第10章 应变变换：应变花与广义胡克定律

这一篇在干嘛？

上一章（第9章）我们学会了”应力变换”——换个方向看应力。这一章做同样的事，只是对象换成了应变（strain，材料单位长度的变形量）。更重要的是：工程中应力和弯矩往往没法直接测，但应变可以用应变片（strain gage）贴在构件表面测出来——本章教你如何把”测到的应变”反推成”应力状态”，并由此引出判断材料会不会坏的强度理论。

一、平面应变（Plane Strain）是什么

一个点的一般应变状态有 6 个分量：3 个正应变 ${ϵ}_x,{ϵ}_y,{ϵ}_z$（改变体积）和 3 个切应变 ${\gamma }_{xy},{\gamma }_{xz},{\gamma }_{yz}$（改变形状）。和应力一样，这 6 个分量依赖于单元体的取向，所以常常需要”变换”。

平面应变只考虑 3 个分量：${ϵ}_x,{ϵ}_y,{\gamma }_{xy}$，即变形只发生在一个平面内。

常见坑：平面应力 ≠ 平面应变

平面应力（只有 ${\sigma }_x,{\sigma }_y$）不会产生平面应变！因为泊松效应（Poisson effect，横向收缩效应）会派生一个 ${ϵ}_z\ne 0$。两者虽然都是”平面内的 3 个分量”，但概念完全不同。 不过没关系：表面不受载的点处于平面应力状态，我们仍可用平面应变分析来处理该表面上的应变片数据，只是要记住垂直方向藏着个 ${ϵ}_z$。

为什么要学它？ 实际中严格的平面应变很少见（材料很少被刚性面完全约束），但它是把应变片测量数据转换成平面应力的钥匙——这就是工程测试的核心流程。

二、平面应变变换方程

问题：已知某方向单元体的 ${ϵ}_x,{ϵ}_y,{\gamma }_{xy}$，求旋转 $\theta$ 角后新方向 $x^{\prime }-y^{\prime }$ 上的 ${ϵ}_{x^{\prime }},{ϵ}_{y^{\prime }},{\gamma }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}$。

符号约定（与应力变换完全一致）：

• 正应变：拉长为正；
• 切应变：使夹角 AOB 变小（小于 90°）为正；
• 角 $\theta$：从 x 轴逆时针转到 x’ 轴为正。

推导思路很简单：取一段沿 $x^{\prime }$ 方向的线段 $d{x}^{\prime }$，它在 x、y 轴上的投影为 $dx=d{x}^{\prime }\cos \theta$、$dy=d{x}^{\prime }\sin \theta$。三个应变分量分别让这段线”伸长一点点”，把贡献叠加再除以 $d{x}^{\prime }$，就得到变换方程（用倍角公式整理后的最终形式）：

$${ϵ}_{x^{\prime }}=\frac{{ϵ}_x+{ϵ}_y}{2}+\frac{{ϵ}_x-{ϵ}_y}{2}\cos 2\theta +\frac{{\gamma }_{xy}}{2}\sin 2\theta \text{\hspace{1em}(10-5)}$$

白话：新方向的正应变 = 平均值 + “拉平项”（随 $2\theta$ 余弦摆动）+ “切应变贡献项”。

把 $\theta$ 换成 $\theta +90°$ 即得 $y^{\prime }$ 方向的 ${ϵ}_{y^{\prime }}$（式 10-7）：摆动项全部反号。

$$\frac{{\gamma }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}}{2}=-\left(\frac{{ϵ}_x-{ϵ}_y}{2}\right)\sin 2\theta +\frac{{\gamma }_{xy}}{2}\cos 2\theta \text{\hspace{1em}(10-6)}$$

