第07章 横向剪切：梁中的切应力与切力流

这一篇在干嘛？

第 6 章的弯曲公式解决了梁”正应力”的问题，但梁受横向载荷时截面上还有切应力。本章教你用切应力公式 τ = VQ/(It) 算出梁内切应力，并延伸出两个工程上极实用的工具：切力流 q = VQ/I（用于设计钉子、螺栓、焊缝、胶层的间距）和剪切中心（找到加载才不会让梁”拧麻花”的位置）。

7.1 直杆中的剪切：梁为什么会”想滑开”

梁受横向载荷时，横截面上同时存在弯矩 M 和剪力 V。剪力 V 就是横截面上切应力分布的合力（transverse shear，横向剪切）。

由于切应力互等定理（complementary property of shear：一点上互相垂直的两个面上，切应力大小相等、方向指向或背离棱边），横截面上的竖向切应力必然伴随着沿梁纵向的纵向切应力——后者才是本章很多现象的”幕后主角”。

一个直观的思想实验：把三块不粘在一起的木板叠起来当梁用，加载后弯曲时三块板会互相错动（顶层板相对中间板滑移）；但如果把它们粘牢，粘接面上的纵向切应力就会阻止滑移，整根梁像一个整体一样工作。这就是为什么组合梁需要钉子、螺栓、焊缝或胶——它们的任务就是”对抗滑移”。

图 7-1：梁横截面上的切应力分布，其合力即剪力 V

图 7-2：三块板叠合梁——不粘接则各板独立弯曲并相对滑移；粘接后靠纵向切应力共同工作

切应力还会带来剪切应变，使横截面发生翘曲（warping）：在易变形材料上画好网格，施加剪力 V 后竖线不再竖直，横截面不再保持平面。这打破了第 6 章弯曲公式”平面假设”的前提——不过对细长梁（高度远小于长度），翘曲的影响很小，弯曲公式依然够用。

7.2 切应力公式 τ = VQ/(It)

推导思路：只做水平方向受力平衡

切应变的分布很复杂，无法像拉压、扭转、弯曲那样从应变出发直接推导。Hibbeler 的做法是绕道走：取梁上一小段微元，对它”上半块”做水平方向力平衡。

微元两端分别作用弯矩 M 和 M + dM（竖向的剪力 V、V + dV 和分布载荷 w(x) 不参与水平平衡，直接忽略）。从微元中在距中性轴 y′ 处水平切开，取顶部块体分析（面积 A′，切缝处宽度 t）：两端正应力的合力因 dM 而相差一小量，必须有纵向切应力 τ 作用在切缝面上才能平衡。假设 τ 沿宽度 t 均匀分布，代入弯曲公式 σ = My/I，得：

$$\sum F_x=0:\left(\frac{dM}{I}\right){\int }_{A^{\prime }}yd{A}^{\prime }=\tau (tdx)$$

白话：两端弯矩不同 → 两端正应力合力不同 → 差额必须由切缝上的纵向切应力补上。注意 $V=dM/dx$，而积分 ${\int }_{A^{\prime }}yd{A}^{\prime }$ 正是 A′ 对中性轴的静矩，记作 Q：

$$Q={\int }_{A^{\prime }}yd{A}^{\prime }={\bar{y}}^{\prime }{A}^{\prime }$$

Q（第一次静矩，first moment of area）= A′ 的形心到中性轴的距离 ȳ′ 乘以 A′ 的面积。最终得到切应力公式（shear formula）：

$$\tau =\frac{VQ}{It}$$

白话：某点的切应力 = 剪力 × 该点以上（或以下）面积对中性轴的静矩 ÷（整个截面对中性轴的惯性矩 × 该点处截面宽度）。

各量含义（务必分清”整个截面”与”局部面积 A′”）：

符号	含义
τ	距中性轴 y 处点的切应力，假定沿宽度 t 均匀分布（平均值）
V	该截面剪力，由截面法+平衡方程求出
I	整个截面对中性轴的惯性矩
t	待求点处截面的宽度（不是厚度方向！）
Q = ȳ′A′	A′ 是切缝以上（或以下）部分面积，ȳ′ 是 A′ 形心到中性轴的距离

