第12章 梁与轴的挠度：积分法与叠加法

这一篇在干嘛？

梁光”不坏”还不够，还不能弯得太厉害：吊顶的石膏板会裂、机床主轴会振动、传动轴跳动过大轴承就报废。这一章回答”梁弯下去多少、翘起来多少角度”，介绍四种方法：积分法、不连续函数（奇异函数）、面积矩法、叠加法，最后用这些工具求解静不定梁的支座反力。

一、弹性曲线（Elastic Curve）：挠度问题的”地图”

梁变形后，其横截面形心连成的那条曲线叫弹性曲线。求斜率和位移之前，先徒手把它画出来——这就像做题前先画受力图一样重要。画图口诀：

• 限制力的支座（辊轴、销钉）：限制位移 → 该处挠度为零；
• 限制力矩的支座（固定端/嵌固墙）：既限制位移又限制转角 → 挠度和斜率都为零；
• 正弯矩区（弯矩图在轴上方）梁弯成凹口向上（concave upwards）；负弯矩区凹口向下；弯矩为零处出现拐点（inflection point）。

弯矩-曲率关系：弹性曲线在每一点的弯曲程度用曲率半径 ρ（rho）描述。第 6 章的应变关系 $ϵ=-y/\rho$ 结合胡克定律和弯曲公式，得到本章的基石方程：

$$\boxed{\frac{1}{\rho }=\frac{M}{EI}}\text{\hspace{1em}(12-2)}$$

白话：弯矩 M 越大，曲率 $1/\rho$ 越大（弯得越厉害）；EI（弹性模量 × 惯性矩，合称抗弯刚度）越大，梁越”硬”、弯得越小。M 为正时曲率圆心在梁上方，为负时在下方。

二、积分法：挠度方程的”正统”解法

数学上曲率的精确表达式是非线性方程，但工程规范限制最大挠度，梁的斜率 $dv/dx$ 非常小，其平方可忽略，于是曲率近似为 $1/\rho \approx d^{2}v/d{x}^2$。得到挠曲线微分方程：

$$EI\frac{d^{2}v}{d{x}^2}=M(x)\text{\hspace{1em}(12-10)}$$

它还有两个”高阶兄弟”（对 x 求导一次、两次，代入 $V=dM/dx$、$w=dV/dx$）：

$$EI\frac{d^{3}v}{d{x}^3}=V(x),EI\frac{d^{4}v}{d{x}^4}=w(x)\text{\hspace{1em}(12-8, 12-9)}$$

用哪一条？ 从 M(x) 出发只需积分 2 次得挠度（2 个积分常数）；从 w(x) 出发要积分 4 次（4 个常数）。常规做法：写出弯矩函数，用式 (12-10) 积两次。

边界条件与连续条件

积分常数靠两类条件定：

条件类型	内容
边界条件（支座处）	辊轴/销钉：$v=0$；固定端：$v=0$ 且 $dv/dx=0$
连续条件（分段交界处）	弹性曲线物理上连续光滑：交界点两段函数的 $v$ 相等、$dv/dx$ 相等

载荷不连续（集中力、分布载荷中断）时，M(x) 要分段写，每段积两次产生 2 个常数，超出边界条件数量的部分就用连续条件补齐——这正是积分法在多载荷下变得繁琐的原因（先记住这个痛点，第三节的方法就是来消灭它的）。

符号约定：v 向上为正；x 向右为正时，斜率 $\theta =dv/dx$ 逆时针为正（x 向左为正则顺时针为正）。小变形下 $\theta \approx \tan \theta =dv/dx$，且梁上各点只竖直位移、不水平位移。

例题 1：分段积分求最大挠度（原书例 12.3）

题目：简支梁 AB 跨长 3 m，在距 A 端 2 m 的 B 点受集中力 6 kN（A 端反力 2 kN，右端反力 4 kN）。求最大挠度。EI 为常数。

解：

第一步，弹性曲线与坐标。挠度在载荷作用点两侧规律不同，需两个坐标 $x_1$（$0\le x_1<2$ m）和 $x_2$（$2\text{m}<x_2\le 3$ m），原点都在 A。

