第06章 弯曲：梁的正应力与截面设计

这一篇在干嘛？

梁受横向载荷时内部会产生弯矩 $M$，弯矩在横截面上引起正应力 $\sigma$。这一章先回顾剪力图/弯矩图画法，再推导弹性弯曲的核心公式 $\sigma =Mc/I$，最后处理不对称弯曲、组合材料梁、曲梁、应力集中和塑性弯曲等工程实际情形。目标是：给你任一根梁，你能算出它最危险处的弯曲应力，并据此设计截面。

6.1 剪力图与弯矩图回顾

梁的分类与符号约定

垂直于轴线承受载荷的细长杆件称为梁（beam）。按支承方式分为：简支梁（simply supported，一端铰支一端滚支）、悬臂梁（cantilevered，一端固定一端自由）、外伸梁（overhanging，端部伸出支座之外）。

图 6-1 梁的三种常见支承形式（正内力矩下的符号约定）

设计梁时必须知道剪力 $V$ 和弯矩 $M$ 沿轴线如何变化，才能找到最大值位置。做法是：把 $V$、$M$ 写成位置坐标 $x$ 的函数并绘图，即剪力图和弯矩图。载荷不连续处（集中力、集中力偶、分布载荷起止点）函数会突变或斜率突变，因此要在每两个不连续点之间分段设立坐标（如 $x_1,x_2,x_3$ 各管一段）。

图 6-3 梁的正负号约定：分布载荷向上为正；剪力使微段顺时针转动为正；弯矩使顶部纤维受压（“能盛水”）为正

解题流程：

1. 求支座反力，分解到垂直/平行梁轴方向；
2. 分段取 $x$，在每段内截开梁、画 left segment 的受力图，$V$ 和 $M$ 按正方向画出；
3. 对截开端列 $\Sigma F_y=0$ 求 $V$；对截开端列 $\Sigma M=0$ 求 $M$（对截面取矩可消去 $V$）；
4. 逐段绘制 $V$-$x$、$M$-$x$ 图，正值画在轴上方。

6.2 画剪力弯矩图的图形法（载荷-剪力-弯矩关系）

函数法在载荷复杂时很繁琐，更快的办法是基于两组微分关系。对梁上无集中载荷处取微段 $\Delta x$，由平衡方程取极限得：

$$\frac{dV}{dx}=w$$

剪力图的斜率 = 分布载荷集度（$w$ 向上为正）。白话：载荷越密、方向朝下，剪力图就往下斜得越快。

$$\frac{dM}{dx}=V$$

弯矩图的斜率 = 剪力。白话：剪力为正的地方弯矩图上坡，剪力为零的地方弯矩取极值——这是找 $M_{\max }$ 的关键。

把两式积分，得到面积法：

$$\Delta V=\int wdx\Delta M=\int Vdx$$

即：两点间剪力的变化 = 该区间载荷图的面积；弯矩的变化 = 该区间剪力图的面积。

图 6-9 由 $w$ 的分布推断 $V$ 图斜率、再由 $V$ 推断 $M$ 图斜率

在集中力和集中力偶作用点处：

$$\Delta V=F\Delta M=M_0$$

集中力 $F$ 向上则剪力图向上跳 $F$；集中力偶 $M_0$ 顺时针则弯矩图向上跳 $M_0$。

一个重要的规律：若 $w$ 是 $n$ 次曲线，则 $V$ 是 $n+1$ 次、$M$ 是 $n+2$ 次。均布载荷（0 次）→ 剪力线性 → 弯矩抛物线；三角形载荷（1 次）→ 剪力抛物线 → 弯矩三次曲线。

常见坑：

• $V=0$ 处才是弯矩极值点，别把弯矩图画成对称或想当然；
• 集中力偶处弯矩图跳变、但剪力图不受影响；集中力处剪力图跳变、弯矩图只变斜率不跳变；
• 用面积法求 $\Delta M$ 时，剪力图面积有正负（轴上方为正、下方为负），直接累加别漏符号；
• 分段坐标 $x$ 的原点始终放在梁左端，表达式只在所属区段内有效。

