第05章 扭转：圆轴的切应力与扭转角

这一篇在干嘛？

汽车传动轴、电机主轴这些”被拧”的杆件叫轴（shaft）。本章研究圆轴受扭矩后：横截面上切应力怎么分布（扭转公式 $\tau =Tc/J$）、轴拧转了多少角度（$\varphi =TL/JG$），以及超静定轴、非圆截面轴、薄壁管的处理方法。

5.1 圆轴的扭转变形：切应变沿半径线性分布

对橡胶轴施加扭矩，会发现：纵向网格线扭成了螺旋线，但横截面保持平面（不翘曲、不鼓出），径向线保持直线只是转了一个角度。假设轴一端固定，距固定端 $x$ 处的径向线转过的角度 $\varphi (x)$ 称为扭转角（angle of twist）。

图 5-2a：轴受扭后各横截面绕轴线相继转动

图 5-2b：小微元两侧面转过 $d\varphi$，产生切应变 γ

取厚 $dx$ 的圆盘微元，前后两面分别转过 $\varphi (x)$ 和 $\varphi (x)+d\varphi$，相对转角 $d\varphi$ 使材料产生切应变 $\gamma$。由几何关系（红弧长度 $\rho d\varphi =dx\cdot \gamma$）：

\gamma = \rho\,\frac{d\phi}{dx} \tag{5-1}

由于同一截面上 $d\varphi /dx$ 处处相同，记外半径为 $c$，可得：

\gamma = \left(\frac{\rho}{c}\right)\gamma_{max} \tag{5-2}

白话：切应变从轴心处的 0，沿半径线性增大到表面的 ${\gamma }_{max}$——离轴心越远的材料被”拧”得越厉害。注意这个结论来自纯几何关系，与材料是什么无关。

5.2 扭转公式：τ = Tc/J

推导思路

材料线弹性时胡克定律 $\tau =G\gamma$ 成立（$G$ 为剪切模量），切应变线性 → 切应力也沿半径线性分布：

\tau = \left(\frac{\rho}{c}\right)\tau_{max} \tag{5-3}

图 5-3：切应力沿径向线性分布，轴心为零，表面最大

截面上每个微面积 $dA$ 受切力 $dF=\tau dA$，对轴线的力矩为 $\rho dF$，全部加起来必须等于内扭矩 $T$：

$T={\int }_A\rho (\tau dA)=\frac{{\tau }_{max}}{c}{\int }_A{\rho }^{2}dA$

积分 ${\int }_A{\rho }^{2}dA$ 就是截面的极惯性矩 $J$（polar moment of inertia），于是得到扭转公式：

\tau_{max} = \frac{Tc}{J}, \qquad \tau = \frac{T\rho}{J} \tag{5-6 / 5-7}

白话：扭矩越大、点离轴心越远，切应力越大；$J$ 越大（截面越”粗壮”），应力越小。

极惯性矩 J（实心与空心）

用半径 $\rho$、厚 $d\rho$ 的细圆环作微元（$dA=2\pi \rho d\rho$）积分：

实心圆截面：

J = \int_0^c \rho^2(2\pi\rho\,d\rho) = \frac{\pi}{2}c^4 \tag{5-8}

空心圆管（内半径 $c_i$、外半径 $c_o$）：用大圆减去小圆：

J = \frac{\pi}{2}\left(c_o^4 - c_i^4\right) \tag{5-9}

白话：$J$ 与半径的四次方成正比——半径加倍，抗扭能力变成 16 倍。这也是为什么”省料”的空心轴很划算：材料集中在远离轴心处，那里应力最大、贡献的力臂也最大。

切应力的”孪生”分布

由切应力互等定理，横截面上的切应力必然伴随轴向纵截面上等值的切应力。这就是为什么木轴受扭过大时会沿纤维方向纵向劈裂——木材顺纹抗剪远弱于横纹抗剪。

常见坑：扭转公式的适用条件

1. 必须圆截面（实心或空心）——非圆截面受扭会翘曲，公式失效；
2. 材料均匀且线弹性——推导用了 $\tau =G\gamma$，超过比例极限就作废；
3. 计算用截面法求内扭矩时别忘了轴承不产生反扭矩；
4. 单位要配套：N·m、m、Pa；或 lb·in、in、psi。

例题 5.1：实心轴与空心管各能扛多大扭矩

材料许用切应力 $[\tau ]=75\mathrm{MPa}$。实心轴半径 0.1 m；空心管外半径 0.1 m、内半径 0.075 m。求各自允许的最大扭矩。

