第13章 压杆屈曲：欧拉公式与失稳

这一篇在干嘛？

一根细长的杆件受压时，往往还没被”压坏”（材料屈服），就先突然弯出去而失效——这叫屈曲（buckling，失稳）。本章回答三个问题：压杆最多能扛多大的力？端部怎么固定影响多大？实际工程中怎么设计压杆？

13.1 什么是临界载荷：从”稳定”说起

一根又长又细的杆件在轴向压力作用下，除了要满足强度和变形要求外，还必须稳定。压杆（column）受压到某个程度时会突然向侧面弯曲，这种横向变形就是屈曲。屈曲往往导致结构突然、灾难性的失效——比如海上石油平台的支撑柱、起重机的管状杆件。

压杆在屈曲边缘能承受的最大轴向载荷称为临界载荷（critical load），记作 $P_{cr}$。超过它，杆件就会侧向挠曲而失效。

图13-1 直杆受压达到临界载荷 $P_{cr}$ 后突然侧弯

用一个简单模型理解三种平衡状态

理解失稳不需要复杂数学，用一个”两根刚性杆 + 一根弹簧”的机构就够了：两根无重刚杆在顶端铰接并连有刚度为 $k$ 的弹簧。把顶铰 A 拨偏一个小角度 $\theta$，弹簧产生恢复力 $F=k\theta (L/2)$，想把机构拉回竖直；而载荷 $P$ 产生倾覆力 $2P\theta$，想把机构推得更歪。比较两者：

• $P<\frac{kL}{4}$：恢复力赢，机构回到原位——稳定平衡（stable equilibrium）
• $P>\frac{kL}{4}$：倾覆力赢，机构越偏越远——不稳定平衡（unstable equilibrium）
• $P=\frac{kL}{4}$：恰好持平——中性平衡（neutral equilibrium），这就是临界载荷 $P_{cr}=kL/4$

图13-2 两杆弹簧机构：比较弹簧恢复力与载荷倾覆力

临界点在载荷-挠度图上称为分岔点（bifurcation point）：载荷越过它之后，杆件会在任意小的侧偏位置上都能”停留”，再大的载荷只会产生更大的挠度——而工程结构绝不容忍这种大变形。

常见坑：屈曲 ≠ 强度破坏

强度破坏（屈服/断裂）是材料应力超过极限；屈曲是平衡形态失去稳定性，属于刚度与几何问题。细长压杆可能在应力远低于屈服点时就失稳，所以压杆设计必须单独校核稳定性。

13.2 理想铰支压杆与欧拉公式

理想柱的三个假设

推导公式前先明确”理想柱”（ideal column）是什么：

1. 材料均匀、线弹性；
2. 加载前完全笔直；
3. 载荷通过截面形心（即纯轴向受压，无初偏心）。

推导思路：把挠曲线微分方程用在失稳边缘

压杆保持稳定还是失稳，取决于它抵抗弯曲的能力。所以利用挠曲线与弯矩的关系：

$$EI\frac{d^{2}v}{d{x}^2}=M\text{\hspace{1em}(13-1)}$$

设压杆在微弯状态下，距底端 $x$ 处的侧向位移为 $v$。取分离体可知截面弯矩 $M=-Pv$（载荷 $P$ 乘以力臂 $v$），代入得：

$$\frac{d^{2}v}{d{x}^2}+\left(\frac{P}{EI}\right)v=0\text{\hspace{1em}(13-2)}$$

这是二阶常系数齐次微分方程，通解为：

$$v=C_1\sin \left(\sqrt{\frac{P}{EI}}x\right)+C_2\cos \left(\sqrt{\frac{P}{EI}}x\right)\text{\hspace{1em}(13-3)}$$

两端铰支的边界条件是 $x=0$ 和 $x=L$ 处 $v=0$。由 $x=0$ 得 $C_2=0$；由 $x=L$ 得 $C_1\sin \left(\sqrt{P/EI}L\right)=0$。

