第08章 组合载荷：拉弯扭剪的叠加分析

这一篇在干嘛？

前几章的公式都只处理”单一载荷”：拉压、扭转、弯曲、剪切各管各的。但真实构件往往同时挨好几种载荷——锅炉既有内压又有支撑力，传动轴既弯又扭。本章先解决一类经典问题（薄壁压力容器），再给出叠加原理（superposition）的通用流程：把每种载荷产生的应力分量分别算出，代数相加，得到一点的完整应力状态。

8.1 薄壁压力容器

锅炉、储气罐是典型的圆柱/球形容器。当内半径与壁厚之比 r/t ≥ 10 时，称为薄壁容器（thin-walled vessel），可以用非常简单的平衡分析求壁内应力。r/t = 10 时公式结果比真实最大应力低约 4%，r/t 越大误差越小。注意 p 取表压（gage pressure，高于大气压的部分），因为内外本来就都作用着大气压、相互抵消。

图：圆柱形储气罐采用半球形端盖而非平板端盖，以降低端部应力

圆柱形容器：环向应力是轴向应力的 2 倍

用纵向截面把圆筒切成两半、连同内部气体取脱离体，对 x 方向列平衡（壁内环向应力 σ₁，即 hoop stress，均匀作用于两条切缝上）：

$$2[{\sigma }_1(tdy)]-p(2rdy)=0⟹{\sigma }_1=\frac{pr}{t}$$

白话：气体把半边筒往外推的力 p×直径×长度，由两条壁厚截面 t×长度分担，得到”环向拉应力 = 压强×半径/壁厚”。

再用横向截面把筒”斩断”，对 y 方向平衡（纵向应力 σ₂，longitudinal stress，作用在整个环形壁截面 2πrt 上）：

$${\sigma }_2(2\pi rt)-p(\pi r^2)=0⟹{\sigma }_2=\frac{pr}{2t}$$

关键结论：σ₁ = 2σ₂——环向应力是纵向应力的两倍。所以卷板焊接的圆筒形压力容器，纵向焊缝（承受环向拉力）必须按两倍强度设计。也是这个原因：管子爆裂时裂缝总是沿纵向撕开——环向应力先到极限。

球形容器：各方向应力相同

对球体沿任意直径切半，同样列平衡：

$${\sigma }_2=\frac{pr}{2t}$$

球壁上任一点的任意两个互相垂直方向上应力都等于 pr/2t，是等轴拉伸（等双轴应力）。

局限性

壁内其实还有径向应力 σ₃：内壁处最大为 p，沿壁厚线性衰减到外壁为零。但 r/t ≥ 10 时 σ₃ 相对 σ₁、σ₂ 太小（分别小 10 倍和 5 倍），忽略不计。于是薄壁容器壁内单元体处于双轴应力状态。另外：受外压的薄壁容器失效形式往往不是材料压碎，而是屈曲（突然内瘪）。

常见坑：

1. r 用内半径：公式推导基于内半径 r（薄壁时中面半径与内半径近似相等），别拿外半径代。
2. 环向与纵向搞反：环向应力（绕圆周方向）是大的那个 σ₁ = pr/t；判断焊缝、裂纹方向时想清楚哪个方向”扛得多”。
3. 忘了 r/t ≥ 10 的前提：厚壁圆筒要用拉美公式（Lamé），薄壁公式会严重低估应力。
4. 叠加时漏掉载荷：容器上还有附加载荷（如顶部挂重、支座反力）时，纵向应力要代数相加。

例 1：圆柱 vs 球形，谁的容许压强大？（原书例 8.1）

圆柱容器内径 4 ft（r = 24 in）、壁厚 1/2 in，限制环向与纵向应力都不超过 20 ksi，求最大内压。

解：控制应力是环向（大者）：

$${\sigma }_1=\frac{pr}{t}:20=\frac{p(24)}{1/2}⟹p=417\text{ psi}$$

此时纵向应力仅 10 ksi，径向应力最大值 (σ₃)max = p = 417 psi，比环向小 48 倍，忽略。

同尺寸球形容器（r = 24 in、t = 1/2 in）：

$${\sigma }_2=\frac{pr}{2t}:20=\frac{p(24)}{2(1/2)}⟹p=833\text{ psi}$$

球形虽难制造，却能承受两倍内压——这正是储气球罐广泛使用的原因。

8.2 组合载荷下的应力状态：叠加原理

总体流程

要求材料均质、线弹性，且所分析的点远离截面突变和加载点（圣维南原理，Saint-Venant’s principle）。三步走：

1. 求内力：在待求点垂直轴线截开，用平衡方程求出该截面上的轴力 N、剪力 V、弯矩 M、扭矩 T。力过截面形心，矩绕形心主惯性轴计算；
2. 逐项算应力：每种内力对应一种基本应力分布：

