第11章 梁与轴的设计：按强度选截面

这一篇在干嘛？

前面几章教你怎么”算”梁的应力，这一章教你反过来”选”：给定载荷和许用应力，怎么挑出既安全又不浪费的梁截面（比如工字钢型号）、木板怎么钉、传动轴要多粗。核心工具就是第 6、7 章的弯曲公式和切应力公式——这次它们变成了设计公式。

一、按强度设计梁的基本逻辑

“按强度设计”（design on the basis of strength）指梁能抵抗沿长度方向产生的内剪力和内弯矩。工具就是两个老公式（要求材料均质、线弹性）：

• 弯曲正应力：$\sigma =Mc/I$（第 6 章）
• 切应力：$\tau =VQ/It$（第 7 章）

为什么可以忽略轴力和局部挤压应力？ 集中载荷作用点下方其实还有竖向压应力 ${\sigma }_y$，但弹性理论分析表明它沿梁高迅速衰减，且 ${\sigma }_x\gg {\sigma }_y$；工程上还会用垫板把集中载荷摊开。所以设计时只管弯曲和剪切。

主应力轨迹线（脆性材料要看的图）：在梁的同一横截面上，从上表面到中性轴各点的应力状态不同——上下边缘只有最大弯曲正应力，中性轴处只有最大切应力，中间的点两者兼有。把各点的主应力方向画出来，就得到两族曲线：实线是拉主应力方向，虚线是压主应力方向。它们与中性轴成 45° 相交，两族线互相垂直。对混凝土这类抗拉弱的脆性材料，这些曲线直接告诉工程师钢筋该往哪放、怎么弯。

二、等截面梁的设计流程（重点）

大多数梁是延性材料，不必画主应力轨迹，只需保证弯曲和切应力都不超许用值。跨度较长时弯矩是主导，先按弯曲设计、再校核剪切；短梁受大集中载荷时则相反。

第 1 步：画剪力图和弯矩图

找出 $V_{\max }$ 和 $M_{\max }$。这是设计的数据源头，图画错了全盘皆错。

第 2 步：按弯曲设计——截面模量

由弯曲公式 $\sigma =Mc/I$ 反解。定义截面模量（section modulus）$S=I/c$（c 是最外纤维到中性轴的距离），则许用条件变成一个非常方便的形式：

$$S_{\text{req’d}}=\frac{M_{\max }}{{\sigma }_{\text{allow}}}\text{\hspace{1em}(11-1)}$$

白话：弯矩除以许用应力，直接得到”截面至少要多能抗弯”这个几何量。

• 简单截面（矩形、圆形、已知比例的矩形）：由 $S=I/c$ 直接解出尺寸；
• 型钢（工字钢等）：查型钢表选满足 $S\ge S_{\text{req’d}}$ 的型号。通常有多个候选，选截面积最小的——材料最少、最轻、最省；
• 梁自重若要考虑，就让所选的 $S$ 略大于 $S_{\text{req’d}}$。

型钢命名规则：如 W18×46 表示宽翼缘工字钢（W），名义高 18 in，每英尺重 46 lb。表中给出高度、截面积、惯性矩、截面模量等全部设计参数。

第 3 步：校核切应力

$${\tau }_{\text{allow}}\ge \frac{V_{\max }Q}{It}$$

两个常用简化：

• 矩形截面：${\tau }_{\text{allow}}\ge 1.5\frac{V_{\max }}{A}$（第 7 章推导过，最大切应力是平均值的 1.5 倍）；
• 宽翼缘工字钢：切应力几乎全由腹板承担，可用 ${\tau }_{\text{allow}}\ge \frac{V_{\max }}{A_{\text{web}}}$，其中 $A_{\text{web}}=d\times t_w$（腹板深度 × 腹板厚度）。

常见坑

1. 木梁的”名义尺寸”不是实际尺寸：2×4 的刨光后实际尺寸是 1.5 in × 3.5 in，应力计算必须用实际尺寸！
2. 先按弯曲设计不等于结束——切应力校核不过就得推倒重来（见下面例题 2）。
3. T 形等非对称截面：$c$ 取中性轴到最远纤维的距离，不是到上边缘的距离。

