第09章 应力变换：主应力与莫尔圆

这一篇在干嘛？

第 8 章算出了一点的应力分量，但它们随单元体（element，围绕一点取的微小正方体）的朝向而变。本章回答三个问题：换一个方向，应力分量是多少（应力变换）？哪个方向正应力最大（主应力）？哪个方向切应力最大（最大切应力）？最后介绍工程师最爱的图形工具——莫尔圆（Mohr’s circle），把所有变换关系装进一个圆里”看”出来。

9.1 平面应力变换：换个方向看应力

一点的一般应力状态有 6 个分量，但工程中大多数载荷共面，材料处于平面应力（plane stress）状态：只需两个正应力 σx、σy 和一个切应力 τxy 描述（z 方向分量全为零），单元体只有四个面受力。

关键认识：同一点的应力状态，用不同朝向的单元体表示，三个分量的数值就不同——但它们是等价的描述，就像同一个力可以用 x、y 分量或 x′、y′ 分量表示。变换比力的分解难在：应力不仅要管大小方向，还要管”作用在哪个面上”。

图 9-1：一点的一般应力状态与平面应力状态

平衡法：斜截面上的应力

求与 x 轴成 θ 角的斜截面上的应力：从单元体上切出一个楔形块（设斜面面积为 ΔA，则竖直面为 ΔA·cosθ、水平面为 ΔA·sinθ），把每个面上的应力乘以面积得到力，再沿 x′、y′ 方向列 ΣF = 0，面积 ΔA 会消掉，直接解出斜面上的 σx′ 和 τx′y′。这就是应力变换的全部物理内核：没有新物理，只是楔形块的静力平衡。

例：机身蒙皮单元体（原书例 9.1）——单元体上 σx = 50 MPa（拉）、σy = −80 MPa（压，图中标注 80），τxy = 25 MPa，求顺时针转 30° 后单元体上的应力。沿 a-a 切开取下段，对斜面（法向 x′）列 ΣFx′ = 0 与 ΣFy′ = 0：

$${\sigma }_{x^{\prime }}=-4.15\text{ MPa},{\tau }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}=68.8\text{ MPa}$$

再沿垂直的 b-b 面切开重复一遍，得该面 σx′ = −25.8 MPa、τx′y′ = −68.8 MPa。两个互相垂直面上的切应力大小相等、方向”指向或背离公共棱边”，符合切应力互等定理。可以看到：纯平衡法列式繁琐、容易漏力，于是下面把它”一次性打包”成通用公式。

9.2 平面应力变换方程

先定符号规则（成败在此）

图 9-5：正符号约定——拉为正；τ 使单元体逆时针转为正；θ 从 x 轴逆时针量到 x′ 为正

• 正应力：拉为正，压为负；
• 切应力：作用面上的 τ 指向 +y（+y′）方向为正（等价说法：使单元体有逆时针转动趋势的切应力为正）；
• 角度 θ：从 +x 轴量到 +x′ 轴，逆时针为正；x′ 轴永远指向待求面的外法向。

变换方程

对楔形块做平衡并用倍角恒等式化简，得到：

$${\sigma }_{x^{\prime }}=\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2}+\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\cos 2\theta +{\tau }_{xy}\sin 2\theta \text{\hspace{1em}(9-1)}$$ $${\tau }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}=-\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\sin 2\theta +{\tau }_{xy}\cos 2\theta \text{\hspace{1em}(9-2)}$$

白话：新正应力 = 平均应力 + 波动项（随 2θ 余弦摆动）+ 切应力贡献；新切应力也以 2θ 为”周期”摆动。要 y′ 面上的正应力，把 θ + 90° 代入式 9-1 即可：

$${\sigma }_{y^{\prime }}=\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2}-\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\cos 2\theta -{\tau }_{xy}\sin 2\theta \text{\hspace{1em}(9-3)}$$

