第14章 能量法：应变能与卡氏定理

这一篇在干嘛？

前面各章算变形靠挠曲线微分方程，积分又长又容易错。本章换一个视角：外力做的功储存在构件里成了应变能（strain energy）。围绕 $U_e=U_i$ 这条能量账本，发展出能量守恒法、冲击载荷分析、虚功法和卡氏定理四大工具——特别是后两个，能一次性算出结构上任意点的位移和转角。

14.1 外力功与应变能

力做的功

力在沿自身方向的位移上做功。关键区分两种加载情形（对应图14-1）：

• 渐加载荷（力从 0 缓慢增大到 P，位移线性增长到 Δ）：功等于 P–Δ 图下的三角形面积：

$$U_e=\frac{1}{2}P\Delta \text{\hspace{1em}(14-2)}$$

• 常力做功（力 P 已经在杆上，另一个力 P′ 使杆又多位移了 Δ′）：原有的力 P 是”全额”做功：

$$U_e^{\prime }=P{\Delta }^{\prime }\text{\hspace{1em}(14-3)}$$

这个 ½ 的差别在后面虚功法和卡氏定理的推导中反复出现，是理解能量法的钥匙。

图14-1 渐加载荷的功为三角形面积（½PΔ），已加载荷再位移则为矩形面积（PΔ′）

力偶矩 M 做功对应的是角位移 θ：渐加时 $U_e=\frac{1}{2}M\theta$，常力偶再转则 $U_e^{\prime }=M{\theta }^{\prime }$。

应变能：存在材料里的功

载荷对弹性体做的外功，若不以热、声等形式损失，就全部转化为储存于体内的应变能 $U_i$。对体积微元分别推导正应力和剪应力的贡献：

$$U_i={\int }_V\frac{{\sigma }^2}{2E}dV\text{\hspace{1em}(14-8)}$$ $$U_i={\int }_V\frac{{\tau }^2}{2G}dV\text{\hspace{1em}(14-11)}$$

图14-3 正应力对体积微元做功：$d{U}_i=\frac{1}{2}\sigma ϵdV$

注意两点：应变能恒为正（压应力做功也是正的，因为 σ 与 ε 同向）；由于能量是标量，复杂应力状态（式14-12、14-14 用主应力表达）可以直接把各分量贡献相加，不存在”方向抵消”。

14.2 四种基本变形的应变能公式

把式(14-8)/(14-11)按内力 N、V、M、T 改写，得到四个”工作公式”。这是全章的弹药库，必须熟练：

内力类型	应变能公式	恒载（N、T 常数）情形
轴力 N	$U_i={\int }_0^L\frac{N^2}{2AE}dx$ (14-15)	$U_i=\frac{N^{2}L}{2AE}$ (14-16)
弯矩 M	$U_i={\int }_0^L\frac{M^2}{2EI}dx$ (14-17)	—
剪力 V	$U_i={\int }_0^L\frac{f_s{V}^2}{2GA}dx$ (14-19)	—
扭矩 T	$U_i={\int }_0^L\frac{T^2}{2GJ}dx$ (14-21)	$U_i=\frac{T^{2}L}{2GJ}$ (14-22)

其中 $f_s$ 是剪切形状系数（无量纲，矩形截面 $f_s=6/5$）。

图14-9 弯曲应变能推导：对截面上的应力二次方积分

剪切应变能为什么可以忽略？

对均布载荷悬臂梁做对比（原书例14.4的结论）：剪切与弯曲应变能之比约为 $2(a/L{)}^2(E/G)$。即使短到 $L=5a$，剪切贡献也只有弯曲的 8%。所以除了又短又粗的梁，梁的剪切应变能一律忽略——这个约定贯穿本章。