这里有一个关键的逻辑分岔：

• 若 $C_1=0$，则 $v\equiv 0$，杆永远笔直——这是”平凡解”，无法描述失稳；
• 所以必须 $\sin \left(\sqrt{P/EI}L\right)=0$，即 $\sqrt{P/EI}L=n\pi$，得到一族载荷：

$$P=\frac{n^2{\pi }^{2}EI}{L^2},n=1,2,3,\dots \text{\hspace{1em}(13-4)}$$

取最小的 $n=1$，得临界载荷（欧拉载荷，Euler load）：

$$P_{cr}=\frac{{\pi }^{2}EI}{L^2}\text{\hspace{1em}(13-5)}$$

对应的屈曲形态是半个正弦波 $v=C_1\sin (\pi x/L)$，$C_1$ 就是跨中最大挠度（失稳后其数值无法由线性理论确定，只能假设很小）。$n=2,3$ 对应更高级的屈曲形态（两个、三个半波），需要更大的载荷，工程上不关心。

图13-5 屈曲形态为半正弦波，跨中挠度最大

欧拉公式告诉我们什么

• $P_{cr}$ 只与 $E$ 和 $I$ 有关，与强度无关。 高强钢和普通钢的 $E$ 几乎相同（约 200 GPa），所以换成高强钢对细长压杆毫无帮助——这是初学者最容易忽略的一点。
• $I$ 取最小值。 压杆总是绕惯性矩最小的弱轴屈曲。像米字尺那样扁长截面会绕窄轴弯，所以好的压杆截面应让各方向 $I$ 尽量接近——圆管是最理想的压杆截面，其次是方管或 $I_x\approx I_y$ 的型钢。为提高 $I$，材料应尽量远离截面形心布置，所以空心管比实心杆更经济。

图13-6 矩形截面压杆绕弱轴 a–a 屈曲，而非强轴 b–b

用应力表达：细长比登场

设计时用应力更方便。利用 $I=A{r}^2$（$A$ 为截面积，$r=\sqrt{I/A}$ 为回转半径，radius of gyration），欧拉公式化为临界应力形式：

$${\sigma }_{cr}=\frac{{\pi }^{2}E}{(L/r{)}^2}\text{\hspace{1em}(13-6)}$$

其中的几何比值 $L/r$ 称为细长比（slenderness ratio），它是压杆”柔软程度”的度量，用于把压杆分为长柱、中长柱、短柱三类。

注意式(13-6)是一条双曲线，且只有在 ${\sigma }_{cr}$ 低于材料比例极限时才成立。对屈服强度 36 ksi、$E=29\times 10^3$ ksi 的结构钢，令 ${\sigma }_{cr}={\sigma }_Y$ 可解出 $(L/r{)}_{st}=89$：细长比小于 89 的钢柱会先屈服后屈曲，欧拉公式不再适用。

图13-7 钢与铝的 ${\sigma }_{cr}$–$L/r$ 双曲线：曲线只在比例极限以下有效

例题精选

例13-1（原书 Example 13.1）：A992 钢 W8×31 工字钢用作两端铰支压杆，长 12 ft，求屈曲或屈服前能承受的最大轴向载荷。${\sigma }_Y=50$ ksi。

解：查表得 $A=9.13{\text{in}}^2$，$I_x=110{\text{in}}^4$，$I_y=37.1{\text{in}}^4$。压杆绕弱轴（y 轴）屈曲，用式(13-5)：

$$P_{cr}=\frac{{\pi }^{2}EI}{L^2}=\frac{{\pi }^2[29(10^3){\text{kip/in}}^2](37.1{\text{in}}^4)}{[12\text{ft}(12\text{in./ft}){]}^2}=512\text{kip}$$

此时平均压应力为 ${\sigma }_{cr}=512/9.13=56.1$ ksi，超过屈服应力 50 ksi——说明杆还没来得及屈曲材料就先屈服了，所以实际承载力由强度控制：

$$P=50\text{ksi}\times 9.13{\text{in}}^2=456\text{kip}$$

常见坑：算出 $P_{cr}$ 后必须回查应力

用欧拉公式算完载荷，一定要检查 ${\sigma }_{cr}=P_{cr}/A$ 是否超过 ${\sigma }_Y$（严格说应低于比例极限）。超过了就说明”先屈服、后屈曲”，欧拉解无效，答案要改由强度控制——本题就是典型。

13.3 不同端部约束：有效长度的概念

欧拉公式是按两端铰支推的，实际压杆还有固定端、自由端等各种约束。以底部固定、顶部自由的悬臂柱为例，可推得其临界载荷为 $P_{cr}={\pi }^{2}EI/(4L^2)$——只有铰支柱的四分之一。