白话：注意切应变带着系数 1/2 进出方程，这是它与应力公式 ${\tau }_{xy}$ 对应的地方。

与第 9 章应力变换的对应关系（背下来，两章公式一套通用）：

应力变换	应变变换
${\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_{x^{\prime }},{\sigma }_{y^{\prime }}$	${ϵ}_x,{ϵ}_y,{ϵ}_{x^{\prime }},{ϵ}_{y^{\prime }}$
${\tau }_{xy},{\tau }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}$	${\gamma }_{xy}/2,{\gamma }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}/2$

所以主应变、最大切应变的公式也可以照抄应力那套，只是把对应量替换：

主应变（principal strains，没有切应变伴随的方向上的正应变）：

$$\tan 2{\theta }_p=\frac{{\gamma }_{xy}}{{ϵ}_x-{ϵ}_y}\text{\hspace{1em}(10-8)}$$ $${ϵ}_{1,2}=\frac{{ϵ}_x+{ϵ}_y}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{{ϵ}_x-{ϵ}_y}{2}\right)}^2+{\left(\frac{{\gamma }_{xy}}{2}\right)}^2}\text{\hspace{1em}(10-9)}$$

面内最大切应变及其伴随的平均正应变：

$$\tan 2{\theta }_s=-\left(\frac{{ϵ}_x-{ϵ}_y}{{\gamma }_{xy}}\right)\text{\hspace{1em}(10-10)}$$ $$\frac{{\gamma }_{\text{in-plane}}^{\max }}{2}=\sqrt{{\left(\frac{{ϵ}_x-{ϵ}_y}{2}\right)}^2+{\left(\frac{{\gamma }_{xy}}{2}\right)}^2}\text{\hspace{1em}(10-11)}$$ $${ϵ}_{\text{avg}}=\frac{{ϵ}_x+{ϵ}_y}{2}\text{\hspace{1em}(10-12)}$$

常见坑

1. ${\theta }_p$ 和 ${\theta }_s$ 相差 45°（因为 $\tan 2{\theta }_s$ 是 $\tan 2{\theta }_p$ 的负倒数），别算完主方向忘了这层关系。
2. 由式 (10-8) 解出的 $2{\theta }_p$ 有两个相差 180° 的解，哪个方向对应 ${ϵ}_1$ 哪个对应 ${ϵ}_2$，必须代回式 (10-5) 验证，不能想当然。
3. 应变单位是 $\mu$（即 $10^{-6}$，微应变），全程带着 $10^{-6}$ 计算别丢。

例题 1：求主应变（原书例 10.2）

题目：某点平面应变 ${ϵ}_x=-350(10^{-6})$，${ϵ}_y=200(10^{-6})$，${\gamma }_{xy}=80(10^{-6})$。求主应变及其方向。

解：

第一步，定方向。由式 (10-8)：

$$\tan 2{\theta }_p=\frac{80}{-350-200}=\frac{80(10^{-6})}{-550(10^{-6})}$$

解得 $2{\theta }_p=-8.28°$ 和 $171.72°$，即 ${\theta }_p=-4.14°$ 与 $85.9°$。

第二步，算数值。由式 (10-9)：

$${ϵ}_{1,2}=\frac{(-350+200)}{2}(10^{-6})\pm \left[\sqrt{{\left(\frac{-550}{2}\right)}^2+{\left(\frac{80}{2}\right)}^2}\right](10^{-6})$$ $$=-75.0(10^{-6})\pm 277.9(10^{-6})$$ $${ϵ}_1=203(10^{-6}),{ϵ}_2=-353(10^{-6})$$

第三步，定归属。把 $\theta =-4.14°$ 代回式 (10-5) 得 ${ϵ}_{x^{\prime }}=-353(10^{-6})={ϵ}_2$，说明 $-4.14°$ 方向对应的是压主应变。

三、应变莫尔圆（Mohr’s Circle for Strain）

既然方程和应力变换同构，莫尔圆照样能用。消去 $\theta$ 后方程变成圆：

$$({ϵ}_{x^{\prime }}-{ϵ}_{\text{avg}}{)}^2+{\left(\frac{{\gamma }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}}{2}\right)}^2=R^2\text{\hspace{1em}(10-13)}$$