注意恒等式 σx′ + σy′ = σx + σy：无论单元体怎么转，两个正应力之和不变（这正是莫尔圆圆心固定的原因）。

例：公式法重解机身问题（原书例 9.2）——数据换算到符号约定：σx = −80 MPa（注意原题压应力）、σy = 50 MPa、τxy = −25 MPa，θ = −30°（顺时针）。对 CD 面：

$${\sigma }_{x^{\prime }}=\frac{-80+50}{2}+\frac{-80-50}{2}\cos (-60^{\circ })+(-25)\sin (-60^{\circ })=-25.8\text{ MPa}$$ $${\tau }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}=-\frac{-80-50}{2}\sin (-60^{\circ })+(-25)\cos (-60^{\circ })=-68.8\text{ MPa}$$

对 BC 面取 θ = 60°：σx′ = −4.15 MPa、τx′y′ = +68.8 MPa——与平衡法（例 9.1）完全一致，且互检了切应力。

常见坑：

1. 符号约定错 = 全盘皆输：最大翻车点是 τxy 的符号（让单元体逆时针转才为正）和 θ 的正负（逆时针为正）。做题前先把 σx、σy、τxy、θ 四个数按约定重写一遍。
2. 忘了公式里是 2θ：代入的是 2θ 不是 θ；反过来解出的角度也要除以 2。
3. x′ 不是你想的那条边：x′ 轴必须垂直于”待求应力那个面”指向外。先想清楚求的是哪个面，再定 θ。
4. 两个正应力之和会变？不会——σx′ + σy′ = σx + σy 恒成立，可用它快速验算。

9.3 主应力与最大面内切应力

主应力：正应力的极值

σx′ 随 θ 连续变化，对式 9-1 求导并令其为零，得到极值方向：

$$\tan 2{\theta }_p=\frac{{\tau }_{xy}}{({\sigma }_x-{\sigma }_y)/2}\text{\hspace{1em}(9-4)}$$

白话：主平面（principal plane，正应力取极值的面）的方向由这个反正切确定；2θp 两个根相差 180°，即两个主平面互相垂直。把 θp 代回式 9-1，得到两个极值——主应力（principal stresses）：

$${\sigma }_{1,2}=\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}\text{\hspace{1em}(9-5)}$$

白话：主应力 = 平均应力 ± 根号项。根号项 ≥ 0，所以 σ₁ ≥ σ₂，一拉一压或同号皆有可能。主平面上切应力为零（把 θp 代入式 9-2 验证）——“纯拉伸方向”不会搓。

图 9-9：主应力单元体（无切应力）与最大面内切应力单元体（附平均正应力）

最大面内切应力

对式 9-2 求导令零：

$$\tan 2{\theta }_s=\frac{-({\sigma }_x-{\sigma }_y)/2}{{\tau }_{xy}}\text{\hspace{1em}(9-6)}$$

由于 tan2θs 是 tan2θp 的负倒数，最大切应力面与主平面成 45°。其值为：

$${\tau }_{\text{max}}^{\text{in-plane}}=\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}\text{\hspace{1em}(9-7)}$$

且最大切应力面上还作用着平均正应力：

$${\sigma }_{\text{avg}}=\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2}\text{\hspace{1em}(9-8)}$$

图 9-8：由式 9-4 构造的直角三角形，用于确定主平面方向及代入式 9-1 的三角函数值

图：混凝土梁的斜裂缝——虽受弯矩与剪力，但裂缝方向由主拉应力决定，应力变换方程可预测裂缝走向

例：求主应力（原书例 9.3）——σx = −20 MPa、σy = 90 MPa、τxy = 60 MPa：

$$\tan 2{\theta }_p=\frac{60}{(-20-90)/2}⟹2{\theta }_{p_2}=-47.5^{\circ },{\theta }_{p_2}=-23.7^{\circ };{\theta }_{p_1}=66.3^{\circ }$$ $${\sigma }_{1,2}=\frac{-20+90}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{-110}{2}\right)}^2+60^2}=35.0\pm 81.4$$ $${\sigma }_1=116\text{ MPa},{\sigma }_2=-46.4\text{ MPa}$$

