小。铜的电阻率约 $1.6 \times 1 0^{- 8}$ Ω·m（0 °C），碳约 $6500 \times 1 0^{- 8}$ Ω·m——差了 40 万倍，这就是为什么导线用铜、电阻体用碳膜或合金。

图 3.3：元件尺寸对电阻的影响

温度的影响由电阻温度系数 $α$ 描述：纯金属为正（温度升高电阻增大），许多其他材料（包括多数绝缘体）为负。电阻器材料要选温度效应小的。此外电阻有过热损坏风险，所以每个电阻都有额定功率——通用小电阻约 1/8 ~ 1/4 W，大电阻可达数瓦（散热面积越大额定功率越高）。

3.5.1 串并联的由来

串联：流过每个电阻的电流同为 $I$ ，总电压等于各段电压之和：

V = I R_{1} + I R_{2} + \dots + I R_{N} = I (R_{1} + R_{2} + \dots + R_{N})

所以等效电阻就是各电阻之和。

并联：每个电阻两端电压同为 $V$ ，总电流等于各支路电流之和：

I = \frac{V}{R _{1}} + \frac{V}{R _{2}} + \dots + \frac{V}{R _{N}} = V (\frac{1}{R _{1}} + \dots + \frac{1}{R _{N}})

所以等效电阻满足”倒数之和再取倒数”。

图 3.4：电阻的串联与并联

并联记号

并联太常用了，有专门记号： $R_{1} / / R_{2}$ 读作” $R_{1}$ 与 $R_{2}$ 并联”。例如 10 kΩ//10 kΩ = 5 kΩ。

Warning

”//” 记号要先算完再代入：像 $200 / / 50 = 40 Ω$ 这种中间结果，混在分压公式里时千万别把 ”//” 当除号。建议先单独算出并联值（两电阻用”积除以和”），再代回公式。

3.6 节点、回路与网孔

后面方法的术语基础：

节点（node）：两个或以上元件连接的点；
回路（loop）：电路中不重复经过任何节点的闭合路径；
网孔（mesh）：不包含其他回路的回路（“最小的回路”）。

图 3.5：电路的节点与回路

对节点用基尔霍夫电流定律，对回路/网孔用电压定律。

3.7 基尔霍夫定律（Kirchhoff’s Laws）

3.7.1 电流定律（KCL）

任一时刻，流入任一节点的所有电流的代数和为零： $Σ I = 0$ 。设流入为正、流出为负即可。流入 −I 等价于流出 +I。

图 3.6：基尔霍夫电流定律的应用

例题 3.1：某节点上 $I_{1} = 8$ A、 $I_{4}$ 流入， $I_{2} = 1$ A、 $I_{3} = 4$ A 流出，求 $I_{4}$ 。

I_{1} - I_{2} - I_{3} + I_{4} = 0 \Rightarrow 8 - 1 - 4 + I_{4} = 0 \Rightarrow I_{4} = - 3 A

负号表示 $I_{4}$ 实际方向与图中箭头相反——负值不是错误，而是信息。

3.7.2 电压定律（KVL）

任一时刻，沿任一回路的电压代数和为零： $Σ V = 0$ 。保证符号不出错的简单办法：用箭头定义各电压方向，顺时针绕回路——顺向箭头记为正、逆向记为负。注意箭头表示的是电压的定义方向（测量方向），不是电压的实际极性：若算出 E 为负，说明极性与箭头相反；E 是交流量时该关系同样成立。

图 3.7：基尔霍夫电压定律的应用

例题 3.2：回路 ABCDA 中 $E = 12$ V、 $V_{1} = 3$ V、 $V_{3} = 3$ V，求 $V_{2}$ 。

E - V_{1} + V_{2} - V_{3} = 0 \Rightarrow 12 - 3 + V_{2} - 3 = 0 \Rightarrow V_{2} = - 6 V