图 7-5：切应力公式中各几何量的定义

Q 怎么算：抓住”被抱着的那块面积”

Q 是初学者最容易出错的地方。诀窍：A′ 就是”靠纵向切应力抱住梁其余部分”的那块面积——在待求点处水平切一刀，取刀口以上或以下的部分（两者算出的 Q 相同，取好算的那个）。图中 P 点处深色阴影即 A′：

图 7-6：不同截面形状下求 P 点切应力时 A′ 的取法（深色区域），下方标注各图的 Q

若 A′ 由几块矩形组成，则 $Q=\sum {\bar{y}}_i^{\prime }{A}_i^{\prime }$（各块分别算静矩再相加）。

切应力在截面上怎么分布

对矩形截面（宽 b、高 h），在距中性轴 y 处取 A′ 可算得：

$$\tau =\frac{6V}{b{h}^3}\left(\frac{h^2}{4}-y^2\right)$$

这是关于 y 的抛物线分布：上下表面（y = ±h/2）切应力为零，中性轴处最大。代入 y = 0（此时 A′ = bh/2，ȳ′ = h/4）得：

$${\tau }_{\max }=1.5\frac{V}{A}$$

白话：矩形截面最大切应力在中性轴，等于平均切应力 V/A 的 1.5 倍。把 τ 沿截面积分，结果恰好等于 V，验证了公式的自洽性。顺便一提：τmax 同样作用在梁的纵向——木梁常在支座附近沿中性轴水平劈裂，就是因为木材顺纹抗剪能力弱。

对工字形（宽翼缘）截面，切应力几乎全部由腹板（web）承担，且沿腹板高度近乎均匀（例如从 22.6 MPa 到 25.2 MPa）。因此有些设计规范允许用腹板平均切应力代替切应力公式：

$${\tau }_{\text{avg}}=\frac{V}{A_w}(A_w\text{ 为腹板面积})$$

公式的适用边界（重要！）

切应力公式的核心假设是”切应力沿宽度 t 均匀分布”。以下情况不适用或误差大：

• 又短又扁的截面：矩形截面 b/h = 0.5 时误差仅约 3%，但 b/h = 2（扁平板）时真实最大切应力比公式值大约 40%；
• 截面突然变化处：如翼缘与腹板交界处有应力集中，公式算不准；
• 切缝不垂直于边界：边界上材料外表面无切应力，切应力必须与边界相切；只有切缝线与边界切线正交（90°）的位置才能用公式。

图 7-8：工字形截面翼缘内的切应力分布复杂，公式在此不可靠；但中性轴处腹板细长，公式结果接近真实值

图 7-9：不规则边界截面——只有与边界切线正交的切缝（图中蓝线）才能套用切应力公式

常见坑：

1. Q 用错面积：Q 只取切缝以上或以下的局部面积 A′，不是整个截面；而 I 必须用整个截面。别把两者搞混。
2. t 取错位置：t 是待求点处截面的宽度。工字形腹板上某点与翼缘上同高度点，Q 相同但 t 相差 20 倍，τ 也差 20 倍。
3. 以为翼缘正应力公式处处适用：切应力公式在翼缘上、截面突变处、不垂直边界的切缝上都不可靠。
4. 忘记中性轴位置：T 形、L 形等非对称截面必须先求形心定中性轴，I 和 ȳ′ 都从中性轴量起。

解题流程

1. 内力：在待求点处垂直梁轴截开，求剪力 V；
2. 截面性质：定中性轴位置 → 算整个截面的 I → 在待求点水平切一刀，量宽度 t，取 A′ 算 Q = ȳ′A′；
3. 应力：统一单位代入 τ = VQ/(It)。方向判断：横截面上 τ 与 V 同向，再由切应力互等补全单元体四个面。

例题精选

例 1：胶缝的切应力（原书例 7.1）

两块木板粘成 T 形截面梁（下板 30 mm × 150 mm 竖放，上板 150 mm × 30 mm 横放，全高 180 mm），梁内最大剪力 V = 19.5 kN。求胶缝处需要的切应力。