组合截面（built-up sections）：钉子怎么钉

钢板梁（plate girder）、木箱形梁、胶合木梁（glulam）都由几块板拼成。除了校核整体弯曲和剪切，还要保证连接件（钉、螺栓、焊缝、胶）能把各板”捆”成一个整体工作。用剪流（shear flow，单位长度上的剪切力）：

$$q_{\text{allow}}=\frac{VQ}{I}$$

其中 Q 是连接件所连那块板对中性轴的静矩。若每颗钉能抗 $F_{\text{nail}}$，则最大钉距为 $s=F_{\text{nail}}/q$。剪力沿梁变化，可以分段用各自的 $V$ 算钉距（保守做法是取该段最大 V）。

例题 1：选工字钢（原书例 11.1）

题目：钢梁的 ${\sigma }_{\text{allow}}=24$ ksi，${\tau }_{\text{allow}}=14.5$ ksi，承受某载荷后 $V_{\max }=30$ kip，$M_{\max }=120$ kip·ft。选一个合适的 W 型钢。

解：

第一步，定截面模量需求：

$$S_{\text{req’d}}=\frac{M_{\max }}{{\sigma }_{\text{allow}}}=\frac{120\text{kip⋅ft}\times 12\text{in/ft}}{24{\text{kip/in}}^2}=60{\text{in}}^3$$

第二步，查表候选（均满足 $S\ge 60{\text{in}}^3$）：

型号	S (in³)
W18×40	68.4
W16×45	72.7
W14×43	62.7
W12×50	64.7
W10×54	60.0
W8×67	60.4

选每英尺重量最小的 W18×40。

第三步，校核剪切（腹板平均切应力）。查表得 $d=17.90$ in，$t_w=0.315$ in：

$${\tau }_{\text{avg}}=\frac{V_{\max }}{A_w}=\frac{30}{(17.90)(0.315)}=5.32\text{ksi}<14.5\text{ksi}\text{OK}$$

结论：用 W18×40。

例题 2：木梁——弯曲设计被剪切推翻（原书例 11.2）

题目：叠层木梁承受均布载荷 12 kN/m，要求高宽比 1.5，${\sigma }_{\text{allow}}=9$ MPa，${\tau }_{\text{allow}}=0.6$ MPa。求最小宽度。

解：

第一步，由剪力图和弯矩图得 $V_{\max }=20$ kN，$M_{\max }=10.67$ kN·m。

第二步，按弯曲设计。设宽为 $a$、高为 $1.5a$：

$$S_{\text{req’d}}=\frac{10.67(10^3)}{9(10^6)}=0.00119{\text{m}}^3=\frac{\frac{1}{12}(a)(1.5a{)}^3}{0.75a}$$

解得 $a^3=0.00316{\text{m}}^3$，$a=0.147$ m。

第三步，校核剪切（矩形截面公式）：

$${\tau }_{\max }=1.5\frac{V_{\max }}{A}=1.5\times \frac{20(10^3)}{(0.147)(1.5)(0.147)}=0.929\text{MPa}>0.6\text{MPa}$$

不合格！ 切应力超限，必须改按剪切设计：

$$0.6(10^3)\text{kPa}=1.5\times \frac{20(10^3)}{a(1.5a)}\Rightarrow a=0.183\text{m}=183\text{mm}$$