把 θ = −23.7° 代回式 9-1 得 σx′ = −46.4 MPa，即 σ₂ 作用在 θp₂ = −23.7° 的面上、σ₁ 作用在 θp₁ = 66.3° 的面上，该单元体上无切应力。（同一数据下最大面内切应力 τ = 81.4 MPa、σavg = 35 MPa，方向 θs = 21.3°，恰与主平面差 45°，见原书例 9.4。）

纯剪切与单轴拉伸的经典结论

• 纯剪切（扭转轴表面，σx = σy = 0，τxy = −τ）：主应力 σ₁ = τ、σ₂ = −τ，方向 ±45°；最大切应力就是 τ 本身。由此解释两类失效：塑性材料（低碳钢）抗剪弱，扭转沿横截面剪断；脆性材料（铸铁）抗拉弱，扭转沿 45° 螺旋面拉断。
• 单轴拉伸（σx = σ、其余为零）：σ₁ = σ、σ₂ = 0 就是主应力状态；转 45° 后 τ = σ/2、σavg = σ/2。低碳钢拉伸试件颈缩区出现 45° 锥形”杯锥”断口，正是最大切应力导致晶界滑移的结果。

9.4 莫尔圆：把变换方程画成一个圆

从方程到圆

把式 9-1 改写为 σx′ − σavg = …，与式 9-2 平方相加消去参数 2θ，得：

$$({\sigma }_{x^{\prime }}-{\sigma }_{\text{avg}}{)}^2+{\tau }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}^2=R^2,{\sigma }_{\text{avg}}=\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2},R=\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}$$

这正是圆的方程：(σ − 圆心)² + τ² = R²。即所有朝向下的 (σx′, τx′y′) 组成一个圆——莫尔圆，圆心 C(σavg, 0)，半径 R。

图 9-15(b)：莫尔圆——圆心在 σ 轴上，半径 R；横轴 σ 向右为正，纵轴 τ 向下为正

两个核心对应关系：

1. 圆上每一点 ↔ 单元体的一个面：点坐标就是该面上的 (σx′, τx′y′)；
2. 单元体转 θ ↔ 圆上转 2θ（同方向）：面旋转 θ 角，对应圆上径向线转 2θ。相隔 90° 的两个面在圆上相隔 180°——恰为直径两端，这就是切应力互等的几何体现。

图 9-16：参考点 A(σx, τxy) 与对径点 G(σy, −τxy)——单元体 x′ 轴转 90°，圆上径向线转 180°

莫尔圆作图步骤（一步步来）

第一步：建立坐标。横轴 σ 向右为正；纵轴 τ 向下为正（关键约定！τ 正方向朝下，单元体转 θ 与圆上转 2θ 才同方向；若 τ 轴朝上画，则转向相反）。

第二步：定圆心。C 点在 σ 轴上：C((σx + σy)/2, 0)。圆心只由”两正应力平均值”决定，与 τxy 无关。

第三步：画参考点 A。坐标 A(σx, τxy)——代表 θ = 0° 时单元体右侧面（x 面）上的应力。

第四步：算半径、画圆。连接 C、A，直角三角形两直角边为 (σx − σy)/2 与 |τxy|，故：

$$R=\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}$$

以 C 为圆心、CA 为半径画圆。

第五步：读主应力。圆与 σ 轴的交点 B、D（τ = 0 处）坐标即 σ₁、σ₂（σ₁ ≥ σ₂）：σ₁ = σavg + R，σ₂ = σavg − R。主平面方向：从径向线 CA 转到 CB（或 CD）的圆心角 2θp，除以 2 得 θp，转动方向与圆上相同。

第六步：读最大切应力。圆的最高/最低点 E、F 坐标即 (σavg, ±τmax)，τmax = R；从 CA 转到 CE 的圆心角 2θs 除以 2 得最大切应力面方向（与主平面差 45°）。

第七步（求任意斜面）。从参考线 CA 起，按给定 θ 的同一方向量出圆心角 2θ，得径向线 CP，P 点坐标 (σx′, τx′y′) 即所求；对径点 Q 给出垂直面上的应力。

