第10章 应变变换：应变花与广义胡克定律

这一篇在干嘛？

上一章（第9章）我们学会了”应力变换”——换个方向看应力。这一章做同样的事，只是对象换成了应变（strain，材料单位长度的变形量）。更重要的是：工程中应力和弯矩往往没法直接测，但应变可以用应变片（strain gage）贴在构件表面测出来——本章教你如何把”测到的应变”反推成”应力状态”，并由此引出判断材料会不会坏的强度理论。

一、平面应变（Plane Strain）是什么

一个点的一般应变状态有 6 个分量：3 个正应变 ${ϵ}_x,{ϵ}_y,{ϵ}_z$（改变体积）和 3 个切应变 ${\gamma }_{xy},{\gamma }_{xz},{\gamma }_{yz}$（改变形状）。和应力一样，这 6 个分量依赖于单元体的取向，所以常常需要”变换”。

平面应变只考虑 3 个分量：${ϵ}_x,{ϵ}_y,{\gamma }_{xy}$，即变形只发生在一个平面内。

常见坑：平面应力 ≠ 平面应变

平面应力（只有 ${\sigma }_x,{\sigma }_y$）不会产生平面应变！因为泊松效应（Poisson effect，横向收缩效应）会派生一个 ${ϵ}_z\ne 0$。两者虽然都是”平面内的 3 个分量”，但概念完全不同。 不过没关系：表面不受载的点处于平面应力状态，我们仍可用平面应变分析来处理该表面上的应变片数据，只是要记住垂直方向藏着个 ${ϵ}_z$。

为什么要学它？ 实际中严格的平面应变很少见（材料很少被刚性面完全约束），但它是把应变片测量数据转换成平面应力的钥匙——这就是工程测试的核心流程。

二、平面应变变换方程

问题：已知某方向单元体的 ${ϵ}_x,{ϵ}_y,{\gamma }_{xy}$，求旋转 $\theta$ 角后新方向 $x^{\prime }-y^{\prime }$ 上的 ${ϵ}_{x^{\prime }},{ϵ}_{y^{\prime }},{\gamma }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}$。

符号约定（与应力变换完全一致）：

• 正应变：拉长为正；
• 切应变：使夹角 AOB 变小（小于 90°）为正；
• 角 $\theta$：从 x 轴逆时针转到 x’ 轴为正。

推导思路很简单：取一段沿 $x^{\prime }$ 方向的线段 $d{x}^{\prime }$，它在 x、y 轴上的投影为 $dx=d{x}^{\prime }\cos \theta$、$dy=d{x}^{\prime }\sin \theta$。三个应变分量分别让这段线”伸长一点点”，把贡献叠加再除以 $d{x}^{\prime }$，就得到变换方程（用倍角公式整理后的最终形式）：

$${ϵ}_{x^{\prime }}=\frac{{ϵ}_x+{ϵ}_y}{2}+\frac{{ϵ}_x-{ϵ}_y}{2}\cos 2\theta +\frac{{\gamma }_{xy}}{2}\sin 2\theta \text{\hspace{1em}(10-5)}$$

白话：新方向的正应变 = 平均值 + “拉平项”（随 $2\theta$ 余弦摆动）+ “切应变贡献项”。

把 $\theta$ 换成 $\theta +90°$ 即得 $y^{\prime }$ 方向的 ${ϵ}_{y^{\prime }}$（式 10-7）：摆动项全部反号。

$$\frac{{\gamma }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}}{2}=-\left(\frac{{ϵ}_x-{ϵ}_y}{2}\right)\sin 2\theta +\frac{{\gamma }_{xy}}{2}\cos 2\theta \text{\hspace{1em}(10-6)}$$

白话：注意切应变带着系数 1/2 进出方程，这是它与应力公式 ${\tau }_{xy}$ 对应的地方。

与第 9 章应力变换的对应关系（背下来，两章公式一套通用）：

应力变换	应变变换
${\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_{x^{\prime }},{\sigma }_{y^{\prime }}$	${ϵ}_x,{ϵ}_y,{ϵ}_{x^{\prime }},{ϵ}_{y^{\prime }}$
${\tau }_{xy},{\tau }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}$	${\gamma }_{xy}/2,{\gamma }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}/2$

所以主应变、最大切应变的公式也可以照抄应力那套，只是把对应量替换：

主应变（principal strains，没有切应变伴随的方向上的正应变）：

$$\tan 2{\theta }_p=\frac{{\gamma }_{xy}}{{ϵ}_x-{ϵ}_y}\text{\hspace{1em}(10-8)}$$ $${ϵ}_{1,2}=\frac{{ϵ}_x+{ϵ}_y}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{{ϵ}_x-{ϵ}_y}{2}\right)}^2+{\left(\frac{{\gamma }_{xy}}{2}\right)}^2}\text{\hspace{1em}(10-9)}$$

面内最大切应变及其伴随的平均正应变：

$$\tan 2{\theta }_s=-\left(\frac{{ϵ}_x-{ϵ}_y}{{\gamma }_{xy}}\right)\text{\hspace{1em}(10-10)}$$ $$\frac{{\gamma }_{\text{in-plane}}^{\max }}{2}=\sqrt{{\left(\frac{{ϵ}_x-{ϵ}_y}{2}\right)}^2+{\left(\frac{{\gamma }_{xy}}{2}\right)}^2}\text{\hspace{1em}(10-11)}$$ $${ϵ}_{\text{avg}}=\frac{{ϵ}_x+{ϵ}_y}{2}\text{\hspace{1em}(10-12)}$$

常见坑

1. ${\theta }_p$ 和 ${\theta }_s$ 相差 45°（因为 $\tan 2{\theta }_s$ 是 $\tan 2{\theta }_p$ 的负倒数），别算完主方向忘了这层关系。
2. 由式 (10-8) 解出的 $2{\theta }_p$ 有两个相差 180° 的解，哪个方向对应 ${ϵ}_1$ 哪个对应 ${ϵ}_2$，必须代回式 (10-5) 验证，不能想当然。
3. 应变单位是 $\mu$（即 $10^{-6}$，微应变），全程带着 $10^{-6}$ 计算别丢。

例题 1：求主应变（原书例 10.2）

题目：某点平面应变 ${ϵ}_x=-350(10^{-6})$，${ϵ}_y=200(10^{-6})$，${\gamma }_{xy}=80(10^{-6})$。求主应变及其方向。

解：

第一步，定方向。由式 (10-8)：

$$\tan 2{\theta }_p=\frac{80}{-350-200}=\frac{80(10^{-6})}{-550(10^{-6})}$$

解得 $2{\theta }_p=-8.28°$ 和 $171.72°$，即 ${\theta }_p=-4.14°$ 与 $85.9°$。

第二步，算数值。由式 (10-9)：

$${ϵ}_{1,2}=\frac{(-350+200)}{2}(10^{-6})\pm \left[\sqrt{{\left(\frac{-550}{2}\right)}^2+{\left(\frac{80}{2}\right)}^2}\right](10^{-6})$$ $$=-75.0(10^{-6})\pm 277.9(10^{-6})$$ $${ϵ}_1=203(10^{-6}),{ϵ}_2=-353(10^{-6})$$

第三步，定归属。把 $\theta =-4.14°$ 代回式 (10-5) 得 ${ϵ}_{x^{\prime }}=-353(10^{-6})={ϵ}_2$，说明 $-4.14°$ 方向对应的是压主应变。

三、应变莫尔圆（Mohr’s Circle for Strain）