图14-15 扭转应变能：$\tau =T\rho /J$ 对截面积分得极惯性矩 J

还有一个反直觉的规律：直径越大的轴，吸能能力反而越差（因为 J 增大使 $T^{2}L/2GJ$ 减小）。同理，截面小的区段才是”吸能主力”。

例题精选

例14-1（原书 Example 14.1）：两根高强度钢螺栓用于承受突加拉伸载荷，$E_{st}=29\times 10^3$ ksi，${\sigma }_Y=44$ ksi。螺栓 A：长 2 in 的光杆段直径 0.875 in，螺纹段（长 0.25 in）根径 0.731 in；螺栓 B：“墩粗”设计，全长 2.25 in 直径都是 0.731 in。问哪个螺栓吸收冲击能量更强？

解：最大载荷由最小截面控制（屈服限制在 0.731 in 段）：

$$P_{max}={\sigma }_{Y}A=44\left[\pi {\left(\frac{0.731}{2}\right)}^2\right]=18.47\text{kip}$$

螺栓 A（分两段求和，式14-16）：

$$U_i=\sum \frac{N^{2}L}{2AE}=\frac{(18.47{)}^2(2)}{2[\pi (0.875/2{)}^2][29(10^3)]}+\frac{(18.47{)}^2(0.25)}{2[\pi (0.731/2{)}^2][29(10^3)]}=0.0231\text{in⋅kip}$$

螺栓 B（全长均匀小截面）：

$$U_i=\frac{(18.47{)}^2(2.25)}{2[\pi (0.731/2{)}^2][29(10^3)]}=0.0315\text{in⋅kip}$$

结论：螺栓 B 多吸收 37% 的能量。道理在式(14-16)里：$U_i\propto L/A$，粗段虽然应力低，但 A 大导致吸能效率低；让全长都工作在小截面高应力状态，才最”能装”能量。这就是缓冲、抗冲击连接件要设计成等强度细长形状的原因。

14.3 能量守恒法：简单但有硬伤

对缓慢加载的弹性体，外功全部转为应变能：

$$U_e=U_i\text{\hspace{1em}(14-23)}$$

用于求加载点沿载荷方向的位移：

• 桁架（单点受力 P，求该点位移 Δ）：

$$\frac{1}{2}P\Delta =\sum \frac{N^{2}L}{2AE}\text{\hspace{1em}(14-24)}$$

• 梁（受集中力 P 或力偶 $M_0$，忽略剪切）：

$$\frac{1}{2}P\Delta ={\int }_0^L\frac{M^2}{2EI}dx,\frac{1}{2}{M}_0\theta ={\int }_0^L\frac{M^2}{2EI}dx\text{\hspace{1em}(14-25, 14-26)}$$

图14-18 桁架单点加载：外功 ½PΔ 等于各杆应变能之和

原书例14.6用此法求三杆桁架加载点水平位移：$\frac{1}{2}(5){\Delta }_B=\sum N^{2}L/2AE$，解得 ${\Delta }_B=47.32/(AE)=0.0979$ in。

常见坑：能量守恒法只能算"一个载荷对应自己那个位移"

这是本方法的天花板：结构上若有两个以上外力，外功里就有多个未知位移，而能量方程只有一条，解不开。而且它只能求加载点、沿载荷方向的位移——想求别的点、别的方向，就无能为力。这正是虚功法登场的理由。

14.4 冲击载荷：动载放大系数

坠块-弹簧模型

重 W 的物块从高 h 自由下落，砸中刚度 k 的弹簧，压出最大位移 ${\Delta }_{max}$。用能量守恒（重力做功 = 弹簧储能）：

$$W(h+{\Delta }_{max})=\frac{1}{2}k{\Delta }_{max}^2$$

解此二次方程并引入静位移 ${\Delta }_{st}=W/k$，得核心公式：

$${\Delta }_{max}={\Delta }_{st}\left[1+\sqrt{1+2\left(\frac{h}{{\Delta }_{st}}\right)}\right]\text{\hspace{1em}(14-28)}$$ $$F_{max}=k{\Delta }_{max}\text{\hspace{1em}(14-29)}$$