作图步骤：

1. 横轴为正应变 $ϵ$（向右为正），纵轴为切应变的一半 $\gamma /2$（向下为正——这样单元体逆时针转，圆上的点也逆时针转，方向不打架）；
2. 圆心 $C$ 在 $({ϵ}_{\text{avg}},0)$，其中 ${ϵ}_{\text{avg}}=({ϵ}_x+{ϵ}_y)/2$；
3. 参考点 $A$ 坐标 $({ϵ}_x,{\gamma }_{xy}/2)$，代表 $\theta =0°$ 的原始状态；
4. 连接 $CA$，其长度即半径 $R=\sqrt{[({ϵ}_x-{ϵ}_y)/2{]}^2+({\gamma }_{xy}/2{)}^2}$。

从圆上读结果：

• 主应变：圆与横轴交点 B、D 的横坐标，即 ${ϵ}_1,{ϵ}_2$；
• 最大面内切应变：圆最高点 E 或最低点 F 的纵坐标的两倍，同时伴随 ${ϵ}_{\text{avg}}$；
• 任意方向：从 CA 量 2θ 角（单元体转 θ，圆上转 2θ），得到 P 点坐标 $({ϵ}_{x^{\prime }},{\gamma }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}/2)$；对面 Q 点（与 P 相隔 180°）给出 ${ϵ}_{y^{\prime }}$。

常见坑

纵轴是 $\gamma /2$ 且向下为正。如果你习惯把纵轴画成向上为正，那么圆上量角方向就与单元体转动方向相反，极易出错。应试时固定一套画法别中途换。

四、绝对最大切应变

第 9 章讲过：平面应力下，若两个面内主应力同号，绝对最大切应力发生在面外。应变完全类似，画三个莫尔圆（绕 x、y、z 轴旋转）比较半径即可：

• 面内主应变同号（都拉或都压）：最大圆在面外，绝对最大切应变

$${\gamma }_{\text{abs max}}={ϵ}_{\max }\text{\hspace{1em}(10-14)}$$

其中 ${ϵ}_{\max }$ 是绝对值最大的主应变。注意此时面内最大切应变 ${\gamma }_{\text{in-plane}}^{\max }={ϵ}_1-{ϵ}_2$ 只是同号两主应变之差，数值上小于面外的 ${ϵ}_{\max }$，所以真正的最大值藏在面外。

• 面内主应变异号（一拉一压）：最大圆就是面内那个，绝对最大切应变

$${\gamma }_{\text{abs max}}={ϵ}_1-{ϵ}_2\text{\hspace{1em}(10-15)}$$

此时面内最大切应变就是绝对最大切应变。

五、应变花（Strain Rosettes）：把测量变成数据

痛点：应变片只能测正应变，切应变 ${\gamma }_{xy}$ 没法直接测。怎么办？在同一点贴 3 个不同方向的应变片（这就是应变花），测出 3 个正应变读数 ${ϵ}_a,{ϵ}_b,{ϵ}_c$，然后对每个方向套用变换方程 (10-2)：

$$\begin{array}{rl}{ϵ}_a& ={ϵ}_x{\cos }^2{\theta }_a+{ϵ}_y{\sin }^2{\theta }_a+{\gamma }_{xy}\sin {\theta }_a\cos {\theta }_a\\ {ϵ}_b& ={ϵ}_x{\cos }^2{\theta }_b+{ϵ}_y{\sin }^2{\theta }_b+{\gamma }_{xy}\sin {\theta }_b\cos {\theta }_b\\ {ϵ}_c& ={ϵ}_x{\cos }^2{\theta }_c+{ϵ}_y{\sin }^2{\theta }_c+{\gamma }_{xy}\sin {\theta }_c\cos {\theta }_c\end{array}\text{\hspace{1em}(10-16)}$$