图 9-17(a)：莫尔圆完整标注——参考点 A、圆心 C、主应力点 B/D、最大切应力点 E/F、任意面点 P

例 1：莫尔圆求主应力（原书例 9.7）

实心轴表面一点：σx = −12 ksi、σy = 0、τxy = −6 ksi。

1. 圆心：σavg = (−12 + 0)/2 = −6 ksi → C(−6, 0)；
2. 参考点：A(−12, −6)；
3. 半径：R = √(12−6)² + 6² = √72 = 8.49 ksi；
4. 主应力：σ₁ = −6 + 8.49 = 2.49 ksi，σ₂ = −6 − 8.49 = −14.5 ksi；
5. 方向：从 CA 转到 CD（对应 σ₂），2θp₂ = arctan[6/(12−6)] = 45° → θp₂ = 22.5°，逆时针。单元体 x′ 轴从水平轴逆时针转 22.5°，σ₂ 作用其上。

图 9-18(a)：受组合载荷的轴上 A 点的应力状态

图 9-18(b)：本例的莫尔圆——由三角形读出 R = 8.49 ksi 与 2θp = 45°

例 2：莫尔圆求任意方向的应力（原书例 9.9）

σx = −8 ksi、σy = 12 ksi、τxy = −6 ksi，求逆时针转 30° 单元体上的应力。

1. 圆心 C(2, 0)，参考点 A(−8, −6)，半径 R = √(10² + 6²) = 11.66 ksi；
2. 单元体逆时针转 30° → 圆上从 CA 逆时针转 2θ = 60° 得径向线 CP；
3. 由几何：φ = arctan(6/10) = 30.96°（CA 与 −σ 轴夹角），ψ = 60° − 30.96° = 29.04°；
4. 读 P 点坐标：

$${\sigma }_{x^{\prime }}=2-11.66\cos 29.04^{\circ }=-8.20\text{ ksi},{\tau }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}=11.66\sin 29.04^{\circ }=5.66\text{ ksi}$$

5. 对径点 Q（CP 转 180°）给出垂直面：σx′ = 12.2 ksi、τx′y′ = −5.66 ksi。验算：−8.20 + 12.2 = 4 = σx + σy，不变量成立。

9.5 绝对最大切应力

前面的 τmax 只是面内（x-y 平面内）最大。判断塑性材料强度需要绝对最大切应力：分别从 x-y、x-z、y-z 三个视角画莫尔圆，共三个圆，比较半径。设 σ₁、σ₂ 为面内主应力（第三个主应力 σ₃ = 0，平面应力特点）：

• σ₁ 与 σ₂ 同号（如双拉或双压）：三个圆中最大者由 σ₁ 与 0 构成，绝对最大切应力出现在面外（绕 y 轴转 45° 的单元体上）：

$$\boxed{{\tau }_{\text{abs max}}=\frac{{\sigma }_{\max }}{2}}({\sigma }_1,{\sigma }_2\text{ 同号})\text{\hspace{1em}(9-13)}$$

• σ₁ 与 σ₂ 异号：最大圆由 σ₁ 与 σ₂ 两端点构成，绝对最大切应力等于面内最大切应力：

$${\tau }_{\text{abs max}}=\frac{{\sigma }_1-{\sigma }_2}{2}\text{\hspace{1em}(9-14)}$$

图 9-21：平面应力的三个莫尔圆——同号主应力时，绝对最大切应力由面外圆给出

例：压力容器（原书例 9.10）——某点主应力 σ₁ = 32 MPa、σ₂ = 16 MPa（同号）。绝对最大切应力：

$${\tau }_{\text{abs max}}=\frac{32}{2}=16\text{ MPa},{\sigma }_{\text{avg}}=\frac{32+0}{2}=16\text{ MPa}$$

注意面内最大切应力只有 (32−16)/2 = 8 MPa——面外才是真危险方向。反过来（原书例 9.11），σ₁ = 31.2 psi、σ₂ = −51.2 psi 异号时，τabs max = (31.2 + 51.2)/2 = 41.2 psi，与面内最大切应力相等。

