第13章 压杆屈曲：欧拉公式与失稳

这一篇在干嘛？

一根细长的杆件受压时，往往还没被”压坏”（材料屈服），就先突然弯出去而失效——这叫屈曲（buckling，失稳）。本章回答三个问题：压杆最多能扛多大的力？端部怎么固定影响多大？实际工程中怎么设计压杆？

13.1 什么是临界载荷：从”稳定”说起

一根又长又细的杆件在轴向压力作用下，除了要满足强度和变形要求外，还必须稳定。压杆（column）受压到某个程度时会突然向侧面弯曲，这种横向变形就是屈曲。屈曲往往导致结构突然、灾难性的失效——比如海上石油平台的支撑柱、起重机的管状杆件。

压杆在屈曲边缘能承受的最大轴向载荷称为临界载荷（critical load），记作 $P_{cr}$。超过它，杆件就会侧向挠曲而失效。

图13-1 直杆受压达到临界载荷 $P_{cr}$ 后突然侧弯

用一个简单模型理解三种平衡状态

理解失稳不需要复杂数学，用一个”两根刚性杆 + 一根弹簧”的机构就够了：两根无重刚杆在顶端铰接并连有刚度为 $k$ 的弹簧。把顶铰 A 拨偏一个小角度 $\theta$，弹簧产生恢复力 $F=k\theta (L/2)$，想把机构拉回竖直；而载荷 $P$ 产生倾覆力 $2P\theta$，想把机构推得更歪。比较两者：

• $P<\frac{kL}{4}$：恢复力赢，机构回到原位——稳定平衡（stable equilibrium）
• $P>\frac{kL}{4}$：倾覆力赢，机构越偏越远——不稳定平衡（unstable equilibrium）
• $P=\frac{kL}{4}$：恰好持平——中性平衡（neutral equilibrium），这就是临界载荷 $P_{cr}=kL/4$

图13-2 两杆弹簧机构：比较弹簧恢复力与载荷倾覆力

临界点在载荷-挠度图上称为分岔点（bifurcation point）：载荷越过它之后，杆件会在任意小的侧偏位置上都能”停留”，再大的载荷只会产生更大的挠度——而工程结构绝不容忍这种大变形。

常见坑：屈曲 ≠ 强度破坏

强度破坏（屈服/断裂）是材料应力超过极限；屈曲是平衡形态失去稳定性，属于刚度与几何问题。细长压杆可能在应力远低于屈服点时就失稳，所以压杆设计必须单独校核稳定性。

13.2 理想铰支压杆与欧拉公式

理想柱的三个假设

推导公式前先明确”理想柱”（ideal column）是什么：

1. 材料均匀、线弹性；
2. 加载前完全笔直；
3. 载荷通过截面形心（即纯轴向受压，无初偏心）。

推导思路：把挠曲线微分方程用在失稳边缘

压杆保持稳定还是失稳，取决于它抵抗弯曲的能力。所以利用挠曲线与弯矩的关系：

$$EI\frac{d^{2}v}{d{x}^2}=M\text{\hspace{1em}(13-1)}$$

设压杆在微弯状态下，距底端 $x$ 处的侧向位移为 $v$。取分离体可知截面弯矩 $M=-Pv$（载荷 $P$ 乘以力臂 $v$），代入得：

$$\frac{d^{2}v}{d{x}^2}+\left(\frac{P}{EI}\right)v=0\text{\hspace{1em}(13-2)}$$

这是二阶常系数齐次微分方程，通解为：

$$v=C_1\sin \left(\sqrt{\frac{P}{EI}}x\right)+C_2\cos \left(\sqrt{\frac{P}{EI}}x\right)\text{\hspace{1em}(13-3)}$$

两端铰支的边界条件是 $x=0$ 和 $x=L$ 处 $v=0$。由 $x=0$ 得 $C_2=0$；由 $x=L$ 得 $C_1\sin \left(\sqrt{P/EI}L\right)=0$。