有效长度 $L_e$ 与计算长度系数 $K$

统一处理各种约束的技巧是：把欧拉公式里的长度换成有效长度 $L_e$——即屈曲挠曲线上两个反弯点（弯矩为零的点）之间的距离：

$$L_e=KL\text{\hspace{1em}(13-10)}$$ $$P_{cr}=\frac{{\pi }^{2}EI}{(KL{)}^2},{\sigma }_{cr}=\frac{{\pi }^{2}E}{(KL/r{)}^2}\text{\hspace{1em}(13-11, 13-12)}$$

$K$ 称为计算长度系数（effective-length factor）。四种典型约束的 $K$ 值必须牢记：

端部约束	理论 $K$ 值	有效长度	直观理解
两端铰支	1.0	$L_e=L$	基准情形，一个半正弦波
一端固定一端自由	2.0	$L_e=2L$	相当于把铰支柱”对折镜像”，最不利
两端固定	0.5	$L_e=0.5L$	中段半波长仅 L/2，最有力
一端固定一端铰支	0.7	$L_e=0.7L$	反弯点约在 0.7L 处

图13-10 四种端部约束下的屈曲形态与有效长度

例题精选

例13-2（原书 Example 13.2）：铝柱长 5 m，底部固定，顶部被缆索限制沿 x 轴移动（可绕 y 轴转动、可侧倾）。$E_{al}=70$ GPa，${\sigma }_Y=215$ MPa，$A=7.5\times 10^{-3}{\text{m}}^2$，$I_x=61.3\times 10^{-6}{\text{m}}^4$，$I_y=23.2\times 10^{-6}{\text{m}}^4$。取屈曲安全系数 F.S.=3.0，求最大许用载荷 P。

解：两个轴的约束不同，必须分别校核：

• 绕 x–x 轴屈曲：顶部位移受限但可转动 → 相当于一端固定一端铰支？不对——顶部沿 x 方向不能移动，对 x–x 面内屈曲相当于两端”固定-自由”？按原书，由图 13-10a 取 $K_x=2$（顶部在 x 方向可侧移），$(KL{)}_x=2(5)=10$ m：

$$(P_{cr}{)}_x=\frac{{\pi }^2[70(10^9)](61.3\times 10^{-6})}{(10{)}^2}=424\text{kN}$$

• 绕 y–y 轴屈曲：顶部被缆索固定不能侧移、可自由转动 → 固定-铰支，$K_y=0.7$，$(KL{)}_y=0.7(5)=3.5$ m：

$$(P_{cr}{)}_y=\frac{{\pi }^2[70(10^9)](23.2\times 10^{-6})}{(3.5{)}^2}=1.31\text{MN}$$

比较可知载荷增大时绕 x–x 轴先屈曲（424 kN < 1310 kN），所以：

$$P_{allow}=\frac{424\text{kN}}{3.0}=141\text{kN}$$

校核：${\sigma }_{cr}=424\text{kN}/7.5\times 10^{-3}{\text{m}}^2=56.5\text{MPa}<215\text{MPa}$，欧拉公式有效。

常见坑：不同轴向的 K 值可能不同

空间中的压杆在两个主轴方向可能有不同的约束和不同的支承长度（例如中部加了支撑的柱，弱轴方向计算长度减半）。正确做法是逐轴计算 $KL/r$，细长比最大的那个轴最先屈曲，它决定承载力。

例13-3（原书 Example 13.3）：W6×15 钢柱长 24 ft，两端固定，但在半高处用支撑约束了弱轴（y–y）方向。$E_{st}=29\times 10^3$ ksi，${\sigma }_Y=60$ ksi。求不发生屈曲、材料不超过屈服所能承受的载荷。

解：强轴方向全长无侧移支撑：$(KL{)}_x=0.5(24)=12$ ft $=144$ in；弱轴方向被半高支撑分成两段，每段固定-铰支：$(KL{)}_y=0.7(12)=8.4$ ft $=100.8$ in。查表 $I_x=29.1{\text{in}}^4$，$I_y=9.32{\text{in}}^4$：

$$(P_{cr}{)}_x=\frac{{\pi }^2[29(10^3)](29.1)}{(144{)}^2}=401.7\text{kip}$$ $$(P_{cr}{)}_y=\frac{{\pi }^2[29(10^3)](9.32)}{(100.8{)}^2}=262.5\text{kip}$$