放大后的截面自然也满足弯曲要求。这个例子生动说明：短梁/木梁（许用切应力很低）常常是剪切控制设计。

三、等强度梁（Fully Stressed Beams）

等截面梁其实很”浪费”：弯矩沿梁变化，只有在 $M_{\max }$ 截面材料才被用满，其余地方都有富余。想让每个截面上的最大弯曲应力都恰好等于许用值，就让截面随 x 变化——这就是等强度梁（非等截面/nonprismatic beam）。设计公式还是那个：

$$S=\frac{M(x)}{{\sigma }_{\text{allow}}}$$

弯矩是 x 的函数，截面尺寸也变成 x 的函数。机器中的铸造梁、桥梁的变高梁、钢板梁上焊盖板，都是这个思想。

例题 3：等强度悬臂梁的形状（原书例 11.4）

题目：简支梁跨中受集中力 P，矩形截面宽度 b 不变。求高度 h(x) 使梁处处达到 ${\sigma }_{\text{allow}}$。

解：在 $0\le x<L/2$ 区间，弯矩 $M=\frac{P}{2}x$。要求：

$$S=\frac{I}{c}=\frac{\frac{1}{12}b{h}^3}{h/2}=\frac{P}{2{\sigma }_{\text{allow}}}x$$

整理得：

$$h^2=\frac{3P}{{\sigma }_{\text{allow}}b}x$$

利用跨中 $x=L/2$ 处 $h=h_0$（对应 $h_0^2=\frac{3PL}{2{\sigma }_{\text{allow}}b}$），可写成：

$$h^2=\frac{2h_0^2}{L}x$$

即高度按抛物线变化——这正是重型卡车、火车后桥板弹簧（leaf springs）的设计原型。注意：理论上支座处 $h=0$，但那里还要抗切应力，实际上必须保留 $h>0$。

常见坑

弯曲公式是从等截面梁（平截面假定）推出来的，用在变截面梁上是近似。锥角不大时误差很小（15° 锥角约引入 5% 应力偏差），锥角大了就不能这么算了。另外，变截面梁的最大应力未必在弯矩最大处——截面模量也在变，要对 $\sigma (x)=M(x)/S(x)$ 求导找极值。

四、轴的设计：弯矩 + 扭矩的组合

传动轴既受皮带轮/齿轮传来的横向力（产生弯矩），又传递功率（产生扭矩），还常处于交变应力状态。设计步骤：

第 1 步：把载荷分解到两个平面

把各皮带轮张力分解到两个相互垂直的平面（x-z 和 x-y），分别画弯矩图 $M_x$（绕水平轴）和 $M_z$（绕竖直轴），再矢量合成任意截面的合成弯矩：

$$M=\sqrt{M_x^2+M_z^2}$$

白话：圆截面对任何直径轴的惯性矩都一样，所以两个平面内的弯矩可以先各自算、再平方和开根号合成，最后按一个”总弯矩”套弯曲公式。

同时画扭矩图 $T(x)$，找出各段的扭矩。

第 2 步：找危险截面，套强度理论

危险截面上最外缘的单元体同时承受：

$$\sigma =\frac{Mc}{I}(\text{弯曲正应力})，\tau =\frac{Tc}{J}(\text{扭转切应力})$$

（横向力引起的直接切应力 $\tau =VQ/It$ 相对很小，一般忽略。）

这是典型的平面应力状态，选强度理论（第 10 章）：

• 延性材料、最大切应力理论（Tresca）：${\tau }_{\text{allow}}=\sqrt{(\sigma /2{)}^2+{\tau }^2}$，代入 $I=\pi c^4/4$、$J=\pi c^4/2$，解出半径：

$$c={\left(\frac{2}{\pi {\tau }_{\text{allow}}}\sqrt{M^2+T^2}\right)}^{1/3}\text{\hspace{1em}(11-2)}$$

白话：把弯和扭”打包”成 $\sqrt{M^2+T^2}$，除以许用切应力，开立方根就是半径。立方根意味着：载荷增大 8 倍，轴径才翻倍——轴对尺寸的敏感度没有想象中高。

• 若用最大畸变能理论（von Mises），表达式不同但流程一样。

$M$ 和 $T$ 沿轴变化，所以要对若干危险截面分别算 $c$，取最大值。

例题 4：皮带轮传动轴选径（原书例 11.6）

题目：轴由 A、B 处轴颈轴承支承，两个皮带轮的皮带张力已在图上给出。用最大切应力理论，${\tau }_{\text{allow}}=50$ MPa，求轴的最小直径。