内力	应力公式	分布特征
轴力 N	σ = N/A	均匀正应力
剪力 V	τ = VQ/(It)	切应力（中性轴最大，表面为零）
弯矩 M	σ = −My/I	线性变化正应力（直梁；曲梁用 σ = My/[Ae(R−y)]）
扭矩 T	τ = Tρ/J	线性变化切应力（圆轴，外表面最大）
内压 p（薄壁筒）	σ₁ = pr/t，σ₂ = pr/2t	双轴均匀拉伸
内压 p（薄壁球）	σ = pr/2t	等双轴拉伸

3. 叠加：把各分量代数相加（同方向的正应力相加减、同平面的切应力相加减），把结果画在一个微元体上或给出分布图。

图 8-3(a)：偏心拉伸构件——力不过形心时，等价于”过形心的轴力 + 绕形心的弯矩”

偏心载荷的”翻译技巧”

工程上最常见的组合是偏心拉伸/压缩：载荷不通过形心。处理技巧是把载荷向形心简化——平移后等于”一个过形心的轴力 N + 一个弯矩 M = P·e”（e 为偏心距）。例如原书例 8.2：150 lb 力作用在 10 in × 4 in 矩形截面边缘（偏心 5 in），截面上 N = 150 lb、M = 750 lb·in：

$${\sigma }_B=-\frac{N}{A}+\frac{Mc}{I}=-3.75+11.25=+7.5\text{ psi (拉)},{\sigma }_C=-3.75-11.25=-15\text{ psi (压)}$$

一个截面同时出现拉区和压区，零应力线位置可用比例三角形求出。

例 2：既有内压又挂重物的罐（原书例 8.3）

气罐内半径 24 in、壁厚 0.5 in（r/t = 48 ≥ 10，薄壁成立），内压 2 psi，顶部挂 1500 lb 重物，求 A 点应力状态。

解：

• 环向应力（只有内压贡献）：

$${\sigma }_1=\frac{pr}{t}=\frac{2\times 24}{0.5}=96\text{ psi}$$

• 纵向应力 = 内压拉伸 − 重物压缩（壁面积 A = π(24.5² − 24²) = 76.97 in²）：

$${\sigma }_2=-\frac{1500}{76.97}+\frac{2\times 24}{2\times 0.5}=-19.5+48=28.3\text{ psi}$$

A 点处于 σ₁ = 96 psi、σ₂ = 28.3 psi 的双轴拉伸状态。这个例子示范了”每种载荷管一个应力分量，最后代数相加”的核心思想。

例 3：弯扭组合的圆轴（原书例 8.6）

实心圆杆半径 0.75 in，自由端受 800 lb 力（作用点距截面 14 in、力臂 10 in），求截面 a-a 上 A 点（中性轴最外侧面点）的应力状态。

解：对该截面求内力：

$$V_z=800\text{ lb},M_x=800\times 10=8000\text{ lb⋅in},M_y=800\times 14=11200\text{ lb⋅in}$$

（Mx 使梁在竖直面内弯曲——A 点在中性轴上，弯曲正应力为零；My 是绕杆轴的扭矩 T。）

• 剪力切应力：A 点取半圆为 A′，Q = [4(0.75)/3π]·[½π(0.75)²] = 0.28125 in³，t = 2(0.75) = 1.5 in：

$$({\tau }_{yz}{)}_A=\frac{VQ}{It}=\frac{800\times 0.28125}{[\frac{1}{4}\pi (0.75{)}^4](1.5)}=0.604\text{ ksi}$$

• 弯矩正应力：A 在中性轴上 → σA = 0；
• 扭矩切应力：A 在外表面 ρ = c：

$$({\tau }_{yz}{)}_A=\frac{Tc}{J}=\frac{11200\times 0.75}{[\frac{1}{2}\pi (0.75{)}^4]}=16.90\text{ ksi}$$

