第12章 梁与轴的挠度：积分法与叠加法

这一篇在干嘛？

梁光”不坏”还不够，还不能弯得太厉害：吊顶的石膏板会裂、机床主轴会振动、传动轴跳动过大轴承就报废。这一章回答”梁弯下去多少、翘起来多少角度”，介绍四种方法：积分法、不连续函数（奇异函数）、面积矩法、叠加法，最后用这些工具求解静不定梁的支座反力。

一、弹性曲线（Elastic Curve）：挠度问题的”地图”

梁变形后，其横截面形心连成的那条曲线叫弹性曲线。求斜率和位移之前，先徒手把它画出来——这就像做题前先画受力图一样重要。画图口诀：

• 限制力的支座（辊轴、销钉）：限制位移 → 该处挠度为零；
• 限制力矩的支座（固定端/嵌固墙）：既限制位移又限制转角 → 挠度和斜率都为零；
• 正弯矩区（弯矩图在轴上方）梁弯成凹口向上（concave upwards）；负弯矩区凹口向下；弯矩为零处出现拐点（inflection point）。

弯矩-曲率关系：弹性曲线在每一点的弯曲程度用曲率半径 ρ（rho）描述。第 6 章的应变关系 $ϵ=-y/\rho$ 结合胡克定律和弯曲公式，得到本章的基石方程：

$$\boxed{\frac{1}{\rho }=\frac{M}{EI}}\text{\hspace{1em}(12-2)}$$

白话：弯矩 M 越大，曲率 $1/\rho$ 越大（弯得越厉害）；EI（弹性模量 × 惯性矩，合称抗弯刚度）越大，梁越”硬”、弯得越小。M 为正时曲率圆心在梁上方，为负时在下方。

二、积分法：挠度方程的”正统”解法

数学上曲率的精确表达式是非线性方程，但工程规范限制最大挠度，梁的斜率 $dv/dx$ 非常小，其平方可忽略，于是曲率近似为 $1/\rho \approx d^{2}v/d{x}^2$。得到挠曲线微分方程：

$$EI\frac{d^{2}v}{d{x}^2}=M(x)\text{\hspace{1em}(12-10)}$$

它还有两个”高阶兄弟”（对 x 求导一次、两次，代入 $V=dM/dx$、$w=dV/dx$）：

$$EI\frac{d^{3}v}{d{x}^3}=V(x),EI\frac{d^{4}v}{d{x}^4}=w(x)\text{\hspace{1em}(12-8, 12-9)}$$

用哪一条？ 从 M(x) 出发只需积分 2 次得挠度（2 个积分常数）；从 w(x) 出发要积分 4 次（4 个常数）。常规做法：写出弯矩函数，用式 (12-10) 积两次。

边界条件与连续条件

积分常数靠两类条件定：

条件类型	内容
边界条件（支座处）	辊轴/销钉：$v=0$；固定端：$v=0$ 且 $dv/dx=0$
连续条件（分段交界处）	弹性曲线物理上连续光滑：交界点两段函数的 $v$ 相等、$dv/dx$ 相等

载荷不连续（集中力、分布载荷中断）时，M(x) 要分段写，每段积两次产生 2 个常数，超出边界条件数量的部分就用连续条件补齐——这正是积分法在多载荷下变得繁琐的原因（先记住这个痛点，第三节的方法就是来消灭它的）。

符号约定：v 向上为正；x 向右为正时，斜率 $\theta =dv/dx$ 逆时针为正（x 向左为正则顺时针为正）。小变形下 $\theta \approx \tan \theta =dv/dx$，且梁上各点只竖直位移、不水平位移。

例题 1：分段积分求最大挠度（原书例 12.3）

题目：简支梁 AB 跨长 3 m，在距 A 端 2 m 的 B 点受集中力 6 kN（A 端反力 2 kN，右端反力 4 kN）。求最大挠度。EI 为常数。

解：

第一步，弹性曲线与坐标。挠度在载荷作用点两侧规律不同，需两个坐标 $x_1$（$0\le x_1<2$ m）和 $x_2$（$2\text{m}<x_2\le 3$ m），原点都在 A。