弱轴控制，$P_{cr}=262.5$ kip。校核应力：${\sigma }_{cr}=262.5/4.43=59.3$ ksi $<60$ ksi，未屈服，屈曲先发生。答案 $P=263$ kip。可见加一道弱轴支撑让弱轴计算长度减半，承载力大幅提高——这是工程中提高压杆承载力的常用手段。

*13.4 正弦公式：偏心受压怎么办

理想柱根本不存在：制造的柱不会绝对直，载荷也不会精确过形心。实际柱一加载就开始微微弯曲，不会”突然”屈曲。所以更现实的分析是把载荷放在离形心偏心距 $e$ 处，等价于轴力 $P$ + 弯矩 $M^{\prime }=Pe$。

对两端铰支的偏心受压柱，挠曲线微分方程变为非齐次方程 $EI{v}^{\prime \prime }=-P(e+v)$，解出最大挠度（发生在跨中）：

$$v_{max}=e\left[\sec \left(\sqrt{\frac{P}{EI}}\frac{L}{2}\right)-1\right]\text{\hspace{1em}(13-16)}$$

图13-14 不同偏心距下 P–v 曲线族：$P_{cr}$ 是所有曲线的渐近线

由图可见 P 与 v 是非线性关系，两条重要推论：

1. 叠加原理失效——多载荷下的挠度不能分开算再相加，必须整体加载一次算出；
2. 安全系数要加在载荷上，不能加在应力上。

将最大弯矩 $M=Pe\sec \left(\sqrt{P/EI}L/2\right)$ 代入应力叠加（轴压 + 弯曲），利用 $r=\sqrt{I/A}$ 整理得正弦公式（secant formula）：

$${\sigma }_{max}=\frac{P}{A}\left[1+\frac{ec}{r^2}\sec \left(\frac{L_e}{2r}\sqrt{\frac{P}{EA}}\right)\right]\text{\hspace{1em}(13-19)}$$

其中 $e$ 为偏心距，$c$ 为形心到最外受压纤维的距离，$ec/r^2$ 称为偏心率。$e\to 0$ 时公式退化为欧拉临界载荷；细长比大的柱无论偏心率如何，都趋于在欧拉临界载荷附近失效。

常见坑：正弦公式不能直接解 P

式(13-19)中 P 同时出现在等号两边和 sec 函数内部（超越方程），只能试错迭代或查曲线图求解，如原书例13-4用试错法解得 $P_x=115$ kip。另外公式中 sec 的自变量单位是弧度。

*13.5 非弹性屈曲：切线模量法

欧拉公式要求屈曲时应力低于比例极限。对中长柱，屈曲前应力已超过比例极限，材料进入非线性段，此时”有效刚度”不再是弹性模量 E，而是应力-应变曲线在该点的切线模量：

$$E_t=\frac{\Delta \sigma }{\Delta ϵ}$$

用 $E_t$ 替换欧拉公式中的 $E$，得到切线模量公式（Engesser 公式，1889）：

$${\sigma }_{cr}=\frac{{\pi }^2{E}_t}{(KL/r{)}^2}\text{\hspace{1em}(13-20)}$$

大量实验表明该式对接近理想柱的试件相当准确，且应用简便。三类柱的分类到此完整：

类型	细长比	失效方式	用哪个公式
长柱	大（如钢 >89）	弹性屈曲	欧拉公式，${\sigma }_{cr}\propto {\pi }^{2}E/(KL/r{)}^2$
中长柱	中等	非弹性屈曲	切线模量公式
短柱	小	材料屈服/压碎	简单压缩 $\sigma =P/A$

图13-18 应力-应变曲线分段线性化后，用切线模量 $E_t$ 修正欧拉公式

例题精选

例13-5（原书 Example 13.5）：实心圆杆直径 30 mm、长 600 mm，两端铰支。材料应力-应变曲线分两段线性：第一段 0→150 MPa 对应应变 0→0.001；第二段 150→270 MPa 对应应变 0.001→0.002。求临界载荷。