例题 1（原书例 6.1） 梁左端受向上反力 $6\mathrm{kN}$，全跨作用向下的分布载荷 $w=3kN/m$。取左段长 $x$，分布载荷合力为 $3x\mathrm{kN}$、作用在 $x/2$ 处：

$$+\uparrow \Sigma F_y=0:6-3x-V=0\Rightarrow V=(6-3x)\mathrm{kN}$$ $$\Sigma M=0:-6x+3x\cdot \frac{x}{2}+M=0\Rightarrow M=(6x-1.5x^2)\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$$

令 $V=0$ 得 $x=2\mathrm{m}$，此处弯矩最大：

$$M_{\max }=6(2)-1.5(2{)}^2=6\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$$

这就是”剪力为零处弯矩取极值”的经典应用。

6.3 弯曲变形的几何描述

现在进入本章核心：弯矩在截面上产生什么样的应力？先从变形几何入手。

考虑对称截面的直棱柱梁，弯矩作用在对称面内。在梁表面画网格线，加弯矩后：水平线变成曲线，竖直线保持直线只发生转动；底部纤维被拉长、顶部被压缩。两者之间必存在一层长度不变的表面——中性面（neutral surface），它与横截面的交线即中性轴（neutral axis，记 z 轴）。

图 6-18 中性面沿梁轴方向，中性轴是其与横截面的交线

橡胶梁弯曲：顶层拉伸、底层压缩、中间层长度不变，竖线转动但仍保持直线

三条基本假设：

1. 中性面上的纵向轴线长度不变，弯矩使其弯成位于纵向对称面内的曲线；
2. 变形后横截面仍保持平面，且垂直于纵向轴线（平面假设，这是整个理论的基石）；
3. 忽略泊松效应引起的横向变形，截面形状不变。

设微段 $\Delta x$（位于中性面上）变形后曲率半径为 $\rho$，距中性轴 $y$ 处的纤维 $\Delta s$ 变形后长度为 $(\rho -y)\Delta \theta$，而 $\Delta x=\rho \Delta \theta$。按应变定义代入：

$$ϵ=\underset{\Delta \theta \to 0}{\lim }\frac{(\rho -y)\Delta \theta -\rho \Delta \theta }{\rho \Delta \theta }⟹ϵ=-\frac{y}{\rho }\text{\hspace{1em}(6–7)}$$

纵向正应变沿截面高度线性变化：$y$ 为正（中性轴上方）时 $ϵ$ 为负（压缩），下方拉伸。最外纤维 $y=c$ 处应变最大 ${ϵ}_{\max }=c/\rho$，于是：

$$ϵ=-\left(\frac{y}{c}\right){ϵ}_{\max }\text{\hspace{1em}(6–8)}$$

图 6-22 应变在中性轴处为零，向最外纤维线性增大

注意：这个线性结论只依赖几何假设，与材料是否弹性无关——后面塑性弯曲还会用到它。

6.4 弯曲公式（Flexure Formula）

若材料线弹性，由胡克定律 $\sigma =Eϵ$，应力分布与应变一样线性：

$$\sigma =-\left(\frac{y}{c}\right){\sigma }_{\max }\text{\hspace{1em}(6–9)}$$

中性轴上方受压、下方受拉，中性轴处应力为零。

图 6-24 弯曲应力分布：中性轴处为零，最外纤维最大

中性轴的位置：截面上应力合力必须为零（纯弯曲无轴力）：

$$0={\int }_A\sigma dA=\frac{-{\sigma }_{\max }}{c}{\int }_{A}ydA⟹{\int }_{A}ydA=0\text{\hspace{1em}(6–10)}$$

即截面对中性轴的一次矩（静矩）为零——只有形心轴满足，所以中性轴必通过截面形心。

弯矩与应力的关系：应力分布对中性轴取矩之和应等于内力矩 $M$：

$$M={\int }_{A}y(\sigma dA)=\frac{{\sigma }_{\max }}{c}{\int }_A{y}^{2}dA\text{\hspace{1em}(6–11)}$$

其中 ${\int }_A{y}^{2}dA$ 正是截面对中性轴的惯性矩 $I$。解出 ${\sigma }_{\max }$：

$${\sigma }_{\max }=\frac{Mc}{I}\text{\hspace{1em}(6–12)}$$

距中性轴任意 $y$ 处：

$$\sigma =-\frac{My}{I}\text{\hspace{1em}(6–13)}$$

符号含义与适用条件：

• $\sigma$：弯曲正应力（拉为正），单位 Pa / psi；
• $M$：截面内弯矩，由截面法平衡求得，单位 N·m；
• $c$：中性轴到最远纤维的垂直距离，单位 m；
• $I$：截面对中性轴（形心轴）的惯性矩，单位 m⁴；
• 适用条件：直梁、均质材料、线弹性、对称截面、弯矩作用在对称面内。轻微锥度梁可保守使用（15° 锥度误差仅约 5.4%）。