两个重要特例：

• $h=0$（物块贴着弹簧突然释放）：${\Delta }_{max}=2{\Delta }_{st}$——突加载荷的效应是静载的两倍，动位移翻倍、动应力翻倍；
• 水平滑块以速度 v 撞弹簧：动能全部转化，${\Delta }_{max}=\sqrt{{\Delta }_{st}{v}^2/g}$（式14-30、14-31）。

图14-24 水平滑块撞击弹簧：动能转化为弹性应变能

推广到任意弹性构件：冲击系数

把被撞的柱、梁看成”弹簧”——不需要真的算等效刚度 k，只要算出把重物静置在被撞点上产生的静位移 ${\Delta }_{st}$，就能套式(14-28)。定义冲击系数（impact factor）：

$$n=1+\sqrt{1+2\left(\frac{h}{{\Delta }_{st}}\right)}\text{\hspace{1em}(14-32)}$$ $${\Delta }_{max}=n{\Delta }_{st},{\sigma }_{max}=n{\sigma }_{st}\text{\hspace{1em}(14-33)}$$

模型的隐含假设：撞击物是刚体、被撞体线弹性且质量可忽略、碰撞过程无能量损失、两者保持接触。这些假设都会让估计值偏保守（偏大），用作安全设计正合适。

例题精选

例14-2（原书 Example 14.9）：W = 1.50 kip 的重物从 h = 2 in 高处落到简支梁跨中。梁为 W10×39 A992 钢，长 16 ft，$E_{st}=29\times 10^3$ ksi，$I=209{\text{in}}^4$。求最大弯曲应力与最大挠度。

解：第一步，求静位移（查表：跨中集中力简支梁 $\Delta =P{L}^3/48EI$）：

$${\Delta }_{st}=\frac{(1.50)(16\times 12{)}^3}{48[29(10^3)](209)}=0.03649\text{in}$$

第二步，求动位移（式14-28）：

$${\Delta }_{max}=0.03649\left[1+\sqrt{1+2\left(\frac{2}{0.03649}\right)}\right]=0.420\text{in}$$

第三步，求等效静力 $P_{max}=k{\Delta }_{max}$，其中 $k=48EI/L^3$：

$$P_{max}=\frac{48[29(10^3)](209)}{(16\times 12{)}^3}(0.420)=17.3\text{kip}$$

静载才 1.5 kip，冲击放大到 17.3 kip（$n\approx 11.5$）！第四步，按跨中集中力求最大弯矩与应力：

$${\sigma }_{max}=\frac{M_{max}c}{I}=\frac{P_{max}Lc}{4I}=19.7\text{ksi}$$

注意放大倍数取决于 $h/{\Delta }_{st}$：结构越”软”（${\Delta }_{st}$ 越大），冲击放大越温和。缓冲弹簧、柔性支座的本质就是把 ${\Delta }_{st}$ 做大来压低 n——防撞护栏、垫圈、起落架都是这个原理。

常见坑：冲击问题的单位与静位移

算 ${\Delta }_{st}$ 时单位必须自洽（美制题里 ft 与 in 混用是重灾区，长度的三次方一错就差 12³ 倍）。另外 n 只对被撞点的位移和该载荷引起的应力按比例放大，别的点的应力要用 $P_{max}=nW$ 重新按静力分析计算。

*14.5–14.6 虚功原理：求任意点的位移

思想：人为造一条”能量账本”

想求结构上 A 点沿某方向的位移 Δ，但那里根本没有外力，能量守恒方程里就没有 Δ 这一项。虚功法的妙招：想象在 A 点沿 Δ 方向先加一个虚拟的单位力（P′=1，加在真实载荷之前）。真实载荷使结构变形后，这个虚拟单位力做了外虚功 $1\cdot \Delta$；同时它在构件内引起的虚拟内力也在真实变形上做了内虚功。令外虚功 = 内虚功：

$$1\cdot \Delta =\int \frac{nN}{AE}dx+\int \frac{mM}{EI}dx+\int \frac{f_{s}vV}{GA}dx+\int \frac{tT}{GJ}dx\text{\hspace{1em}(14-35)}$$