解：

第一步，画两个平面的弯矩图和扭矩图。检查发现弯曲危险点在 C 截面或 B 截面；C 右侧与 B 处扭矩均为 7.5 N·m。

第二步，合成弯矩：

$$M_C=\sqrt{(118.75{)}^2+(37.5{)}^2}=124.5\text{N⋅m},M_B=75\text{N⋅m}$$

C 处更大，且 $\sqrt{M^2+T^2}$ 也在 C 右侧截面最大，故以 C 右侧为危险截面。

第三步，代入式 (11-2)：

$$c={\left(\frac{2}{\pi (50)(10^6)}\sqrt{(124.5{)}^2+(7.5{)}^2}\right)}^{1/3}=0.0117\text{m}$$ $$d=2c=23.3\text{mm}$$

常见坑

1. 合成弯矩是矢量合成 $\sqrt{M_x^2+M_z^2}$，逐截面都要求，不能只挑某一张弯矩图的峰值。
2. $\sqrt{M^2+T^2}$ 的最大值位置可能与 $M$ 的最大值位置不同（扭矩分段跳变），要在候选截面上逐一比较。
3. 实际轴还有键槽、截面突变等应力集中源，且承受交变应力，规范上还要叠加疲劳修正——本章只做静强度这一步。

通关标准：

• 给定载荷和许用应力，能走完”画剪力/弯矩图 → $S_{\text{req’d}}=M_{\max }/{\sigma }_{\text{allow}}$ → 查表选型或算尺寸 → 校核切应力”完整流程；
• 知道矩形截面用 $1.5V/A$、工字钢用 $V/A_{\text{web}}$ 校核剪切，且明白”先弯后剪、不过重来”的迭代逻辑；
• 会用 $q=VQ/I$ 算钉距、螺栓间距；
• 能推导等强度梁的形状函数（如抛物线板弹簧）；
• 会画双平面弯矩图 + 扭矩图，用 $M=\sqrt{M_x^2+M_z^2}$ 和式 (11-2) 定轴径。

自测：为什么跨度较长的梁通常由弯曲（而不是剪切）控制设计？

弯矩随跨度的平方量级增长（均布载荷下 $M\sim w{L}^2$），而剪力只随跨度线性增长；长梁的 $M_{\max }$ 远大于短梁，弯曲应力率先逼近许用值。反过来，短梁承受大集中载荷时 $V_{\max }$ 相对突出，且木梁许用切应力极低，此时剪切反而控制设计。

自测：同样是 S = 60 in³ 的候选工字钢，为什么选 W18×40 而不是 W8×67？

截面模量只保证抗弯够用；在多个都满足 $S\ge S_{\text{req’d}}$ 的候选里，选截面积（即每英尺重量）最小的最经济。W18×40 每英尺 40 lb，W8×67 重 67 lb，前者省料 40% 且承载能力相同。

自测：等强度梁例题中，支座处按公式 h = 0，为什么实际不行？

弯曲应力在支座处确实为零，但那里剪力 $V$ 最大，切应力 $\tau =1.5V/A$ 需要足够的截面积来承担。h = 0 意味着 A = 0，切应力无穷大。等强度设计只考虑了弯曲，剪切必须人工兜底。

自测：轴设计公式 (11-2) 中的 c 为什么是 1/3 次方？

因为抗弯和抗扭能力都随 $c^3$ 以上增长：$\sigma =Mc/I\sim M/c^3$（$I\sim c^4$，$\sigma =Mc/I\sim c^{-3}$），$\tau =Tc/J$ 同理。要压低应力到许用值，就解 $c^3\propto \sqrt{M^2+T^2}$，自然开立方。

自测：T 形截面梁校核弯曲应力时，c 应该怎么取？

c 是中性轴到最远受拉/受压纤维的距离。T 形截面中性轴通常靠近翼缘一侧，腹板下端距中性轴更远，所以 c 取下端距离（如例题中 0.1575 m），而不是中性轴到翼缘顶面的距离。取错了会把最大弯曲应力算小，偏危险。