解：回转半径 $r=d/4=7.5$ mm，细长比 $KL/r=600/7.5=80$。代入式(13-20)得 ${\sigma }_{cr}=1.542\times 10^{-3}{E}_t$。

第一步：假设弹性屈曲。 $E=150/0.001=150$ GPa，则 ${\sigma }_{cr}=231.3$ MPa > 比例极限 150 MPa——假设矛盾，发生非弹性屈曲。

第二步：用切线模量（第二段斜率）：

$$E_t=\frac{270-150}{0.002-0.001}=120\text{GPa}$$ $${\sigma }_{cr}=1.542\times 10^{-3}\times 120\times 10^3=185.1\text{MPa}$$

185.1 MPa 落在 150~270 MPa 区间内——与所用线段一致，答案自洽。于是：

$$P_{cr}={\sigma }_{cr}A=185.1\times 10^6\times \pi (0.015{)}^2=131\text{kN}$$

常见坑：切线模量要"试出来再验证"

这类题的逻辑是迭代式的：先假设弹性，发现 ${\sigma }_{cr}$ 超了比例极限，就换切线模量重算，最后检查结果是否落在所取线段的应力范围内。若不在范围内，需要取下一段斜率再试。

13.6 轴心受压柱的设计公式

工程中柱不完美（初弯曲、残余应力可达半个屈服强度、支座不精确），所以设计规范采用基于大量实验数据拟合的经验公式，分短、中、长三段给出许用应力。

钢柱（AISC 规范）

以 $(KL/r{)}_c=\sqrt{2{\pi }^{2}E/{\sigma }_Y}$ 为分界（A992 钢、${\sigma }_Y=50$ ksi 时约等于 107）：

• 中短柱区 $KL/r\le (KL/r{)}_c$：抛物线型经验公式，配一个随细长比从 5/3 增大到 23/12 的安全系数：

$${\sigma }_{allow}=\frac{\left[1-\frac{(KL/r{)}^2}{2(KL/r{)}_c^2}\right]{\sigma }_Y}{\frac{5}{3}+\frac{3}{8}\frac{(KL/r)}{(KL/r{)}_c}-\frac{(KL/r{)}^3}{8(KL/r{)}_c^3}}\text{\hspace{1em}(13-23)}$$

• 长柱区 $(KL/r{)}_c<KL/r\le 200$：欧拉公式加固定安全系数 23/12：

$${\sigma }_{allow}=\frac{12{\pi }^{2}E}{23(KL/r{)}^2}\text{\hspace{1em}(13-21)}$$

图13-21 AISC 两条设计曲线的拼接

铝柱与木柱（NFPA）

2014-T6 铝合金分三段直线/双曲线：$KL/r\le 12$ 用常数 28 ksi；$12<KL/r<55$ 用直线 $[30.7-0.23(KL/r)]$ ksi；$KL/r\ge 55$ 用欧拉型公式 $54000/(KL/r{)}^2$ ksi。

木柱（矩形截面宽 $b$、厚 $d\le b$，顺纹许用压应力 1.2 ksi）用 $KL/d$ 替代细长比：$KL/d\le 11$ 常数 1.20 ksi；$11<KL/d\le 26$ 用抛物线修正；$26<KL/d\le 50$ 用 $540/(KL/d{)}^2$ ksi（相当于安全系数 3 的欧拉公式）。

13.7 偏心受压柱的设计

当载荷作用在柱侧的托架上（偏心加载），弯矩 $M=Pe$ 必须计入。两种常用方法：

方法一：最大应力法（式13-30）——保守地把轴压应力与弯曲应力叠加，并要求不超过按最大细长比算出的许用应力：

$${\sigma }_{max}=\frac{P}{A}+\frac{Mc}{I}\le {\sigma }_{allow}$$

方法简单，适合短柱和中长柱。

方法二：交互公式（interaction formula，式13-31）——把轴力和弯矩的贡献按”各自占许用值的比例”相加：

$$\frac{{\sigma }_a}{({\sigma }_a{)}_{allow}}+\frac{{\sigma }_b}{({\sigma }_b{)}_{allow}}\le 1\text{\hspace{1em}(13-31)}$$