其中小写 n、m、v、t 是单位虚载荷引起的内力，大写 N、M、V、T 是真实载荷引起的内力。“虚”的只是那组单位载荷，位移 Δ 是真实的。

求转角就把单位力换成单位力偶。求桁架节点位移时（轴力沿杆长不变），式(14-35)简化为最常用的形式：

$$1\cdot \Delta =\sum \frac{nNL}{AE}\text{\hspace{1em}(14-37)}$$

还可以扩展到温度变化与制造误差：$1\cdot \Delta =\sum n\alpha \Delta TL$（式14-38，ΔT 升温为正）；$1\cdot \Delta =\sum n\Delta L$（式14-39，杆变长为正）。

图14-29 先加虚拟单位载荷，再施加真实载荷，令外虚功等于内虚功

解题套路（桁架版）

1. 虚力 n：把单位力加在目标节点、沿目标方向（方向可以随便假设，算出来为负说明方向反了）；撤掉所有真实载荷，用节点法求各杆内力 n（拉为正、压为负）。
2. 真力 N：只由真实载荷引起的各杆内力 N（同样带符号）。
3. 列表求和：逐杆算 nNL，累加后除以 AE。结果为正 → 位移与单位力同向；为负 → 反向。

例题精选

例14-3（原书 Example 14.11）：钢桁架各杆 $A=400{\text{mm}}^2$，$E_{st}=200$ GPa，求节点 C 的竖向位移（100 kN 真实载荷如图）。

解：虚力 n：在 C 加竖直向下单位力 1 kN，节点法解得（括号内为真实载荷下的 N）：

杆件	n (kN)	N (kN)	L (m)	nNL (kN²·m)
AB	0	−100	4	0
BC	0	141.4	2.828	0
AC	−1.414	−141.4	2.828	565.7
CD	1	200	2	400
Σ				965.7

$${\Delta }_{C_v}=\frac{\sum nNL}{AE}=\frac{965.7{\text{kN}}^2\cdot \text{m}}{[400(10^{-6}){\text{m}}^2][200(10^6){\text{kN/m}}^2]}=0.01207\text{m}=12.1\text{mm}$$

结果为正，位移与所设单位力同向（向下）。注意表格：AB、BC 两杆的 n 为零，所以它们的 N 根本不用算——单位力系统里不受力的杆件可以直接跳过。

图14-31 桁架虚功法：单位虚载荷作用于目标节点

原书例14.12是综合应用：真实载荷 + 温升 ΔT=+60°C + AB 杆制造短了 3 mm 三种效应叠加，三项右侧相加得 ${\Delta }_B=1.25$ mm。

*14.7 虚功法用于梁：算位移也算转角

梁忽略剪切变形后，虚功方程只剩弯矩项：

$$1\cdot \Delta ={\int }_0^L\frac{mM}{EI}dx\text{\hspace{1em}(14-40)}$$ $$1\cdot \theta ={\int }_0^L\frac{m_{\theta }M}{EI}dx\text{\hspace{1em}(14-41)}$$

m 是单位力引起的弯矩函数，$m_{\theta }$ 是单位力偶引起的弯矩函数，M 是真实载荷下的弯矩函数。

实操要点：

• 梁上载荷不连续（集中力、力偶、分布载荷断点）处必须分段设 x 坐标，每段分别写 m 和 M 再分段积分相加；
• 同一段内，m 与 M 必须用同一个 x 坐标（原点可以不同，但坐标必须配对）；
• x 的原点选在自由端或悬臂端，可以避免先求支反力；
• 积分结果为正 → 位移/转角与虚拟单位载荷同向。