截面性质：

$J_s=\frac{\pi }{2}(0.1{)}^4=0.1571(10^{-3}){\mathrm{m}}^4,J_t=\frac{\pi }{2}\left[(0.1{)}^4-(0.075{)}^4\right]=0.1074(10^{-3}){\mathrm{m}}^4$

由 ${\tau }_{max}=Tc/J$ 反解 T：

$T_s=\frac{75(10^6)(0.1571(10^{-3}))}{0.1}=118\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m},T_t=80.5\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$

白话：空心管省了约 44% 的材料（面积比），却还能扛 68% 的扭矩——空心轴的性价比一目了然。

例题 5.3：管壁内外的切应力差多少

管内半径 40 mm、外半径 50 mm，端部被扭矩扳手拧紧，截面法求得内扭矩 $T=40\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$。求内外壁切应力。

$J=\frac{\pi }{2}\left[(0.05{)}^4-(0.04{)}^4\right]=5.796(10^{-6}){\mathrm{m}}^4$

${\tau }_o=\frac{T{c}_o}{J}=\frac{40(0.05)}{5.796(10^{-6})}=0.345\mathrm{MPa},{\tau }_i=\frac{T{c}_i}{J}=\frac{40(0.04)}{5.796(10^{-6})}=0.276\mathrm{MPa}$

白话：管壁越薄，内外壁应力越接近——这是下一节”薄壁近似”的物理基础。

5.3 功率传输：由马力算扭矩

轴传输的功率 = 扭矩 × 角速度：

P = T\omega \tag{5-10}

SI 制中 P 单位为瓦特（$1\mathrm{W}=1\mathrm{N}\cdot m/s$）。工程上常用频率 $f$（转/秒，Hz）表示转速，因 $1$ 转 $=2\pi$ 弧度，$\omega =2\pi f$，故：

P = 2\pi f T \tag{5-11}

轴设计流程：由 $T=P/2\pi f$ 求扭矩 → 由扭转公式按许用应力定尺寸：

\frac{J}{c} = \frac{T}{\tau_{allow}} \tag{5-12}

白话：实心轴代入 $J/c=\pi c^3/2$ 直接解出半径 $c={\left(\frac{2T}{\pi {\tau }_{allow}}\right)}^{1/3}$；空心轴则可先任选一个半径再解另一个。

例题 5.4：传输 5 hp 需要多粗的钢轴

实心钢轴传输 $5\mathrm{hp}$，转速 $\omega =175\mathrm{rpm}$，$[\tau ]=14.5\mathrm{ksi}$，求直径（取 1/8 in 整数倍）。

换算：$P=5\times 550=2750\mathrm{ft}\cdot lb/s$；$\omega =175\times \frac{2\pi }{60}=18.33rad/s$。

扭矩：$T=P/\omega =2750/18.33=150.1\mathrm{ft}\cdot \mathrm{lb}$。

定半径：

$c={\left(\frac{2(150.1)(12)}{\pi (14500)}\right)}^{1/3}=0.429\mathrm{in}$

直径 $2c=0.858\mathrm{in}$，向上取整选 $d=\frac{7}{8}\mathrm{in}=0.875\mathrm{in}$。白话：转速越低，同样功率所需扭矩越大，轴就得越粗——低速重载轴都特别粗壮。

5.4 扭转角：轴到底拧了多少度

公式推导（与拉压变形完全平行）

对厚 $dx$ 的微元，由式 (5-1)、胡克定律和扭转公式得 $d\varphi =\frac{T(x)}{J(x)G(x)}dx$，积分：

\phi = \int_0^L \frac{T(x)\,dx}{J(x)G(x)} \tag{5-14}

$T$、$J$、$G$ 沿轴不变时退化为最常用形式：

\phi = \frac{TL}{JG} \tag{5-15}

分段常数的情形（多扭矩、阶梯轴）逐段求和：

\phi = \sum\frac{TL}{JG} \tag{5-16}

白话：这套公式与拉压的 $\delta =NL/AE$ 结构完全一样——$JG$ 扮演”抗扭刚度”的角色（对应 $AE$）。实验室正是用 $\varphi =TL/JG$ 反测材料的 $G$。