第二步，弯矩函数（对每段取分离体，M 按正方向假设）：

$$M_1=2x_1,M_2=2x_2-6(x_2-2)=4(3-x_2)$$

第三步，分两次积分。第一段：

$$EI\frac{d{v}_1}{d{x}_1}=x_1^2+C_1,EI{v}_1=\frac{1}{3}{x}_1^3+C_1{x}_1+C_2$$

第二段：

$$EI\frac{d{v}_2}{d{x}_2}=12x_2-2x_2^2+C_3,EI{v}_2=6x_2^2-\frac{2}{3}{x}_2^3+C_3{x}_2+C_4$$

第四步，定 4 个常数：2 个边界条件 + 2 个连续条件（B 点处斜率、挠度均连续）：

• $v_1=0$ at $x_1=0$ → $C_2=0$；
• $v_2=0$ at $x_2=3$ m；
• $d{v}_1/d{x}_1=d{v}_2/d{x}_2$ at $x=2$ m；
• $v_1=v_2$ at $x=2$ m。

解得 $C_1=-8/3$，$C_2=0$，$C_3=-44/3$，$C_4=8$。

第五步，找最大挠度。由弹性曲线知最大挠度在斜率为零处（AB 段内的 D 点）：

$$x_1^2-\frac{8}{3}=0\Rightarrow x_1=1.633\text{m}$$

代回挠度方程：

$$v_{\max }=-\frac{2.90{\text{kN⋅m}}^3}{EI}$$

负号表示方向向下。注意最大挠度点（1.633 m）不在集中力作用点（2 m），也不在跨中——只有对称加载时最大挠度才在跨中。

三、不连续函数：一个表达式管全梁

积分法的痛点：每多一个载荷就多一段、多两个常数、多两个连续条件。不连续函数（discontinuity functions）让整根梁只用一个表达式描述，积分常数只由边界条件决定，连续条件自动满足。

Macaulay 函数（描述分布载荷，n ≥ 0）

尖括号 $⟨x-a⟩$ 是”开关”：括号内为负时整项取零，为非负时当普通括号算：

$$⟨x-a{⟩}^n=\{\begin{array}{ll}0& x<a\\ (x-a{)}^n& x\ge a\end{array},n\ge 0\text{\hspace{1em}(12-11)}$$

积分规则与普通函数相同：

$$\int ⟨x-a{⟩}^{n}dx=\frac{⟨x-a{⟩}^{n+1}}{n+1}+C\text{\hspace{1em}(12-12)}$$

奇异函数（描述集中力和力偶矩，n = -1、-2）

集中力 P 相当于”无限窄但面积等于 P”的分布载荷；力偶矩 $M_0$ 相当于两团对顶的分布载荷的极限。它们用负指数表示：

$$w=P⟨x-a{⟩}^{-1}(\text{集中力})，w=M_0⟨x-a{⟩}^{-2}(\text{力偶矩})\text{\hspace{1em}(12-13, 12-14)}$$

积分时指数直接加 1（不加常数项问题）：

$$\int ⟨x-a{⟩}^{n}dx=⟨x-a{⟩}^{n+1},n=-1,-2\text{\hspace{1em}(12-15)}$$

表 12-2 常用条目摘录（载荷 → 剪力 → 弯矩）

载荷类型	载荷函数 w(x)	剪力 V	弯矩 M
力偶矩 $M_0$（顺时针为正）	$M_0⟨x-a{⟩}^{-2}$	$M_0⟨x-a{⟩}^{-1}$	$M_0⟨x-a{⟩}^0$
集中力 P（向上为正）	$P⟨x-a{⟩}^{-1}$	$P⟨x-a{⟩}^0$	$P⟨x-a{⟩}^1$
均布载荷 $w_0$（向上为正）	$w_0⟨x-a{⟩}^0$	$w_0⟨x-a{⟩}^1$	$\frac{w_0}{2}⟨x-a{⟩}^2$
线性渐变载荷（斜率 m）	$m⟨x-a{⟩}^1$	$\frac{m}{2}⟨x-a{⟩}^2$	$\frac{m}{6}⟨x-a{⟩}^3$