例题精选

例14-4（原书 Example 14.13）：悬臂梁 A 端固定，全梁受均布载荷 w，求自由端 B 的挠度。EI 为常数。

解：虚弯矩 m：在 B 加竖直单位力，以 B 为原点、x 向左，任一截面的弯矩 $m=-1\cdot x=-x$（无需求 A 端反力）。

真弯矩 M：同一坐标下 $M=-\frac{w{x}^2}{2}$。

积分：

$${\Delta }_B={\int }_0^L\frac{(-x)\left(-\frac{w{x}^2}{2}\right)}{EI}dx=\frac{w}{2EI}{\int }_0^L{x}^{3}dx=\frac{w{L}^4}{8EI}$$

与材料力学熟知的悬臂梁均布载荷端部挠度公式完全一致。可见虚功法只是把”解微分方程”换成了”两个弯矩函数相乘再积分”。

通关标准：

1. 熟背四个应变能公式（轴力/弯曲/剪切/扭转），并理解”剪切应变能通常忽略”的依据；
2. 会用能量守恒法求单载荷加载点位移，并明确其局限（一点一方向）；
3. 掌握冲击三步法：静位移 → 冲击系数 n → 动位移与动应力，记住突加载荷 n=2；
4. 能完整执行虚功法：桁架列表算 ΣnNL/AE，梁分段写 m、M 后积分，符号约定正确；
5. 会处理温度变化与制造误差项（式14-38、14-39）。

*14.8–14.10 卡氏第二定理：换个记号的虚功法

定理内容

1879 年意大利铁路工程师 Castigliano 提出的第二定理：应变能对某个外力 P 求偏导，就得到该力作用点沿其方向的位移；对应变能对力偶 $M^{\prime }$ 求偏导，得到该处的转角：

$${\Delta }_j=\frac{\partial U_i}{\partial P_j}\text{\hspace{1em}(14-45)}$$

推导的核心是一个巧妙的”换序”论证：先加大载荷再加微元 $d{P}_j$，与先加 $d{P}_j$ 再加大载荷，终态应变能必须相同（做功与加载顺序无关），比较两条路径的能量增量即得结论。适用条件：线弹性、常温。

桁架形式

把 $U_i=\sum N^{2}L/2AE$ 代入并”先求导后求和”：

$$\Delta =\sum N\left(\frac{\partial N}{\partial P}\right)\frac{L}{AE}\text{\hspace{1em}(14-46)}$$

对比虚功法的 $\sum nNL/AE$：$\partial N/\partial P$ 扮演的正是 n 的角色——虚单位力下的内力分布，等于把 P 当变量时 N 对 P 的变化率。两种方法殊途同归。

梁的形式

$$\Delta ={\int }_0^{L}M\left(\frac{\partial M}{\partial P}\right)\frac{dx}{EI},\theta ={\int }_0^{L}M\left(\frac{\partial M}{\partial M^{\prime }}\right)\frac{dx}{EI}\text{\hspace{1em}(14-47, 14-48)}$$

若轴力、剪切、扭转贡献显著，还有全量版本（式14-49）把四项全加上。

解题套路

1. 在目标点沿目标方向假设一个可变的力 P（或力偶 M′）。如果该处本来就有真实载荷，就让 P”顶替”它，最后再代回真实值；如果没有，算完后令 P = 0；
2. 把含 P 的弯矩函数 M(x) 写出来，先求偏导 $\partial M/\partial P$，再代入 P 的数值（顺序不能反）；
3. 代入式(14-47)积分。结果为正 → 位移与 P 同向；为负 → 反向。

例题精选

例14-5（原书 Example 14.16）：悬臂梁受均布载荷 w，用卡氏定理求自由端 B 的挠度。

解：设力 P：在 B 加竖直向下可变力 P。

写弯矩与偏导（x 从 B 端起）：$M=-\frac{w{x}^2}{2}-Px$，故 $\frac{\partial M}{\partial P}=-x$。

令 P = 0（P 只是虚拟的）后代入式(14-47)：

$${\Delta }_B={\int }_0^L\frac{\left(-\frac{w{x}^2}{2}\right)(-x)}{EI}dx=\frac{w{L}^4}{8EI}$$