三个方程三个未知数，解出 ${ϵ}_x,{ϵ}_y,{\gamma }_{xy}$。

常用两种布置：

45°（直角）应变花（${\theta }_a=0°,{\theta }_b=45°,{\theta }_c=90°$）：

$${ϵ}_x={ϵ}_a,{ϵ}_y={ϵ}_c,{\gamma }_{xy}=2{ϵ}_b-({ϵ}_a+{ϵ}_c)$$

60°（等角）应变花（${\theta }_a=0°,{\theta }_b=60°,{\theta }_c=120°$）：

$${ϵ}_x={ϵ}_a,{ϵ}_y=\frac{1}{3}(2{ϵ}_b+2{ϵ}_c-{ϵ}_a),{\gamma }_{xy}=\frac{2}{\sqrt{3}}({ϵ}_b-{ϵ}_c)\text{\hspace{1em}(10-17)}$$

拿到 ${ϵ}_x,{ϵ}_y,{\gamma }_{xy}$ 后，就用变换方程或莫尔圆求主应变，再用胡克定律（下一节）反算应力——这就是完整的实验应力分析链条。

例题 2：60° 应变花求主应变（原书例 10.8）

题目：支架上 A 点用 60° 应变花测得 ${ϵ}_a=60(10^{-6})$，${ϵ}_b=135(10^{-6})$，${ϵ}_c=264(10^{-6})$。求面内主应变及方向。

解：

第一步，解出应变分量。从 x 轴逆时针量得 ${\theta }_a=0°,{\theta }_b=60°,{\theta }_c=120°$，代入式 (10-16)：

$$60(10^{-6})={ϵ}_x(\text{由第一式})$$ $$135(10^{-6})=0.25{ϵ}_x+0.75{ϵ}_y+0.433{\gamma }_{xy}$$ $$264(10^{-6})=0.25{ϵ}_x+0.75{ϵ}_y-0.433{\gamma }_{xy}$$

联立解得：

$${ϵ}_x=60(10^{-6}),{ϵ}_y=246(10^{-6}),{\gamma }_{xy}=-149(10^{-6})$$

第二步，画莫尔圆。圆心 ${ϵ}_{\text{avg}}=(60+246)/2=153(10^{-6})$，参考点 $A(60,-74.5)(10^{-6})$，半径：

$$R=\sqrt{(153-60{)}^2+74.5^2}(10^{-6})=119.1(10^{-6})$$

第三步，读主应变：

$${ϵ}_1=153+119.1=272(10^{-6}),{ϵ}_2=153-119.1=33.9(10^{-6})$$ $$2{\theta }_{p_2}={\tan }^{-1}\frac{74.5}{153-60}=38.7°,{\theta }_{p_2}=19.3°$$

注意：由于泊松效应，该点面外（z 方向）还有应变，但不影响上述面内计算。

六、材料属性关系：广义胡克定律

前面都是”从应变到应变”，现在补上”应变 ↔ 应力”的桥。

广义胡克定律（Generalized Hooke’s Law）

单元体受三向应力 ${\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z$ 时，每个方向的正应变都受所有正应力影响（泊松效应）。用叠加原理：${\sigma }_x$ 单独作用使 x 方向伸长 ${\sigma }_x/E$；${\sigma }_y$、${\sigma }_z$ 各自使 x 方向缩短 $\nu {\sigma }_y/E$、$\nu {\sigma }_z/E$。三项相加：

$$\begin{array}{rl}{ϵ}_x& =\frac{1}{E}\left[{\sigma }_x-\nu ({\sigma }_y+{\sigma }_z)\right]\\ {ϵ}_y& =\frac{1}{E}\left[{\sigma }_y-\nu ({\sigma }_x+{\sigma }_z)\right]\\ {ϵ}_z& =\frac{1}{E}\left[{\sigma }_z-\nu ({\sigma }_x+{\sigma }_y)\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(10-18)}$$