图 9-23：压力容器壁上一点的同号主应力及其三圆图

常见坑：

1. τ 轴方向画反：莫尔圆约定 τ 向下为正。若你把 τ 画成向上为正，圆上转角方向就与单元体相反，得出的主平面方向会镜像出错。
2. 忘记”转 2θ”：单元体转 θ，圆上径向线转 2θ；从圆上角度读单元体方向时记得除以 2。
3. 参考点选错：参考点 A 是 (σx, τxy)——x 面上的应力对，不是 (σy, τxy)。
4. 同号主应力漏算面外切应力：双拉/双压状态下 τabs max = σmax/2 发生在面外，比面内切应力大，验算塑性失效时别只用面内值。
5. 主应力代回时不验证方向：算出 θp 后最好把 θ 代回式 9-1 看得到的是 σ₁ 还是 σ₂，避免张冠李戴。

通关标准：

1. 能默写符号约定（拉正、τ 逆时针为正、θ 逆时针为正），并正确把题目数据翻译成 σx、σy、τxy、θ；
2. 会用式 9-1/9-2 求任意方向的应力，并用 σx′ + σy′ = σx + σy 验算；
3. 能默写并运用式 9-4、9-5、9-6、9-7、9-8，说出”主平面上无切应力、最大切应力面与主平面差 45° 且附平均正应力”；
4. 独立完成莫尔圆七步作图：定轴 → 圆心 → 参考点 → 半径 → 主应力 → 最大切应力 → 任意面；
5. 会判断同号/异号主应力，正确选用 τabs max = σmax/2 或 (σ₁−σ₂)/2。

自测：为什么主平面上切应力一定为零？

对式 9-2 求极值的方向（θp，正应力极值方向）恰好使 τx′y′ = 0：把 tan2θp = τxy/[(σx−σy)/2] 对应的 sin2θp、cos2θp 代入式 9-2，两项相消。几何上，莫尔圆与 σ 轴的交点处 τ 坐标为零，这些点正对应主应力。这也是”主”方向的物理含义：该面上只有正应力、没有剪切。

自测：莫尔圆的圆心为什么固定在 (σavg, 0)，不随单元体旋转而移动？

因为对任意 θ 恒有 σx′ + σy′ = σx + σy（把式 9-1 与 9-3 相加即得）。两个互相垂直面上的正应力之和不变，即两点的横坐标之和恒等于 2σavg——直径两端的中点永远是 (σavg, 0)。圆心固定、半径固定，旋转只改变径向线的方向。

自测：纯剪切状态下塑性轴与脆性轴的断口方向为什么不同？

纯剪切（扭转）的主应力为 σ₁ = τ（45° 方向）、σ₂ = −τ。塑性材料（低碳钢）抗剪能力弱，沿最大切应力面——即横截面——被剪断，断口平整；脆性材料（铸铁）抗拉能力弱，沿最大拉应力面——45° 螺旋面——被拉断，断口呈螺旋状。材料失效模式由其”短板”决定。

自测：平面应力状态下，面内最大切应力 8 MPa、主应力 32/16 MPa，为什么说这个点真正的最大切应力是 16 MPa？

平面应力隐含第三个主应力 σ₃ = 0。三个视角的莫尔圆半径分别为 (32−16)/2 = 8、(32−0)/2 = 16、(16−0)/2 = 8 MPa，最大者为 16 MPa，对应绕 σ₂ 方向转 45° 的面外单元体。同号主应力时面外圆最大——面内值会严重低估。

自测：用莫尔圆求"顺时针转 30° 的单元体"时，圆上该怎么转？

先定参考线 CA（从圆心指向参考点 A(σx, τxy)）。顺时针 30° → 圆上从 CA 起顺时针量 60°（2θ）得径向线 CP，P 点坐标即新单元体 x′ 面上的 (σx′, τx′y′)。在”τ 向下为正”的坐标里，圆上转向与单元体转向始终一致。