即 B 点比 C 点高 6 V。若当初把 $V_{2}$ 箭头画反，会算得 +6 V，描述的是同一物理事实。

Success

KVL 符号三步法：先画箭头定义方向 → 顺时针绕圈 → 顺向加、逆向减。坚持始终用同一方向（如顺时针），错误率会显著下降。

3.8 戴维南定理与诺顿定理

复杂电路常常可以化简成更简单的等效电路——只要”从外面看”行为一样就行。

戴维南定理（Thévenin’s theorem）：任何由电阻和电源组成的二端网络，从外部看都可以替换为一个理想电压源 $V$ 与一个电阻 $R$ 的串联，其中：

$V$ （即 $V_{O C}$ ）= 网络的开路电压；
$R$ = 把网络内所有电源去掉（替换为其内阻）后，从输出端测得的电阻。

诺顿定理（Norton’s theorem）：同样的二端网络也可以替换为一个理想电流源 $I$ 与一个电阻 $R$ 的并联，其中：

$I$ （即 $I_{S C}$ ）= 网络的短路电流；
$R$ 的含义与戴维南完全相同。

图 3.8：戴维南与诺顿等效电路

两种形式只在”对外表现”上等效，不反映网络内部特性（如功耗）。电池建模常用戴维南形式；以后学晶体管时常会发现诺顿形式更方便。

由于两种等效电路对外行为完全相同，可推出各量之间的关系：对戴维南电路短接输出得 $I_{S C} = V_{O C} / R$ ；对诺顿电路开路得 $V_{O C} = I_{S C} R$ 。于是：

R = \frac{V _{O C}}{I _{S C}}

$V_{O C}$ ：开路电压； $I_{S C}$ ：短路电流。
物理意义：等效电阻既可以用”除源看进去”的方法求，也可以用开路电压除以短路电流求——后者还是实验测量的基础。

例题 3.3：求 30 V 源与 $R_{1} = R_{2} = R_{3} = 10 kΩ$ 构成网络（ $R_{1}$ 串在上、 $R_{2}$ 中间接输出、 $R_{3}$ 在下）的等效电路。

开路时 $R_{2}$ 无电流无压降，输出就是 $R_{1}$ 、 $R_{3}$ 分压： $V_{O C} = 30/2 = 15$ V。
短路时 $R_{2}$ 与 $R_{3}$ 并联 = 5 kΩ，总电流 $30/15 k = 2$ mA，平分后 $I_{S C} = 1$ mA。
$R = V_{O C} / I_{S C} = 15 V /1 mA = 15 kΩ$ 。

验证：把 30 V 源短路后从输出看进去， $R_{2} + (R_{1} / / R_{3}) = 10 + 5 = 15 kΩ$ ，一致。

实测法（例题 3.4）：对内部未知的二端网络，可以接不同负载测输出电压。接 25 Ω 得 2 V（电流 80 mA），接 400 Ω 得 8 V（电流 20 mA）。把”输出电压—输出电流”画成直线并外推：

图 3.9：用负载线法求等效电路

电流为零处电压 10 V（即 $V_{O C}$ ），电压为零处电流 100 mA（即 $I_{S C}$ ），故 $R = 10 V /100 mA = 100 Ω$ 。也可用分压公式联立方程求解，结果相同。

Warning

不要直接短路实测 $I_{S C}$ ：把真实电源短路可能烧坏电路。工程上更安全的做法是像例题 3.4 那样接几个温和的负载、用外推或联立方程间接求出 $V_{O C}$ 和 $I_{S C}$ 。

Success

求等效电路口诀：开路量压、短路量流、相除得阻（ $R = V_{O C} / I_{S C}$ ）；或者除源看进去求 R——电压源短路、电流源开路，再从输出端算等效电阻。