其中 ${\sigma }_a=P/A$ 为轴向应力，${\sigma }_b=Mc/I$ 为弯曲应力。左边两项分别代表轴压与弯曲”用掉了多少额度”，两额度之和不超过 1。设计时先选一个截面试算，若左边明显小于 1 则截面偏浪费，接近但不超过 1 最经济。AISC 规定该公式仅在轴应力比 ${\sigma }_a/({\sigma }_a{)}_{allow}\le 0.15$ 时使用。

例题精选

例13-6（原书 Example 13.10 思路）：2014-T6 铝柱 2 in × 4 in，长 80 in，底端固定顶端自由（K=2），偏心载荷 P 作用在 2 in 边的边缘（$e=1$ in）。

解：最大细长比（对弱轴，$I_{min}$）$KL/r=2(80)/0.577=277.1>55$，用长柱公式 ${\sigma }_{allow}=54000/(277.1{)}^2=0.7031$ ksi。

最大压应力（轴压 + 弯曲叠加）：

$${\sigma }_{max}=\frac{P}{2(4)}+\frac{P(1)(2)}{(1/12)(2)(4{)}^3}=0.3125P$$

令 ${\sigma }_{max}={\sigma }_{allow}$：$P=0.7031/0.3125=2.25$ kip。

本章通关路径

图13-24 设计流程示例：先定约束与截面参数，再选公式校核

通关标准：

1. 能口述理想柱假设，并说清欧拉公式推导中”为何取非平凡解”的逻辑；
2. 熟记四种端部约束的 K 值（1 / 2 / 0.5 / 0.7），会逐轴计算 $KL/r$ 并判断哪轴先屈曲；
3. 会做”三步走”：算 $P_{cr}$ → 查 ${\sigma }_{cr}$ 是否超过 ${\sigma }_Y$ → 决定用屈曲还是强度控制；
4. 理解切线模量公式解决的是”先超比例极限再屈曲”的中长柱问题，并能做分段线性的迭代计算；
5. 知道设计规范公式（AISC/铝/NFPA）是分段的实验拟合，会按细长比区间选对公式；理解交互公式的物理含义。

自测：为什么用高强钢做细长压杆是浪费？

欧拉公式 $P_{cr}={\pi }^{2}EI/(KL{)}^2$ 中只出现弹性模量 E，不含屈服强度。高强钢与普通钢的 E 基本相同（约 200 GPa），所以细长柱的临界载荷不变，钱花在了用不到的强度上。高强钢只在强度控制的短柱或偏心受压场合才有优势。

自测：一端固定一端自由的柱，K 为什么是 2？

悬臂柱屈曲后的挠曲线（$v=\delta [1-\cos (\sqrt{P/EI}x)]$）相当于把两端铰支柱的半正弦波”镜像对折”：两个反弯点（弯矩零点）之间的距离是 $2L$。欧拉公式里起作用的就是这段等效铰支长度，故 $P_{cr}={\pi }^{2}EI/(2L{)}^2={\pi }^{2}EI/(4L^2)$，只有铰支柱的四分之一。

自测：欧拉公式算出 $P_{cr}$ 后，为什么还要验算应力？

欧拉公式成立的前提是屈曲前应力低于比例极限。若 ${\sigma }_{cr}=P_{cr}/A$ 超过 ${\sigma }_Y$，说明杆会先屈服——屈曲还没来得及发生材料就坏了，真实承载力取 ${\sigma }_{Y}A$（强度控制）。例13-1中 512 kip 就是这样被修正为 456 kip 的。

自测：压杆截面选实心圆还是空心圆管？为什么？

空心管。$P_{cr}$ 与 I 成正比，把同样的面积布置在离形心更远处能显著增大 I；同时圆管各方向惯性矩相同，不存在弱轴，无论往哪个方向弯都同样有力。这就是输电塔、脚手架都用管件的原因。

自测：交互公式 ${\sigma }_a/({\sigma }_a{)}_{allow}+{\sigma }_b/({\sigma }_b{)}_{allow}\le 1$ 里两项的物理含义？

第一项是轴力”用掉”的承压能力份额，第二项是弯矩”用掉”的份额。只有两者共同占用的额度不超过 1，柱才安全。它比直接把两种应力加起来更合理，因为轴压的许用应力 $({\sigma }_a{)}_{allow}$ 已经隐含了屈曲效应（与细长比有关）。