与例14-4虚功法结果完全一致：对照两法可见 $m=\partial M/\partial P$（单位力下的弯矩 = 真实弯矩对虚拟力的偏导）。卡氏定理的好处是不用单独解一套单位力系统——把 P 留在 M 的表达式里，求完偏导再清零即可。

求转角同理：在目标点设力偶 M′，求 $\partial M/\partial M^{\prime }$ 后令 M′=0 积分（原书例14.17 对例14.14 的悬臂梁转角重复验证，得 ${\theta }_B=-3P{L}^2/8EI$，负号表示转向与所设力偶相反）。

全章方法论地图

$$\underset{\text{能量守恒：只能算加载点}}{\underbrace{U_e=U_i}}⟶\underset{\text{冲击：动载荷放大}}{\underbrace{n=1+\sqrt{1+\frac{2h}{{\Delta }_{st}}}}}⟶\underset{\text{虚功：人为单位力}}{\underbrace{1\cdot \Delta =\int \frac{mM}{EI}dx}}⟷\underset{\text{卡氏：P 作变量}}{\underbrace{\Delta =\int M\frac{\partial M}{\partial P}\frac{dx}{EI}}}$$

四种工具共享同一套弹药库（N、V、M、T 的四个应变能公式），本质上都是能量守恒的不同记账方式。

通关标准：

1. 能完整复述卡氏定理的解题三步（设 P → 求 ∂M/∂P 且先求导后代值 → 令 P=0 积分）；
2. 理解 $\partial N/\partial P$ 与虚功法中 n 的等价关系，会针对题目特征选方法（一次算一个位移用卡氏更顺手）；
3. 分段积分时保证同一区段内 M 与 ∂M/∂P 用同一坐标；
4. 符号敏感：结果为负说明真实方向与所设 P（或单位力）相反。

自测：为什么"已加载的常力"做功是 PΔ′ 而不是 ½PΔ′？

½PΔ 只在力从零逐渐增大的加载过程中出现（P–Δ 图是三角形）。如果力 P 已经全额作用在结构上，随后其他载荷引起的新增位移 Δ′ 期间，P 保持恒定，做功就是矩形面积 P·Δ′。虚功法和卡氏定理推导里”先加的小载荷在大位移上做功不计 ½”用的正是这个道理。

自测：重物贴着弹簧表面突然释放（h=0），弹簧最大压缩量是静位移的几倍？为什么？

2 倍。代入式(14-28)：${\Delta }_{max}={\Delta }_{st}[1+\sqrt{1+0}]=2{\Delta }_{st}$。物理上，重力先做功 W·Δ 把块压到静平衡位置，此时重力做的总功已超过弹簧在 Δ_st 处的储能，块会带着动能继续压缩，直到二倍静位移处速度才减为零。所以”突然放置”比”轻轻放置”危险一倍。

自测：虚功法算出来的位移是负的，说明什么？

说明真实位移方向与所加虚拟单位力（或单位力偶）的方向相反。虚拟载荷的方向本来就是随便假设的，负号恰好把真实方向告诉你了——把答案方向反过来即可，不是错误。

自测：用卡氏定理时，为什么必须"先求偏导、再代入 P=0"？

因为 $\partial M/\partial P$ 的含义是”M 随 P 变化的速率”，即单位力分布。如果先把 P=0 代入 M 再求导，得到的全是 0，虚拟内力系统就丢了。正确顺序：保留 P 求出偏导函数，然后在整个函数里令 P 取最终值（真实载荷存在则代真实值，纯虚拟则代 0）。

自测：为什么梁的剪切应变能一般可以忽略，什么情况下不能忽略？

对矩形截面悬臂梁，剪切与弯曲应变能之比约为 $2(a/L{)}^2(E/G)$，随长高比增大迅速衰减：即使 L=5a，剪切也只占弯曲的约 8%。所以细长梁可忽略剪切应变能；只有又短又深、开大孔或腹板很薄的梁（剪切变形显著）才需要计入，例如式(14-19)配形状系数 $f_s$ 逐段积分。