白话：自己方向的正应力贡献拉伸，另外两个方向的正应力通过泊松效应贡献收缩。拉为正、压为负。

而切应力只产生自己平面内的切应变，互不干扰（各向同性材料）：

$${\gamma }_{xy}=\frac{{\tau }_{xy}}{G},{\gamma }_{yz}=\frac{{\tau }_{yz}}{G},{\gamma }_{xz}=\frac{{\tau }_{xz}}{G}\text{\hspace{1em}(10-19)}$$

E、ν、G 的关系

三个弹性常数不独立，它们被下式锁定：

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}\text{\hspace{1em}(10-20)}$$

推导思路很漂亮：对单元体施加纯切 ${\tau }_{xy}$，主应力为 ${\sigma }_{\max }={\tau }_{xy}$、${\sigma }_{\min }=-{\tau }_{xy}$（方向 45°）。一方面用广义胡克定律算出主应变 ${ϵ}_{\max }={\tau }_{xy}(1+\nu )/E$；另一方面纯切状态下 ${ϵ}_1={\gamma }_{xy}/2={\tau }_{xy}/2G$。两式相等即得式 (10-20)。

体积应变（Dilatation）与体积模量

正应变会让体积变化。单位体积的体积变化量叫体积应变 $e$：

$$e=\frac{\delta V}{dV}={ϵ}_x+{ϵ}_y+{ϵ}_z\text{\hspace{1em}(10-22)}$$

白话：体积应变就是三个方向正应变之和（切应变不改变体积）。代入胡克定律还可写成应力形式：

静水压力（材料浸在静水中，三向等压 ${\sigma }_1={\sigma }_2={\sigma }_3=-p$）下，定义体积模量（bulk modulus）：

$$k=\frac{E}{3(1-2\nu )}\text{\hspace{1em}(10-25)}$$

由式 (10-25) 可得一个重要结论：若材料不可压缩（$e=0$），则 $k\to \infty$，要求 $\nu \to 0.5$。所以泊松比的理论上限是 0.5（大多数金属 $\nu \approx 1/3$，橡胶接近 0.5）。

例题 3：由主应变反算主应力（原书例 10.9）

题目：例 10.8 的支架 A 点，材料为钢（$E_{st}=200\text{GPa}$，${\nu }_{st}=0.3$）。求该点主应力。

解：A 点在自由表面上，垂直表面方向无应力，属于平面应力（${\sigma }_3=0$），不是平面应变——这正是”常见坑”。由广义胡克定律（平面应力形式）：

$${ϵ}_1=\frac{{\sigma }_1}{E}-\frac{\nu }{E}{\sigma }_2\Rightarrow 272(10^{-6})\times 200(10^9)={\sigma }_1-0.3{\sigma }_2$$ $${ϵ}_2=\frac{{\sigma }_2}{E}-\frac{\nu }{E}{\sigma }_1\Rightarrow 33.9(10^{-6})\times 200(10^9)={\sigma }_2-0.3{\sigma }_1$$

即 $54.4(10^6)={\sigma }_1-0.3{\sigma }_2$，$6.78(10^6)={\sigma }_2-0.3{\sigma }_1$。联立解得：

$${\sigma }_1=62.0\text{MPa},{\sigma }_2=25.4\text{MPa}$$

通关标准：

• 给定 ${ϵ}_x,{ϵ}_y,{\gamma }_{xy}$，能用变换方程求任意方向应变、主应变、最大切应变，并判断方向；
• 会画应变莫尔圆（记住纵轴 $\gamma /2$ 向下为正），会用它求任意方向应变；
• 给定应变花三个读数，能还原 ${ϵ}_x,{ϵ}_y,{\gamma }_{xy}$（45° 和 60° 两种公式都要熟）；
• 会用广义胡克定律在”应变↔应力”之间双向换算，注意区分平面应力与平面应变；
• 说得出 $G=E/2(1+\nu )$ 和 $\nu \le 0.5$ 的来历。