解：先以底边为参考轴求形心：

$$\bar{y}=\frac{(0.075)(0.150)(0.030)+(0.165)(0.030)(0.150)}{(0.150)(0.030)+(0.030)(0.150)}=0.120\text{ m}$$

对中性轴的惯性矩（各块用平行移轴定理）：

$$I=\left[\frac{1}{12}(0.030)(0.150{)}^3+(0.150)(0.030)(0.045{)}^2\right]+\left[\frac{1}{12}(0.150)(0.030{)}^3+(0.030)(0.150)(0.045{)}^2\right]=27.0(10^{-6}){\text{ m}}^4$$

胶缝处 t = 0.03 m，A′ 取上板（被胶”抱住”的部分）：

$$Q={\bar{y}}^{\prime }{A}^{\prime }=(0.180-0.015-0.120)(0.03)(0.150)=0.2025(10^{-3}){\text{ m}}^3$$

代入公式：

$${\tau }_{\max }=\frac{VQ}{It}=\frac{19.5(10^3)\times 0.2025(10^{-3})}{27.0(10^{-6})\times 0.030}=4.88\text{ MPa}$$

图 7-10：例题配图——剪力图、截面尺寸与胶缝处切应力分布

例 2：工字形截面切应力分布（原书例 7.3）

钢制宽翼缘梁：翼缘 300 mm × 20 mm，腹板 15 mm × 200 mm，全高 240 mm，承受剪力 V = 80 kN。绘制截面切应力分布。

解：对中性轴的惯性矩：

$$I=\frac{1}{12}(0.015)(0.200{)}^3+2\left[\frac{1}{12}(0.300)(0.020{)}^3+(0.300)(0.020)(0.110{)}^2\right]=155.6(10^{-6}){\text{ m}}^4$$

• B′ 点（翼缘内，紧邻腹板侧面）：t = 0.300 m，A′ 为一块翼缘：

$$Q_{B^{\prime }}=(0.110)(0.300)(0.020)=0.660(10^{-3}){\text{ m}}^3,{\tau }_{B^{\prime }}=1.13\text{ MPa}$$

• B 点（腹板内，紧邻翼缘下表面）：t = 0.015 m，Q 不变 → τ 突跳：

$${\tau }_B=\frac{80(10^3)\times 0.660(10^{-3})}{155.6(10^{-6})\times 0.015}=22.6\text{ MPa}$$

• C 点（中性轴）：A′ = 翼缘 + 半块腹板：

$$Q_C=(0.110)(0.300)(0.020)+(0.05)(0.015)(0.100)=0.735(10^{-3}){\text{ m}}^3$$ $${\tau }_{\max }=\frac{80(10^3)\times 0.735(10^{-3})}{155.6(10^{-6})\times 0.015}=25.2\text{ MPa}$$

结论：切应力集中在腹板内且接近均匀（22.6 → 25.2 MPa），腹板平均应力 V/Aw = 26.7 MPa 与之接近。注意 B′ 与 B 两点的公式值其实都不可靠（t 突变处有应力集中），但腹板中性轴处的 25.2 MPa 很接近真实最大值。

7.3 组合截面梁的切力流与连接件间距

工程中常用几块板/型钢”拼装”成梁（built-up member），靠钉子、螺栓、焊缝或胶层传递纵向切力。把每单位长度上需要传递的纵向剪切力称为切力流（shear flow）：

$$q=\frac{VQ}{I}$$

白话：切应力公式去掉分母里的 t，得到的 q 单位是 N/m（力/长度）——它就是”每米梁长上，接缝要扛多少牛的纵向剪切力”。

连接件间距：若每个紧固件能承受最大剪力 F，间距为 s，则 s 长度内的切力流全部由该紧固件承担：

$$F=qs⟹s=\frac{F}{q}$$

注意接缝两侧各有紧固件时（如箱形梁的一条接缝由两边钉子共同分担），q 要除以承担的紧固件数。

图 7-18：箱形组合梁——四块板钉接，B、C 处钉子分担各自的切力流

例 3：箱形梁的钉子间距（原书例 7.5）

箱形梁由四块板钉成：外轮廓 7.5 in × 7.5 in，内空 4.5 in × 4.5 in（板厚 1.5 in），每个钉子最大承剪 30 lb，梁承受剪力 V = 80 lb。求 B 处（侧面竖缝）和 C 处（顶板水平缝）钉子的最大间距。