使用逻辑：算出支座反力后，把每个载荷（含反力！）按”从起点 a 开始向右无限延伸”的样子写进 w(x)——支座反力是向上的集中力，同样用 $⟨x-0{⟩}^{-1}$ 写入。然后要么直接查表中 M 列，要么从 w 积分两次到 M。注意：分布载荷必须延伸到梁的右端，实际没延伸的就用”加上一段反向的载荷”补齐（叠加技巧）。

例题 2：奇异函数求最大挠度（原书例 12.6）

题目：外伸梁（简支段 10 ft + 悬臂 20 ft 之外还有自由端），A 处受向下 8 kip 集中力，B 支座（x = 10 ft）反力 6 kip 向上，C 端（x = 30 ft）有力和力偶。求最大挠度。EI 为常数。

解：

第一步，载荷函数（C 端载荷在右端，x 不会超过 30 ft，不必写入）：

$$w=-8⟨x-0{⟩}^{-1}+6⟨x-10{⟩}^{-1}\text{(kip)}$$

第二步，积分到弯矩（直接查表 12-2 的 M 列）：

$$M=-8x+6⟨x-10{⟩}^1\text{(kip⋅ft)}$$

第三步，代回式 (12-10) 积分两次：

$$EIv=-\frac{4}{3}{x}^3+⟨x-10{⟩}^3+C_{1}x+C_2$$

第四步，只用两个边界条件（A、B 处挠度为零）：

$$v=0\text{ at }x=10:0=-1333+0+10C_1+C_2$$ $$v=0\text{ at }x=30:0=-36000+8000+30C_1+C_2$$

解得 $C_1=1333$，$C_2=-12000$。对比例题 1：同样的两次积分，没有任何连续条件——这就是不连续函数的威力。

第五步，读结果。悬臂端 C（x = 0 侧延伸段）挠度：

$$v_C=-\frac{12000{\text{kip⋅ft}}^3}{EI}(\text{向下})$$

跨内斜率为零处（$dv/dx=0$，且 $x>10$ ft）：

$$-4x_D^2+3(x_D-10{)}^2+1333=0\Rightarrow x_D=20.3\text{ft}$$

两点都算出来比大小，绝对值大者即最大挠度。

四、面积矩法（Moment-Area Method）：半图解快刀

若 M/EI 图由简单几何图形组成，可以不用积分，直接从”图的面积”读出转角和挠度。两条定理：

定理一（转角）：弹性曲线上 A、B 两点切线的夹角，等于这两点之间 M/EI 图下的面积：

$${\theta }_{B/A}={\int }_A^B\frac{M}{EI}dx=\text{M/EI 图从 A 到 B 的面积}\text{\hspace{1em}(12-17)}$$

定理二（切线偏差）：A 点处弹性曲线到”B 点切线延长线”的竖直距离，等于 A、B 之间 M/EI 图下面积对 A 点取矩（即面积 × 面积形心到 A 的距离）：

$$t_{A/B}=\bar{x}{\int }_A^B\frac{M}{EI}dx\text{\hspace{1em}(12-19)}$$

注意 $t_{A/B}\ne t_{B/A}$（取矩点不同）；正的 M/EI 面积表示 A 点在 B 切线上方。解题套路：在支座处画切线（因为支座处挠度/斜率已知），利用相似三角形把 $t$ 换算成目标点的挠度或斜率。

五、叠加法：查表的艺术

原理

挠度方程 $EI{d}^{4}v/d{x}^4=w(x)$ 是线性的：挠度与载荷成正比，且小变形下载荷不显著改变梁的几何。所以多个载荷共同作用的挠度 = 各载荷单独作用挠度的代数和：

$$v=v_1+v_2+v_3+\cdots$$

每种”标准梁 + 标准载荷”的挠度/转角公式已制成表（原书附录 C），叠加法的工作就是把复杂载荷拆成若干标准件、逐个查表、代数相加。

查表使用的三个关键技巧

1. 整段表查不到的载荷（如”只覆盖半跨的均布载荷”）：用叠加拆成”全长载荷 + 反向局部载荷”；
2. 未加载段保持直线：悬臂梁上无载荷的那段不弯曲，只随加载段的端部刚体平移 + 转动，端点挠度 = $v_B+{\theta }_B\times L_{BC}$；
3. 外伸梁拆解：表里没有外伸梁，把它拆成”简支梁（含悬臂端载荷平移到支座的等效力偶）+ 悬臂梁”两块分别查表。