常用惯性矩：矩形 $I=b{h}^3/12$（$h$ 为弯曲方向的高度）；圆形 $I=\pi d^4/64$；组合截面用平行轴定理 $I=\Sigma (\bar{I}+A{d}^2)$。

解题三步：① 截面法求内力矩 $M$（求绝对最大应力需先画弯矩图找 $M_{\max }$）；② 算 $I$；③ 定 $y$ 或 $c$，代入公式。

例题 2（原书例 6.12） 简支梁，跨中最大弯矩 $M=22.5\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$。工字形截面：上下翼缘 $250\mathrm{mm}\times 20\mathrm{mm}$，腹板 $20\mathrm{mm}\times 300\mathrm{mm}$，总高 $340\mathrm{mm}$（形心在半高）。用平行轴定理分三块计算：

$$I=2\left[\frac{1}{12}(0.25)(0.02{)}^3+(0.25)(0.02)(0.16{)}^2\right]+\frac{1}{12}(0.02)(0.30{)}^3=301.3\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^4$$

最远纤维 $c=0.170\mathrm{m}$：

$${\sigma }_{\max }=\frac{Mc}{I}=\frac{22.5\times 10^3\times 0.170}{301.3\times 10^{-6}}=12.7\mathrm{MPa}$$

点 B 处 $y_B=150\mathrm{mm}$（位于腹板、受压侧）：

$${\sigma }_B=-\frac{M{y}_B}{I}=-\frac{22.5\times 10^3\times 0.150}{301.3\times 10^{-6}}=-11.2\mathrm{MPa}$$

例题 3（原书例 6.14） 矩形截面（$60\mathrm{mm}\times 30\mathrm{mm}$）梁承受 $M=40\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$。无肋时 $c=0.015\mathrm{m}$，$I=0.135\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^4$：

$${\sigma }_{\max }=\frac{40\times 0.015}{0.135\times 10^{-6}}=4.44\mathrm{MPa}$$

若在底部加两条小肋（$10\mathrm{mm}\times 5\mathrm{mm}$），形心下移至 $\bar{y}=0.01592\mathrm{m}$，故 $c=0.035-0.01592=0.01908\mathrm{m}$，$I=0.1642\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^4$：

$${\sigma }_{\max }=\frac{40\times 0.01908}{0.1642\times 10^{-6}}=4.65\mathrm{MPa}$$

反直觉的结论：加了材料最大应力反而变大——因为肋把形心拉离原来的对称位置，$c$ 增大的比例超过了 $I$ 的增大。这提醒我们：加固截面不等于减小应力，形心位置的变化可能帮倒忙。

6.5 不对称弯曲（Unsymmetric Bending）

弯曲公式要求弯矩沿截面的惯性主轴作用。若截面有对称轴，主轴就是对称轴及其垂线；任意形状的主轴可用附录 A 的转轴公式求出。Z 形、角形等无对称轴截面在轻型钢结构屋面中很常见，必须先确定主轴。

弯矩 $M$ 不沿主轴作用时，先沿主轴分解为 $M_z=M\cos \theta$、$M_y=M\sin \theta$（$\theta$ 自 $+z$ 主轴量向 $+y$ 主轴），再用叠加原理：

$$\sigma =-\frac{M_{z}y}{I_z}+\frac{M_{y}z}{I_y}\text{\hspace{1em}(6–17)}$$

• $I_z,I_y$：分别关于最大、最小主惯性轴的惯性矩；
• $y,z$：所求点在形心主轴坐标系中的坐标；
• 每一项都是一个线性应力分布，叠加后仍是平面分布，最大拉/压应力出现在截面某两个对角位置。