解：截面惯性矩用大正方形减小正方形：

$$I=\frac{1}{12}(7.5)(7.5{)}^3-\frac{1}{12}(4.5)(4.5{)}^3=229.5{\text{ in}}^4$$

B 处：取与 B 缝相连的”对称”部分（半块顶板）为 A′：

$$Q_B=(3)(7.5)(1.5)=33.75{\text{ in}}^3,q_B=\frac{80\times 33.75}{229.5}=11.76\text{ lb/in}$$

C 处：A′ 为半块顶板的一半（对称部分）：

$$Q_C=(3)(4.5)(1.5)=20.25{\text{ in}}^3,q_C=\frac{80\times 20.25}{229.5}=7.06\text{ lb/in}$$

每条缝有两面钉子分担，故每个钉子只需承担 q·s/2：

$$s_B=\frac{30}{11.76/2}=5.10\text{ in}\Rightarrow \text{取 }{s}_B=5\text{ in},s_C=\frac{30}{7.06/2}=8.50\text{ in}$$

7.4 薄壁截面的切力流分布

对薄壁截面（壁厚远小于截面高/宽），可以描绘 q 沿整个截面”流动”的图像。取工字形的翼缘分析，设翼缘上距中线 x 处的微段，Q = (d/2)(b/2 − x)t，得：

$$q=\frac{Vtd}{2I}\left(\frac{b}{2}-x\right)$$

白话：翼缘上 q 从自由边（x = b/2）的零线性增大到腹板交界处的最大值 Vtdb/4I。腹板上则相反，q 沿高度呈抛物线变化，在中性轴最大。

三条黄金规律：

1. 垂直于 V 的壁段（水平翼缘）：q 沿段长线性变化；
2. 平行/倾斜于 V 的壁段（腹板）：q 沿段长抛物线变化；
3. q 永远沿壁面方向流动，且整体”流向”使得截面各段切力流的合力恰好等于 V、水平方向自平衡——想象切力流从上翼缘两端向内汇入腹板、向下流过腹板、再在下翼缘向外分流。

图 7-21(d)：工字形薄壁截面的切力流分布——翼缘线性、腹板抛物线

图 7-23(a)：薄壁箱形截面梁例题

例：箱形截面（原书例 7.7）——薄壁箱梁受剪力 V = 10 kip，中线尺寸：宽 5 in、高 7 in、壁厚 1 in。用中线尺寸算惯性矩 I = 179.7 in⁴。顶板中点 q = 0（A′ 的 ȳ′ = 0）；角点处对称分担；腹板中性轴处最大 q = 0.828 kip/in。分布呈”从两顶角汇入、沿腹板下流、向两底角分出”的闭环图像。

7.5 开口薄壁截面的剪切中心

把力 P 加在槽钢形心上会怎样？梁不仅向下弯，还会扭转。原因：翼缘上的切力流合力 Ff 与腹板合力 V 三者对某点取矩不平衡，翼缘力形成的力偶把梁”拧”了。

要让梁只弯不扭，必须把 P 作用在一个特殊点——剪切中心（shear center，也叫弯曲中心）O 上，使 P 的力矩恰好抵消翼缘切力合力 Ff 的力矩：

$$e=\frac{F_{f}d}{P}(P=V)$$

图 7-24：槽钢——载荷过形心 C 时梁弯扭组合变形；过剪切中心 O 时只弯不扭

剪切中心的三条性质：

• 总在对称轴上；若截面有两根对称轴（如工字形），剪切中心与形心重合；
• 位置只与截面几何有关，与载荷大小无关；
• 对开口薄壁截面（槽钢、角钢等）尤为重要，设计手册会给出常见截面的剪切中心位置。