七、强度理论（Theories of Failure）：什么时候会坏

单向拉伸时判断失效很简单：应力达到屈服极限（延性材料）或强度极限（脆性材料）就坏了。但实际构件常处于二向/三向应力状态，“坏”的标准是什么？这就是强度理论要回答的问题。前提：先找出危险点的主应力。

延性材料（屈服破坏）

（1）最大切应力理论（Tresca 准则）

延性金属屈服源于晶间滑移，而滑移由切应力驱动（拉伸试件表面 45° 方向的 Lüder’s 线就是滑移面痕迹）。单向拉伸屈服时 ${\tau }_{\max }={\sigma }_Y/2$。于是理论表述为：不管加载方式如何，只要材料中绝对最大切应力达到单向拉伸屈服时的 ${\sigma }_Y/2$，就开始屈服。

用主应力表达（平面应力）：主应力同号时失效发生在面外，判据为 $|{\sigma }_1|={\sigma }_Y$ 且 $|{\sigma }_2|={\sigma }_Y$；异号时失效发生在面内：

$$|{\sigma }_1-{\sigma }_2|={\sigma }_Y\text{\hspace{1em}(10-27)}$$

在 $({\sigma }_1,{\sigma }_2)$ 图上，安全区域是一个六边形。

（2）最大畸变能理论（von Mises 准则）

应变能密度 $u=\frac{1}{2}\sigma ϵ$ 可以拆成两部分：体积改变能（静水应力部分）和畸变能（形状改变部分）。实验表明均匀静水压不引起屈服，所以”账要算在畸变能头上”：

$$u_d=\frac{1+\nu }{6E}\left[({\sigma }_1-{\sigma }_2{)}^2+({\sigma }_2-{\sigma }_3{)}^2+({\sigma }_3-{\sigma }_1{)}^2\right]$$

令 $u_d$ 等于单向拉伸屈服时的畸变能 $(u_d{)}_Y=\frac{1+\nu }{3E}{\sigma }_Y^2$，得平面应力下的屈服条件：

$$\boxed{{\sigma }_1^2-{\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2^2={\sigma }_Y^2}\text{\hspace{1em}(10-30)}$$

这是一个椭圆。两个理论的对比：

• 当 ${\sigma }_1={\sigma }_2$ 或其中一个为零时，两者预测相同；
• 纯剪切时差异最大：Tresca 给出屈服切应力 ${\sigma }_Y/2$，von Mises 给出 ${\sigma }_Y/\sqrt{3}$。扭转实验表明 von Mises 准则对纯剪更准，约精确 15%。

脆性材料（断裂破坏）

（3）最大正应力理论（Rankine）

脆性材料（如灰铸铁）因拉断而突然失效，断裂由最大拉应力控制（扭转试件的螺旋断口也印证了这一点）。因此只要任一主拉应力达到单向拉伸强度极限就断裂：

$$|{\sigma }_1|={\sigma }_{\text{ult}},|{\sigma }_2|={\sigma }_{\text{ult}}\text{\hspace{1em}(10-31)}$$

适用于拉压性能相近的脆性材料。

（4）莫尔失效准则（Mohr’s Failure Criterion）

若脆性材料拉、压性能不同（灰铸铁抗压远强于抗拉），改用莫尔圆”包络线”法：做单向拉伸、单向压缩、扭转三个实验，画出三个极限莫尔圆，作其公切包络线。实际应力状态的莫尔圆一旦触及或超出包络线即判失效。

常见坑

1. 用强度理论前，先确认主应力，再看同号还是异号——这决定用 Tresca 的哪条判据。
2. 材料是延性还是脆性不是绝对的——温度、加载速率、化学环境都会改变其行为，选理论前先确认工况；脆性材料的断裂对内部缺陷极其敏感，单次试验难以定论，其强度理论要保守使用。

例题 4：轴会不会坏？（原书例 10.12）

题目：实心钢轴半径 0.5 in，屈服应力 ${\sigma }_Y=36$ ksi，同时受轴力 15 kip（压）和扭矩 3.25 kip·in。分别按最大切应力理论和最大畸变能理论判断是否失效。