中性轴（$\sigma =0$ 的直线）的倾角 $\alpha$ 满足：

$$\tan \alpha =\frac{I_z}{I_y}\tan \theta \text{\hspace{1em}(6–19)}$$

关键观察：除非 $I_z=I_y$（如正方形、圆形），否则中性轴不再垂直于弯矩作用面。$I_z/I_y$ 越大，中性轴偏转越厉害。

图 6-29 T 形与槽形截面：弯矩沿对称主轴作用时可直接用弯曲公式

例题 4（原书例 6.15） 矩形截面 $200\mathrm{mm}\times 400\mathrm{mm}$（$I_y=0.2667\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^4$，$I_z=1.067\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^4$），受 $M=12\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$，方向使 $M_y=-9.60\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$、$M_z=7.20\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$。对四个角点（$y=\pm 0.2\mathrm{m}$，$z=\pm 0.1\mathrm{m}$）逐一代入式 (6–17)：

$${\sigma }_B=-\frac{7.20\times 10^3(0.2)}{1.067\times 10^{-3}}+\frac{-9.60\times 10^3(-0.1)}{0.2667\times 10^{-3}}=2.25\mathrm{MPa}$$ $${\sigma }_C=-\frac{7.20\times 10^3(0.2)}{1.067\times 10^{-3}}+\frac{-9.60\times 10^3(0.1)}{0.2667\times 10^{-3}}=-4.95\mathrm{MPa}$$

同理 ${\sigma }_D=-2.25\mathrm{MPa}$，${\sigma }_E=4.95\mathrm{MPa}$。再用式 (6–19)：

$$\tan \alpha =\frac{1.067}{0.2667}\tan (-53.1^{\circ })\Rightarrow \alpha =-79.4^{\circ }$$

中性轴明显偏离了弯矩作用面的垂直方向。

常见坑：

• 忘记把弯矩分解到主轴上就直接套 $\sigma =Mc/I$——对非对称截面这是错的；
• 式 (6–17) 中 $M_y$ 的符号约定（自 $+z$ 转向 $+y$ 为正）容易搞反，建议最后用”应力分布要合成出给定的 $M$“来自检；
• 正方形/圆形截面 $I_y=I_z$，中性轴恒垂直于 $M$，此时不对称弯曲退化为普通弯曲——别画蛇添足。

*6.6 组合梁（Composite Beams）

两种以上材料牢固结合的梁（如木梁贴钢板）不能直接用弯曲公式，因为公式假设材料均质。但平面假设依然成立，应变沿高度仍线性；应力则按各自模量 $\sigma =Eϵ$ 分布——两种材料交界处应变连续而应力跳变。

处理办法：把截面”换算”成单一材料的等效截面。设材料 1 较刚（$E_1>E_2$），由交界处力等效 $E_1ϵ(dzdy)=E_2ϵ(ndzdy)$ 得换算系数：

$$n=\frac{E_1}{E_2}\text{\hspace{1em}(6–20)}$$

即把较刚的材料 1 换成材料 2 时，宽度要放大 $n$ 倍（$b_2=nb$）；反向换算则宽度乘 $n^{\prime }=E_2/E_1<1$。换算后按普通截面求形心、算 $I$、用弯曲公式。最后注意：换算截面中”被换材料”区域的应力要乘回 $n$ 才是实际应力：

$$\sigma =n{\sigma }^{\prime }\text{\hspace{1em}(6–21)}$$

图 6-36(g) 换算成单一材料后应力分布线性，实际材料交界处应力跳变

*6.7 钢筋混凝土梁

混凝土抗拉能力极差，纯弯下受拉侧会开裂。工程做法是在受拉侧远离中性轴处埋入钢筋。设计规范保守地假定混凝土完全不承担拉力，拉力全部由钢筋承担，截面应力分布为：受压区混凝土三角形分布 + 受拉区钢筋集中拉力。

分析方法：把钢筋面积 $A_{\mathrm{st}}$ 换算成等效混凝土面积 $n{A}_{\mathrm{st}}$（$n=E_{\mathrm{st}}/E_{\mathrm{conc}}>1$），再利用”中性轴过换算截面形心”（即对中性轴静矩为零）定出受压区高度 $h^{\prime }$：

图 6-37 钢筋混凝土梁：混凝土只承压，钢筋承拉，需先解二次方程定中性轴

$$\frac{b}{2}{h}^{\prime 2}+n{A}_{\mathrm{st}}{h}^{\prime }-n{A}_{\mathrm{st}}d=0$$

其中 $b$ 为梁宽，$d$ 为梁顶到钢筋的距离。解出 $h^{\prime }$ 后，照常计算 $I$、用弯曲公式求混凝土最大压应力和钢筋应力（钢筋应力要乘 $n$）。