例题 3：叠加法查表求挠度（原书例 12.13）

题目：简支梁跨长 8 m，左半跨（0~4 m）受均布载荷 2 kN/m，跨中 C 受 8 kN 向下集中力。求 C 点挠度和 A 端转角。EI 为常数。

解：把载荷拆成”全跨均布 w = 2 kN/m”与”跨中集中力 P = 8 kN”两个标准件（原书用半跨载荷表；此处演示最常用表项）：

均布载荷（简支梁全长均布，$w=2$ kN/m，$L=8$ m）：

$$({\theta }_A{)}_1=\frac{w{L}^3}{24EI}=\frac{2(8{)}^3}{24EI}=\frac{42.7{\text{kN⋅m}}^2}{EI},(v_C{)}_1=\frac{5w{L}^4}{384EI}=\frac{5(2)(8{)}^4}{384EI}=\frac{106.7{\text{kN⋅m}}^3}{EI}\downarrow$$

跨中集中力（$P=8$ kN）：

$$({\theta }_A{)}_2=\frac{P{L}^2}{16EI}=\frac{8(8{)}^2}{16EI}=\frac{32{\text{kN⋅m}}^2}{EI},(v_C{)}_2=\frac{P{L}^3}{48EI}=\frac{8(8{)}^3}{48EI}=\frac{85.3{\text{kN⋅m}}^3}{EI}\downarrow$$

代数相加：

$${\theta }_A=\frac{74.7{\text{kN⋅m}}^2}{EI},v_C=\frac{192{\text{kN⋅m}}^3}{EI}\downarrow$$

（原书按半跨载荷表拆分：$({\theta }_A{)}_1=24/EI$、$(v_C{)}_1=53.3/EI$，最终 ${\theta }_A=56/EI$、$v_C=139/EI$。拆分方式必须与所用表项严格对应——这正是叠加法最容易出错的地方：表项与实际载荷对不上，数字就是错的。）

外伸梁的处理（原书例 12.15 思路）

悬臂段 BC 上 10 kN 载荷对 C 点挠度贡献三部分：

1. 载荷平移到支座 B 的等效力偶 $M_0=20$ kN·m 使简支段转动，${\theta }_B=M_{0}L/3EI$，带动 C 点刚体下移 ${\theta }_B\times 2$ m；
2. 悬臂段自身作为悬臂梁被 10 kN 弯下：$P{L}^3/3EI$；
3. 简支段自身载荷引起的 ${\theta }_B$ 也带动 C。

三块代数相加即得 $v_C$。“刚体带动 + 局部变形”的分解思维是叠加法的灵魂。

六、静不定梁：叠加法（力法）一网打尽

支座反力数超过平衡方程数，梁就是静不定的。多出来的、去掉后梁仍稳定的反力叫冗余力（redundant），其个数叫静不定次数。

叠加法（力法）四步：

1. 选冗余、拆梁：把冗余反力从支座上”拿掉”，得到静定的基本体系（primary beam）；
2. 写相容方程：冗余所在支座的实际位移已知（辊轴处 $v=0$，或给定位移），基本体系载荷位移 + 冗余力位移 = 0；
3. 查表代换：所有位移用附录 C 公式表成载荷和冗余力的函数，解出冗余力；
4. 平衡方程收尾：冗余力已知后，其余反力用平衡方程求。

经典演示：悬臂梁自由端加辊轴支座（一次静不定），取 $B_y$ 为冗余。B 点相容条件：

$$0=-v_B+v_B^{\prime },v_B=\frac{5P{L}^3}{48EI}(\text{载荷引起，向下})，v_B^{\prime }=\frac{B_y{L}^3}{3EI}(\text{冗余引起，向上})$$

解得：

$$B_y=\frac{5}{16}P$$

再用平衡方程得 $A_y=11P/16$、$M_A=3PL/16$。同一个问题也可选 $M_A$ 为冗余（基本体系变成简支梁），用 A 端转角为零作相容条件，结果相同——冗余的选取是自由的，只要基本体系稳定。