第二步，弯矩函数（对每段取分离体，M 按正方向假设）：

$$M_1=2x_1,M_2=2x_2-6(x_2-2)=4(3-x_2)$$

第三步，分两次积分。第一段：

$$EI\frac{d{v}_1}{d{x}_1}=x_1^2+C_1,EI{v}_1=\frac{1}{3}{x}_1^3+C_1{x}_1+C_2$$

第二段：

$$EI\frac{d{v}_2}{d{x}_2}=12x_2-2x_2^2+C_3,EI{v}_2=6x_2^2-\frac{2}{3}{x}_2^3+C_3{x}_2+C_4$$

第四步，定 4 个常数：2 个边界条件 + 2 个连续条件（B 点处斜率、挠度均连续）：

• $v_1=0$ at $x_1=0$ → $C_2=0$；
• $v_2=0$ at $x_2=3$ m；
• $d{v}_1/d{x}_1=d{v}_2/d{x}_2$ at $x=2$ m；
• $v_1=v_2$ at $x=2$ m。

解得 $C_1=-8/3$，$C_2=0$，$C_3=-44/3$，$C_4=8$。

第五步，找最大挠度。由弹性曲线知最大挠度在斜率为零处（AB 段内的 D 点）：

$$x_1^2-\frac{8}{3}=0\Rightarrow x_1=1.633\text{m}$$

代回挠度方程：

$$v_{\max }=-\frac{2.90{\text{kN⋅m}}^3}{EI}$$

负号表示方向向下。注意最大挠度点（1.633 m）不在集中力作用点（2 m），也不在跨中——只有对称加载时最大挠度才在跨中。

三、不连续函数：一个表达式管全梁

积分法的痛点：每多一个载荷就多一段、多两个常数、多两个连续条件。不连续函数（discontinuity functions）让整根梁只用一个表达式描述，积分常数只由边界条件决定，连续条件自动满足。

Macaulay 函数（描述分布载荷，n ≥ 0）

尖括号 $⟨x-a⟩$ 是”开关”：括号内为负时整项取零，为非负时当普通括号算：

$$⟨x-a{⟩}^n=\{\begin{array}{ll}0& x<a\\ (x-a{)}^n& x\ge a\end{array},n\ge 0\text{\hspace{1em}(12-11)}$$

积分规则与普通函数相同：

$$\int ⟨x-a{⟩}^{n}dx=\frac{⟨x-a{⟩}^{n+1}}{n+1}+C\text{\hspace{1em}(12-12)}$$

奇异函数（描述集中力和力偶矩，n = -1、-2）

集中力 P 相当于”无限窄但面积等于 P”的分布载荷；力偶矩 $M_0$ 相当于两团对顶的分布载荷的极限。它们用负指数表示：

$$w=P⟨x-a{⟩}^{-1}(\text{集中力})，w=M_0⟨x-a{⟩}^{-2}(\text{力偶矩})\text{\hspace{1em}(12-13, 12-14)}$$

积分时指数直接加 1（不加常数项问题）：

$$\int ⟨x-a{⟩}^{n}dx=⟨x-a{⟩}^{n+1},n=-1,-2\text{\hspace{1em}(12-15)}$$

表 12-2 常用条目摘录（载荷 → 剪力 → 弯矩）

载荷类型	载荷函数 w(x)	剪力 V	弯矩 M
力偶矩 $M_0$（顺时针为正）	$M_0⟨x-a{⟩}^{-2}$	$M_0⟨x-a{⟩}^{-1}$	$M_0⟨x-a{⟩}^0$
集中力 P（向上为正）	$P⟨x-a{⟩}^{-1}$	$P⟨x-a{⟩}^0$	$P⟨x-a{⟩}^1$
均布载荷 $w_0$（向上为正）	$w_0⟨x-a{⟩}^0$	$w_0⟨x-a{⟩}^1$	$\frac{w_0}{2}⟨x-a{⟩}^2$
线性渐变载荷（斜率 m）	$m⟨x-a{⟩}^1$	$\frac{m}{2}⟨x-a{⟩}^2$	$\frac{m}{6}⟨x-a{⟩}^3$