求法：画出各壁段切力流合力（翼缘力 Ff、腹板力 V），选一个让尽量多力的矩为零的点取矩，令 ΣM_A = 0 解出偏心距 e。

例：等边角钢（原书例 7.9）——等肢角钢受竖向剪力 V 时，两肢切力合力的作用线相交于肢背角点 O，两力对 O 的矩皆为零，所以剪切中心就在角点 O。每肢的合力可积分求得 F = V/√2（两肢竖向分量之和恰为 V，水平分量相消）。

常见坑：

1. 薄壁截面要用中线尺寸：算 I 和 Q 时按壁厚中线量取尺寸，忽略”投影到中线”带来的小差异，别用外轮廓尺寸。
2. 两条接缝只算一次 q 却忘了分担：q 是整条接缝单位长度的切力流，若接缝由两侧钉子/两道胶缝分担，每个紧固件只承担 q/2。
3. 翼缘端部 q 应为零却算出非零：线性分布的起点是自由边，检查你的 Q 是否从自由边开始累积。
4. 剪切中心想当然放在形心：只有双对称截面二者才重合，槽钢、角钢都不是。

通关标准：

1. 能默写 τ = VQ/(It) 与 q = VQ/I，说清每个字母”取整个截面还是局部面积”；
2. 给任意组合截面，能快速正确地写出待求点的 A′、ȳ′、t 并算出 Q；
3. 知道矩形截面 τmax = 1.5V/A 在中性轴、工字形切应力集中在腹板；
4. 会用 F = qs 设计钉子/螺栓间距，会处理多缝分担问题；
5. 能徒手画出工字形/箱形截面的切力流”流向图”（翼缘线性、腹板抛物线）；
6. 会用取矩法求槽钢的剪切中心偏心距 e。

自测：为什么梁的切应力公式要从"纵向"平衡推导，而不是直接从竖向平衡？

因为竖向上 V 与 τ 的关系只知道合力，分布未知；而纵向取微元上半块时，两端弯矩差 dM 造成的正应力合力差必须由切缝上的纵向切应力平衡，且正应力可由弯曲公式精确算出——这就间接锁定了切应力。再由切应力互等定理，纵向切应力数值上等于横截面上的横向切应力。

自测：矩形截面梁 τmax = 1.5V/A，那"平均切应力 V/A"是什么？二者为何差 50%？

V/A 假设切应力在截面上均匀分布（这只在粗略估算或规范简化时用）。真实分布是抛物线：上下表面为零、中性轴最大，抛物线下的”胖肚子”使峰值达到平均值的 1.5 倍。

自测：工字形截面在翼缘-腹板交界处，切应力为什么会"突跳"（如 1.13 MPa → 22.6 MPa）？这个数值可信吗？

因为 Q 不变而 t 从翼缘宽 0.300 m 跳到腹板厚 0.015 m，τ 与 t 成反比故突跳约 20 倍。但交界处截面突然变化、存在应力集中，且翼缘内切应力沿宽度并非均匀，所以这两个具体数值其实都不可信；公式在中性轴附近（细长腹板）的结果才接近真实。

自测：一条竖缝两侧各有一排钉子，钉间距 s 怎么定？若再加一条水平缝呢？

每侧钉子分担 q/2，故 s = F/(q/2) = 2F/q。水平缝要单独用与它相连的那块板的 A′ 重新算 Q 和 q，再按分担数定间距——不同接缝的 Q 不同，不能共用。

自测：为什么槽钢的剪切中心不在形心，而在腹板外侧某一距离 e 处？

槽钢只有一个对称轴。切力流在两翼缘形成的水平合力 Ff 大小相等、方向相反、作用线相距 d（翼缘高度间距），构成一个力偶；腹板合力 V 过形心竖直向下。要使加载线不产生扭转力矩，载荷必须作用在使 V·e = Ff·d 的位置，即腹板外侧偏心 e = Ff·d/V 处——这一点就是剪切中心。