二次静不定（如两端固定梁）则需要两个相容方程（挠度和转角各一个），联立求解两个冗余（原书例 12.22）。若支座有沉陷（如 F12–15 中 B 支座下沉 2 mm），相容方程右端不再是零，而是给定位移——原理完全一样。

常见坑

1. 挠度结果的符号要看清楚：v 向上为正，算出负号就是向下，别忘了在答案里标方向。
2. 最大挠度在斜率为零处，不在弯矩最大处，也不一定是跨中或载荷作用点——必须令 $dv/dx=0$ 解出位置。
3. 不连续函数要求分布载荷”延伸到右端”，没延伸的载荷要用叠加补一段反向载荷，直接照抄会算错。
4. 查表叠加时，表项的支座形式、载荷位置必须与你的拆分严格一致；外伸梁不能直接套简支梁表。
5. $t_{A/B}$ 的”矩”是对要求竖直距离的那个点取的，写反了 A、B 结果就错。

通关标准：

• 能根据弯矩图徒手画出弹性曲线（凹向、拐点、支座约束）；
• 会用 $EI{v}^{\prime \prime }=M(x)$ 分段积分，正确写边界条件与连续条件，解出挠度方程和最大挠度；
• 会用表 12-2 把任意载荷（含反力）写成一个不连续函数表达式，积分两次后只用边界条件定常数；
• 会用面积矩法两条定理配合相似三角形求指定点的转角/挠度；
• 能把复杂载荷拆成标准件查表叠加，掌握”未加载段直线延伸”和”外伸梁拆解”两个技巧；
• 会选冗余力、写相容方程、查表解静不定梁的反力。

自测：为什么可以把精确曲率公式简化成 d²v/dx²？

工程规范限制梁的最大挠度，斜率 dv/dx 通常只有 10⁻³ 量级（原书例 12.2 算出典型值 0.016 rad），其平方约 3×10⁻⁴，与 1 相比可忽略。于是精确式 (12-4) 的分母 $[1+(dv/dx{)}^2{]}^{3/2}\approx 1$，曲率退化为 $d^{2}v/d{x}^2$，非线性方程变成可以积分的线性方程。

自测：积分法解一条受三个载荷的梁，要设几个坐标、几个常数、几个条件？

设 3 段坐标（载荷间断处分段），每段积两次得 6 个积分常数；2 个由边界条件（如两支座挠度为零）确定，剩下 4 个由 2 个交界点的连续条件（每点斜率、挠度各一个）确定。这就是为什么多载荷下积分法繁琐——不连续函数法把常数砍到只剩 2 个。

自测：奇异函数 ⟨x−a⟩⁻¹ 积分后为什么没有 "+C" 那样的除法？

Macaulay 函数（n ≥ 0）积分按普通幂函数除以 n+1；但 n = -1、-2 的奇异函数是”点载荷/点力偶”的抽象，其积分规则单独规定为指数直接加 1（式 12-15），这样积分一次得剪力、两次得弯矩，单位才自洽（力/长度 → 力 → 力×长度）。

自测：悬臂梁 AC，载荷只作用在 AB 段，C 是自由端。C 的挠度怎么算？

BC 段无载荷、无弯矩，保持直线，只随 B 点做刚体运动：$v_C=v_B+{\theta }_B\cdot L_{BC}$，其中 $v_B$、${\theta }_B$ 是加载段端点 B 的挠度和转角（查表获得）。例 12.14 中 $v_C=172.8/EI+36/EI\times 2=244.8{\text{kN⋅m}}^3/EI$ 就是这个套路。

自测：一次静不定梁的冗余力为什么可以任选？选不同冗余结果会不同吗？

只要”拿掉”该反力后梁仍是几何稳定（不是机构）的静定结构，任何多余反力都可作冗余。选 $B_y$ 就用 B 点挠度相容条件，选 $M_A$ 就用 A 端转角相容条件——方程不同但解出的真实反力完全相同，只是计算繁简有别。若拿掉后梁会变成机构（如去掉简支梁的一个竖向反力），那它就不是冗余，不能选。