*6.8 曲梁（Curved Beams）

吊钩、圆环等曲率明显的构件（曲率半径与截面尺寸同量级），应变沿高度不再是线性而是双曲分布，中性轴不通过形心，弯曲公式失效。

设截面形心到曲率中心的距离为 $\bar{r}$，中性轴到曲率中心的距离为 $R$，由合力为零可推出：

$$R=\frac{A}{{\int }_A\frac{dA}{r}}\text{\hspace{1em}(6–23)}$$

距曲率中心 $r$ 处的应力（曲梁公式）：

$$\sigma =\frac{M(R-r)}{Ar(\bar{r}-R)}\text{\hspace{1em}(6–24)}$$

• $M$ 正值表示使梁”趋直”（增大曲率半径）；$A$ 为截面面积；
• $e=\bar{r}-R$ 是形心与中性轴的小间距，计算 $R$、$\bar{r}$ 时要保留足够精度（$e$ 通常很小，相减会吞有效数字）；
• 应力沿圆周方向作用，也称环向应力；曲率还会诱生径向应力 ${\sigma }_r$，薄板组合截面（I、T 形）中不可忽略，实心截面通常可忽略。

图 6-40 曲梁分析：$r$ 指向形心、$R$ 指向中性轴，$\bar{r}-R=e$ 很小但关键

经验法则：曲率半径大于 5 倍截面高度时，直接用直梁弯曲公式即可（误差约 7% 以内）；曲率急剧（如吊钩）必须用曲梁公式。

6.9 应力集中（Stress Concentrations）

截面突然变化处（缺口、孔洞、台阶），应力应变分布变为非线性，弯曲公式不再适用。最大应力出现在最小截面处，用应力集中系数 $K$ 修正：

$${\sigma }_{\max }=K\frac{Mc}{I}\text{\hspace{1em}(6–26)}$$

$K$ 由实验图表按几何比 $w/h$、$r/h$ 查得（$r$ 为过渡圆角半径）。圆角越大，$K$ 越接近 1。

图 6-46(b) 圆角过渡处的实际应力分布（非线性）；离开突变区约一个梁高后恢复线性

适用性判断：脆性材料或疲劳/循环载荷下必须考虑应力集中；延性材料受静载时，局部屈服会使应力重分布、实际最大应力低于 $K$ 值预测，通常可不考虑。

6.10 塑性弯曲（Inelastic Bending）

当弯矩大到材料屈服，前面所有弹性公式失效，但三条基本条件不变：①应变仍线性分布（纯几何）；②截面上合力为零（定中性轴位置）；③应力合力矩 = 内力矩。应力分布要从材料的 $\sigma$-$ϵ$ 曲线上”查”出来。

对理想弹塑性材料（屈服后应力恒为 ${\sigma }_Y$），矩形截面（$b\times h$）：

• 最大弹性弯矩（最外纤维刚屈服）：

$$M_Y=\frac{1}{6}b{h}^2{\sigma }_Y$$

• 继续加载，塑性区向内扩展，弯矩与塑性区深度关系为 $M=\frac{3}{2}{M}_Y\left(1-\frac{4}{3}\frac{y_Y^2}{h^2}\right)$；
• 极限状态——全截面屈服（应力矩形块分布）时的塑性弯矩：

图 6-48(f) 全塑性状态：上下半截面分别为均匀的 ${\sigma }_Y$ 拉压应力块

$$M_p=\frac{1}{4}b{h}^2{\sigma }_Y=\frac{3}{2}{M}_Y$$

比值 $k=M_p/M_Y$ 称形状系数（shape factor），表示截面超越弹性极限后还有多少储备：矩形 $k=1.5$；宽翼缘工字钢 $k\approx 1.1\text{–}1.2$（说明工字钢弹性阶段效率极高）。

残余应力：卸除塑性弯矩 $M_p$ 时，材料按弹性路径回复（卸载斜率 = $E$），可叠加一个反向的弹性应力分布（其最大值 ${\sigma }_r=M_{p}c/I$，对矩形为 $1.5{\sigma }_Y$，须小于 $2{\sigma }_Y$ 才不会反向屈服）。原应力分布减去弹性回复分布，剩下的就是残余应力——外载完全卸掉后截面内自平衡存在的应力。