解：

第一步，求应力分量（轴外表面危险点）：

$${\sigma }_x=\frac{N}{A}=\frac{-15\text{kip}}{\pi (0.5{)}^2}=-19.10\text{ksi},{\tau }_{xy}=\frac{Tc}{J}=\frac{3.25(0.5)}{\frac{\pi }{2}(0.5{)}^4}=16.55\text{ksi}$$

第二步，求主应力（应力变换公式 9-5）：

$${\sigma }_{1,2}=\frac{-19.10}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{-19.10}{2}\right)}^2+(16.55{)}^2}=-9.55\pm 19.11$$ $${\sigma }_1=9.56\text{ksi},{\sigma }_2=-28.66\text{ksi}$$

第三步，逐个理论检验：

最大切应力理论：主应力异号，用 $|{\sigma }_1-{\sigma }_2|\le {\sigma }_Y$：

$$|9.56-(-28.66)|=38.2>36\Rightarrow \text{失效}$$

最大畸变能理论：代入式 (10-30)：

$$(9.56{)}^2-(9.56)(-28.66)+(-28.66{)}^2=1187\le 1296=36^2\Rightarrow \text{不失效}$$

两个理论给出相反结论！这恰好展示了 Tresca 偏保守、von Mises 更接近实际的差别——工程上 Tresca 更安全，von Mises 更经济。

本章小结

• 应变变换与应力变换数学结构相同：$\sigma \leftrightarrow ϵ$，$\tau \leftrightarrow \gamma /2$，一套两用；应变莫尔圆纵轴为 $\gamma /2$（向下为正）；应变花（45°/60°）解决”切应变测不了”的问题；广义胡克定律 + $G=E/2(1+\nu )$ + 体积模量构成各向同性线弹性材料的完整本构关系；强度理论：延性用 Tresca（保守）或 von Mises（精确），脆性用最大正应力理论或莫尔准则。

自测：平面应力一定会产生平面应变吗？

不会。平面应力（${\sigma }_x,{\sigma }_y$ 作用）会通过泊松效应派生 ${ϵ}_z\ne 0$，所以它不是平面应变。但构件自由表面上的点处于平面应力状态，我们仍可用平面应变变换处理该表面内测得的应变数据，只需记住面外还有个 ${ϵ}_z$。

自测：应变莫尔圆的纵轴为什么是 γ/2 且向下为正？

因为变换方程里切应变天然带系数 1/2（对应应力公式中的 τ）。纵轴向下为正是为了让”单元体逆时针转 θ”对应”圆上逆时针转 2θ”，两个转向一致，读图不会出错。若纵轴向上为正，圆上量角方向就得反过来，容易搞混。

自测：45° 应变花测得 εa、εb、εc，如何求 γxy？

套用 45° 应变花公式：${\gamma }_{xy}=2{ϵ}_b-({ϵ}_a+{ϵ}_c)$。直觉理解：45° 方向的读数里”平均掉”了 x、y 两个正应变的贡献，剩下的部分就是切应变的体现，乘 2 还原。

自测：为什么泊松比不可能超过 0.5？

若 $\nu =0.5$，体积模量 $k=E/3(1-2\nu )\to \infty$，即材料不可压缩（受任何压力体积都不变）。真实材料受压总会缩小一点体积，所以 $\nu <0.5$；橡胶等近不可压缩材料 ν 接近 0.5。

自测：两个主应力分别为 90 MPa 和 -30 MPa，σY = 100 MPa，按 Tresca 判据会屈服吗？von Mises 呢？

主应力异号，Tresca 用判据 $|{\sigma }_1-{\sigma }_2|=|90-(-30)|=120>100$，会屈服。von Mises：${\sigma }_1^2-{\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2^2=8100+2700+900=11700>10000$，也屈服。异号应力状态下两个理论都偏严，此例两者结论一致。