• 叠加（两切应力同平面同向）：

$$({\tau }_{yz}{)}_A=0.604+16.90=17.5\text{ ksi}$$

A 点单元体只有切应力——这是”弯矩在正应力最大处为零、切应力最大处弯曲正应力为零”的互补关系的直接体现。若分析最外顶点，则是弯曲正应力与扭矩切应力并存。

图 8-7(a)：弯扭组合受载的圆杆例题

图 8-4(a)：内压加顶部挂载的气罐例题

延伸：截面核心与”三分中规则”

把偏心压缩的分析推到一般情形：矩形截面（宽 b、高 h）受偏心压力 P，偏心距 ey 沿 y 轴时，截面上最小压应力为：

$${\sigma }_{\min }=-\frac{P}{A}\left(1-\frac{A{e}_{y}h}{2I_x}\right)$$

要全截面不出现拉应力，只需括号内为正，代 A = bh、Ix = bh³/12 得：

$$e_y<\frac{1}{6}h$$

这就是三分中规则（middle-third rule）：偏心力作用在截面高度中间三分之一以内，截面不出现拉应力。沿两个方向推广，得到截面上一个菱形/平行四边形区域——截面核心（core or kern）：载荷作用在核心内，整个截面保持受压。这对石料、混凝土等几乎不能受拉的材料（柱、拱）至关重要。

图 8-8：偏心受压块体——求不产生拉应力的偏心距范围（三分中规则与截面核心）

常见坑：

1. 把不同点的应力相加：叠加只对同一个点进行。先锁定点（如”截面上最右侧点 A”），再逐项算该点的应力。
2. 符号混乱：建议统一约定”拉为正、压为负”，弯曲应力按点的位置（中性轴上方/下方）和弯矩方向判断正负，再代数相加。
3. 扭矩与弯矩混淆：力对杆轴的矩是扭矩 T（产生 τ = Tρ/J），对截面主轴的矩是弯矩 M（产生 σ = ±Mc/I）。空间问题里要在三个方向分别列 ΣM。
4. 剪力与扭矩切应力方向没对齐：二者可能同向（直接相加，如例 3）也可能反向（相减），必须画单元体比对方向。
5. 曲梁用直梁公式：曲率明显的构件（吊钩、C 形夹）弯曲应力分布非线性，要用曲梁公式。

通关标准：

1. 能默写并推导（至少复述推导思路）σ₁ = pr/t、σ₂ = pr/2t，说出”环向是纵向 2 倍”的工程含义；
2. 给一个偏心力，能立刻翻译成 N + M，并写出截面上任意点的合成正应力；
3. 熟练执行三步流程：求内力 → 逐项算应力 → 同点代数叠加并画单元体；
4. 会判断圆轴上哪一点正应力最大、哪一点切应力最大；
5. 会用三分中规则/截面核心判断偏心压缩是否产生拉应力。

自测：为什么圆形压力容器纵向焊缝比环向焊缝更容易出问题？

环向应力 σ₁ = pr/t 作用方向与纵向焊缝垂直（焊缝要把”被撕开的半边筒”拉住），它恰是大应力（为纵向的 2 倍）。所以纵向焊缝承受的应力更大，必须按 2 倍设计。实际爆破中管壁正是沿纵向撕裂。

自测：薄壁容器忽略了径向应力 σ₃，它真的不存在吗？多大、为何可以忽略？

存在。内壁处 σ₃ = −p（压），沿壁厚线性衰减到外壁为零。当 r/t ≥ 10 时，σ₃ 最大值仅为环向应力的 1/10、纵向的 1/5，对强度验算影响很小，故忽略；壁内近似按双轴应力处理。

自测：例 8.6 中 A 点为何只有切应力、没有弯曲正应力？

A 点位于截面的中性轴上。弯曲正应力按 σ = −My/I 线性分布，中性轴处 y = 0，故弯曲正应力为零；但该点距截面切缝最远面积最大，剪力切应力与扭矩切应力都最大（或较大），叠加后单元体上只剩切应力。

自测：一根等截面直杆，如何快速判断"弯拉组合"下哪个点应力最大？

弯曲正应力线性分布、轴力正应力均匀分布，二者代数和在”弯曲拉应力最大且轴力也为拉”的边缘点取最大值。即看弯矩使哪一侧受拉，再与轴力的符号对齐：同侧边缘点合成应力 = N/A + Mc/I。

自测：混凝土柱受偏心压力，为什么必须关注"截面核心"？

混凝土抗拉强度极低。若偏心压力落在核心之外，截面会出现拉应力区，可能开裂。载荷位于核心内（矩形截面即高度/宽度的中间三分之一内），全截面保持受压，裂缝风险最小。