对一般截面（拉压 $\sigma$-$ϵ$ 曲线不同、只关于竖轴对称），需用试算法：假设中性轴位置与应变斜率 → 查曲线得应力分布 → 检验 $T=C$ → 检验 $M=T{y}^{\prime }+C{y}^{\prime \prime }$，反复迭代直至收敛。

常见坑：

• 塑性分析中，非对称截面（如 T 形）的全塑性中性轴不在形心——要由 $T=C$（拉应力块面积 = 压应力块面积）重新定位；
• 残余应力计算中，卸载永远按弹性处理，且回复应力最大值不能超过 $2{\sigma }_Y$；
• 曲梁公式中 $\bar{r}-R$ 是两个大数之差，中间过程精度不够会得到荒谬结果；
• 查应力集中系数图时，$I$、$c$ 必须用最小截面（缺口根部）的尺寸，不是大端尺寸。

通关标准：

• 能用函数法和图形法（斜率/面积关系）独立画出任意静定梁的剪力图和弯矩图，并指出 $V=0$ 处即 $M_{\max }$ 位置；
• 能完整复述弯曲公式的推导链：平面假设 → 应变线性 $ϵ=-y/\rho$ → 胡克定律 → 静矩为零定中性轴 → ${\sigma }_{\max }=Mc/I$；
• 会算组合截面的形心与惯性矩（平行轴定理），并求指定点的弯曲应力、画出截面应力分布图；
• 会处理不对称弯曲（分解主轴 + 式 6–17）和组合梁（换算截面法），知道中性轴不垂直于弯矩作用面这一现象；
• 知道曲梁、应力集中、塑性弯曲各自在什么条件下启用，以及塑性弯矩与形状系数的含义。

自测：为什么中性轴一定通过截面形心？

因为纯弯曲时截面上轴力必须为零：$0={\int }_A\sigma dA=-({\sigma }_{\max }/c){\int }_{A}ydA$，即静矩为零。而由形心定义 $\bar{y}=\int ydA/A$，静矩为零意味着 $\bar{y}=0$，形心正好落在中性轴上。（注意：这只对弹性均质直梁成立；塑性非对称截面和曲梁的中性轴都不过形心。）

自测：分布载荷、剪力、弯矩图之间的微分/积分关系是什么？如何用它找最大弯矩？

微分关系：$dV/dx=w$（剪力图斜率 = 载荷集度），$dM/dx=V$（弯矩图斜率 = 剪力）。积分形式：$\Delta V=\int wdx$（载荷图面积），$\Delta M=\int Vdx$（剪力图面积）。由 $dM/dx=V=0$ 可知最大（或最小）弯矩出现在剪力为零的截面，求出该处 $x$ 后代入弯矩函数或用剪力图面积累加即得 $M_{\max }$。

自测：弯曲公式 $\sigma =Mc/I$ 的适用条件有哪些？轻微锥度的梁能用吗？

条件：直梁、横截面关于垂直于中性轴的轴对称、材料均质且线弹性、弯矩作用在纵向对称面内。轻微锥度可以保守使用——弹性理论分析表明 15° 锥度的矩形截面梁，真实最大应力比公式值低约 5.4%，偏安全。但曲率急剧的构件（如吊钩）必须改用曲梁公式。

自测：不对称弯曲时为什么中性轴不垂直于弯矩作用面？什么情况下例外？

因为中性轴倾角满足 $\tan \alpha =(I_z/I_y)\tan \theta$，只有当 $I_z=I_y$ 时才有 $\alpha =\theta +90°$ 的垂直关系。一般截面两个主惯性矩不等，中性轴会向惯性矩较小的主轴方向偏转。例外：正方形、圆形以及任何 $I_y=I_z$ 的截面（此时任意过形心的轴都是主轴），中性轴恒垂直于弯矩作用面。

自测：矩形截面梁的形状系数是多少？它有什么工程含义？

$k=M_p/M_Y=1.5$。含义：矩形截面梁从最外纤维开始屈服到全截面塑性，还能多承受 50% 的弯矩。宽翼缘工字钢 $k$ 仅约 1.14，说明其材料绝大部分集中在远离中性轴的翼缘、弹性阶段效率很高，但塑性储备小。钢结构设计规范有时按塑性弯矩设计，就用形状系数描述这一额外承载能力。