3.9 叠加原理（Superposition）

电路含有多个电源时，可以逐个分析再合成。原理表述：线性网络中任一点的电流（或电压）等于每个电源单独作用所产生结果之和；考虑某一个电源时，其余电源替换为其内阻。

例题 3.5：15 V 源与 20 V 源通过 $R_{1} = 100 Ω$ 、 $R_{2} = 200 Ω$ 、 $R_{3} = 50 Ω$ 共同驱动输出（ $R_{3}$ 接地）。

第一步，只留 15 V 源（20 V 源短路）： $R_{2} / / R_{3} = 200/ /50 = 40 Ω$ ，与 $R_{1}$ 构成分压器：

V_{1} = 15 \times \frac{40}{100 + 40} = 4.29 V

第二步，只留 20 V 源（15 V 源短路）： $R_{1} / / R_{3} = 100/ /50 = 33.3 Ω$ ：

V_{2} = 20 \times \frac{33.3}{200 + 33.3} = 2.86 V

第三步，相加：

V = V_{1} + V_{2} = 4.29 + 2.86 = 7.15 V

例题 3.6（含电流源）：处理电流源时要记住——理想电流源的内阻是无穷大，去掉它等于开路（不是短路！）。5 V 电压源与 2 A 电流源经 10 Ω、5 Ω 电阻共同作用：

只留电压源（电流源开路）： $I_{1} = 5/ (10 + 5) = 0.33$ A；
只留电流源（电压源短路）：两电阻并联 3.33 Ω，电压 $2 \times 3.33 = 6.66$ V， $I_{2} = 6.66/5 = 1.33$ A；
合成： $I = 0.33 + 1.33 = 1.66$ A。

Warning

除源时电压源短路、电流源开路，千万别记反。判断依据是内阻：理想电压源内阻为 0（短路掉后不影响电路），理想电流源内阻无穷大（开路掉）。这一步错，叠加结果全错。

3.10 节点分析法（Nodal Analysis）

对节点系统化地应用 KCL，生成联立方程。六步流程：

选一个参考节点（通常选接地节点，所有电压以它为基准）；
其余节点标为 $V_{1}, V_{2}, V_{3} \dots$ ；
已知电压的节点（由固定电压源决定）直接标值；
对每个电压未知的节点应用 KCL（电流流入之和 = 0）；
解联立方程求各节点电压；
需要时由节点电压求各支路电流。

关键技巧：流进某节点的电流 =（相邻节点电压 − 本节点电压）/ 电阻。例如对节点 $V_{2}$ ：

\frac{E - V _{2}}{R _{A}} + \frac{V _{3} - V _{2}}{R _{B}} + \frac{0 - V _{2}}{R _{C}} = 0

图 3.10：节点分析法的应用

注意：电压源的电压已知但电流未知；电流源则相反——列方程时利用这一”已知/未知”的互补性。

例题 3.7：三电源电路，未知节点电压满足：

\frac{50 - V _{2}}{10} + \frac{V _{3} - V _{2}}{20} + \frac{0 - V _{2}}{15} = 0

\frac{V _{2} - V _{3}}{20} + \frac{100 - V _{3}}{30} + \frac{0 - V _{3}}{25} = 0

解得 $V_{2} = 32.34$ V、 $V_{3} = 40.14$ V，故 $I_{1} = V_{3} /25 = 1.6$ A。

3.11 网孔分析法（Mesh Analysis）

对偶的方法：对每个网孔应用 KVL。步骤：

给每个网孔指定一个顺时针环路电流 $I_{1}, I_{2}, I_{3} \dots$ ；
沿每个网孔顺时针求电压和，令其为零；
解联立方程求各环路电流；
需要时再算电压。

图 3.11：网孔分析法

关键技巧——公共支路：两个网孔共享的电阻中，两个环路电流方向相反，电压由电流差决定。例如：

E - I_{1} R_{A} - (I_{1} - I_{2}) R_{C} = 0

只被 $I_{1}$ 流过的电阻，压降为 $I_{1} R$ ；
被 $I_{1}$ 、 $I_{2}$ 共同流过的电阻，压降为 $(I_{1} - I_{2}) R$ 。