这里有一个关键的逻辑分岔：

• 若 $C_1=0$，则 $v\equiv 0$，杆永远笔直——这是”平凡解”，无法描述失稳；
• 所以必须 $\sin \left(\sqrt{P/EI}L\right)=0$，即 $\sqrt{P/EI}L=n\pi$，得到一族载荷：

$$P=\frac{n^2{\pi }^{2}EI}{L^2},n=1,2,3,\dots \text{\hspace{1em}(13-4)}$$

取最小的 $n=1$，得临界载荷（欧拉载荷，Euler load）：

$$P_{cr}=\frac{{\pi }^{2}EI}{L^2}\text{\hspace{1em}(13-5)}$$

对应的屈曲形态是半个正弦波 $v=C_1\sin (\pi x/L)$，$C_1$ 就是跨中最大挠度（失稳后其数值无法由线性理论确定，只能假设很小）。$n=2,3$ 对应更高级的屈曲形态（两个、三个半波），需要更大的载荷，工程上不关心。

图13-5 屈曲形态为半正弦波，跨中挠度最大

欧拉公式告诉我们什么

• $P_{cr}$ 只与 $E$ 和 $I$ 有关，与强度无关。 高强钢和普通钢的 $E$ 几乎相同（约 200 GPa），所以换成高强钢对细长压杆毫无帮助——这是初学者最容易忽略的一点。
• $I$ 取最小值。 压杆总是绕惯性矩最小的弱轴屈曲。像米字尺那样扁长截面会绕窄轴弯，所以好的压杆截面应让各方向 $I$ 尽量接近——圆管是最理想的压杆截面，其次是方管或 $I_x\approx I_y$ 的型钢。为提高 $I$，材料应尽量远离截面形心布置，所以空心管比实心杆更经济。

图13-6 矩形截面压杆绕弱轴 a–a 屈曲，而非强轴 b–b

用应力表达：细长比登场

设计时用应力更方便。利用 $I=A{r}^2$（$A$ 为截面积，$r=\sqrt{I/A}$ 为回转半径，radius of gyration），欧拉公式化为临界应力形式：

$${\sigma }_{cr}=\frac{{\pi }^{2}E}{(L/r{)}^2}\text{\hspace{1em}(13-6)}$$

其中的几何比值 $L/r$ 称为细长比（slenderness ratio），它是压杆”柔软程度”的度量，用于把压杆分为长柱、中长柱、短柱三类。

注意式(13-6)是一条双曲线，且只有在 ${\sigma }_{cr}$ 低于材料比例极限时才成立。对屈服强度 36 ksi、$E=29\times 10^3$ ksi 的结构钢，令 ${\sigma }_{cr}={\sigma }_Y$ 可解出 $(L/r{)}_{st}=89$：细长比小于 89 的钢柱会先屈服后屈曲，欧拉公式不再适用。

图13-7 钢与铝的 ${\sigma }_{cr}$–$L/r$ 双曲线：曲线只在比例极限以下有效

例题精选

例13-1（原书 Example 13.1）：A992 钢 W8×31 工字钢用作两端铰支压杆，长 12 ft，求屈曲或屈服前能承受的最大轴向载荷。${\sigma }_Y=50$ ksi。

解：查表得 $A=9.13{\text{in}}^2$，$I_x=110{\text{in}}^4$，$I_y=37.1{\text{in}}^4$。压杆绕弱轴（y 轴）屈曲，用式(13-5)：

$$P_{cr}=\frac{{\pi }^{2}EI}{L^2}=\frac{{\pi }^2[29(10^3){\text{kip/in}}^2](37.1{\text{in}}^4)}{[12\text{ft}(12\text{in./ft}){]}^2}=512\text{kip}$$

此时平均压应力为 ${\sigma }_{cr}=512/9.13=56.1$ ksi，超过屈服应力 50 ksi——说明杆还没来得及屈曲材料就先屈服了，所以实际承载力由强度控制：

$$P=50\text{ksi}\times 9.13{\text{in}}^2=456\text{kip}$$

常见坑：算出 $P_{cr}$ 后必须回查应力

用欧拉公式算完载荷，一定要检查 ${\sigma }_{cr}=P_{cr}/A$ 是否超过 ${\sigma }_Y$（严格说应低于比例极限）。超过了就说明”先屈服、后屈曲”，欧拉解无效，答案要改由强度控制——本题就是典型。

13.3 不同端部约束：有效长度的概念

欧拉公式是按两端铰支推的，实际压杆还有固定端、自由端等各种约束。以底部固定、顶部自由的悬臂柱为例，可推得其临界载荷为 $P_{cr}={\pi }^{2}EI/(4L^2)$——只有铰支柱的四分之一。