例题 3.8：三网孔电路（50 V 源，各电阻 70/20/100/80/10/30/60/40/90 Ω），列出三个方程：

50 - 160 I_{1} + 20 I_{2} + 30 I_{3} = 0

20 I_{1} - 210 I_{2} + 10 I_{3} = 0

30 I_{1} + 10 I_{2} - 190 I_{3} = 0

解得 $I_{1} = 326$ mA、 $I_{2} = 34$ mA、 $I_{3} = 53$ mA。10 Ω 电阻上的电压：

V_{E} = 10 \times (I_{3} - I_{2}) = 10 \times (0.053 - 0.034) = 0.19 V

结果为正，说明极性与定义箭头一致（左端为正）。

Success

节点法 vs 网孔法的选择直觉：节点少用节点法，网孔少用网孔法；电压源多时节点法顺手（源电压直接已知），电流源多时网孔法顺手。方向约定统一（都取顺时针）能大幅减少符号错误。

3.12 求解联立电路方程

节点/网孔法产出的联立方程，简单电路可手解；复杂电路用矩阵形式配合矩阵代数求解。把例题 3.8 的方程写成矩阵：

1602030 - 20 - 210 10 - 30 10 - 190 I_{1} I_{2} I_{3} = 5000

可用克莱姆法则（Cramer’s rule）手算，也可用科学计算器，或 MATLAB/Mathcad 等软件包求解任意规模的方程组。现代电路仿真工具（SPICE 类）内部正是用节点分析来处理高度复杂电路的。

3.13 分析方法的选择

面对一个电路，选哪种方法没有硬性规则，通常取决于电路形态和熟练度。同一个电路往往有好几条路可走——以一个两电源电路为例：可以用节点/网孔法硬解；可以用叠加原理逐个分析再相加；也可以先用诺顿等效把一部分电路化简，让剩下的电路变成”两个电流源、两个电阻全并联”，直接相乘相加得输出电压。

图 3.12：同一电路的多种分析方法

技巧会随练习提高；对于过于复杂的电路，就交给计算机化的网络分析工具——但很多情况下，本章的手工方法完全够用。

自测五题（点击展开答案）

1. 5 A 电流持续流动 10 s，转移了多少电荷？

$Q = I t = 5 \times 10 = 50$ C。

2. 理想电压源和理想电流源的内阻各是多少？

理想电压源内阻为 0，理想电流源内阻为无穷大。

3. 10 kΩ//10 kΩ 等于多少？铜导线长 1 m、截面积 1 mm²，电阻率 $1.6 \times 1 0^{- 8}$ Ω·m，电阻约为多少？

并联： $10 kΩ \times 10 kΩ /20 kΩ = 5 kΩ$ 。导线： $R = ρl / A = 1.6 \times 1 0^{- 8} \times 1/ (1 \times 1 0^{- 6}) = 16 mΩ$ 。

4. 某二端网络接 12 Ω 负载输出 16 V，接 48 Ω 负载输出 32 V，求其戴维南等效电路。

电流分别为 16/12 = 1.33 A 和 32/48 = 0.67 A。两点连线外推： $I = 0$ 时 $V_{O C} = 48$ V， $V = 0$ 时 $I_{S C} = 4$ A，故 $R = 48/4 = 12 Ω$ 。（亦可用分压联立方程验证。）

5. 节点法和网孔法分别基于哪条定律？各自第一步做什么？

节点法基于 KCL，第一步选参考节点并标注各节点电压；网孔法基于 KVL，第一步给每个网孔指定顺时针环路电流。

description	系统讲解电压源/电流源、欧姆定律、基尔霍夫定律、戴维南与诺顿等效、叠加原理及节点/网孔分析法。
tags	电子系统方法精讲

嵌入式开发之路

探索

第03章电阻与直流电路

3.1 引言

3.2 电流与电荷

3.3 电压源（Voltage Sources）

3.4 电流源（Current Sources）