符号约定：右手定则

图 5-15：右手定则——拇指指向背离截面方向，四指弯曲方向即扭矩正方向

扭矩和扭转角：拇指背离被切截面、四指沿扭矩转向为正。逐段代公式时每段内扭矩的正负必须遵守同一约定。

常见坑：扭转角计算

1. 结果单位是弧度（rad），题目问”度”要乘 $180/\pi$；同样 $\omega$ 用 rad/s，rpm 要换算。
2. 各段扭矩的正负号搞反——先画扭矩图再算，方向一目了然。
3. 齿轮连接的两根轴：先算齿轮啮合力传递的扭矩（$T_2=T_1\times r_2/r_1$），再分别对每根轴分析，啮合点转角满足 ${\varphi }_1{r}_1={\varphi }_2{r}_2$。

例题 5.5：三段扭矩的轴

A-36 钢轴直径 200 mm，AB 段 $+80\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$（长 3 m），BC 段 $-70\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$（长 2 m），CD 段 $-10\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$（长 1.5 m）。求 A 端扭转角。$G=75\mathrm{GPa}$。

$J=\frac{\pi }{2}(0.1{)}^4=0.1571(10^{-3}){\mathrm{m}}^4$

${\varphi }_A=\sum \frac{TL}{JG}=\frac{80(10^3)(3)-70(10^3)(2)-10(10^3)(1.5)}{0.1571(10^{-3})\cdot 75(10^9)}=7.22(10^{-3})\mathrm{rad}$

A 相对 C 的扭转角只累加 AB、BC 两段：${\varphi }_{A/C}=8.49(10^{-3})\mathrm{rad}$。白话：分子上”正负扭矩 × 各自长度”代数相加，分母统一，一气呵成。

例题 5.7：齿轮啮合的双轴系统

两根钢轴（各直径 20 mm）通过齿轮啮合连接，DC 轴 D 端固定，AB 轴 A 端加 $T=45\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$，齿轮半径分别 0.15 m（B）和 0.075 m（C）。求 A 端扭转角。$G=80\mathrm{GPa}$。

第一步：齿轮传力。AB 轴上齿轮啮合力 $F=45/0.15=300\mathrm{N}$，该力在 DC 轴上产生扭矩 $(T_D{)}_x=300(0.075)=22.5\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$。

第二步：算 C 齿轮的转角（DC 轴，$J=(\pi /2)(0.01{)}^4$）：

${\varphi }_C=\frac{22.5(1.5)}{JG}=0.0269\mathrm{rad}$

第三步：啮合关系转给 B 齿轮：${\varphi }_B(0.15)=0.0269(0.075)⟹{\varphi }_B=0.0134\mathrm{rad}$。

第四步：AB 轴自身扭转 ${\varphi }_{A/B}=\frac{45(2)}{JG}=0.0716\mathrm{rad}$，同向叠加：

${\varphi }_A={\varphi }_B+{\varphi }_{A/B}=0.0850\mathrm{rad}$

白话：齿轮系统的扭转角 = “被带动轴端点的转角” + “本轴自身的相对扭转角”，两部分按啮合几何换算后相加。

5.5 扭转超静定：两端固定的轴

与拉压超静定完全同构。两端固定、中间受扭矩的轴：1 个平衡方程、2 个未知反扭矩 $T_A$、$T_B$——超静定。协调条件：两端固定 → ${\varphi }_{A/B}=0$，再用 $\varphi =TL/JG$ 换算成力。三件套流程和第 4 章一模一样。

图 5-20：两端固定轴的超静定分析

例题 5.10：钢管包铜芯的组合轴

钢管牢固粘结黄铜芯（并联受扭），总扭矩 $T=250\mathrm{lb}\cdot \mathrm{ft}$。$G_{st}=11.4(10^3)\mathrm{ksi}$，$G_{br}=5.20(10^3)\mathrm{ksi}$；钢管 $J=(\pi /2)(1^4-0.5^4)$，铜芯 $J=(\pi /2)(0.5{)}^4$（单位 in⁴）。求应力分布。

平衡：$T_{st}+T_{br}=250(12)=3000\mathrm{lb}\cdot \mathrm{in}$。

协调：粘结在一起 → 转角相同：${\varphi }_{st}={\varphi }_{br}$。

力–位移：$\frac{T_{st}L}{J_{st}{G}_{st}}=\frac{T_{br}L}{J_{br}{G}_{br}}⟹T_{st}=32.88T_{br}$。

联立解得 $T_{st}=2911.5\mathrm{lb}\cdot \mathrm{in}$，$T_{br}=88.5\mathrm{lb}\cdot \mathrm{in}$，应力：

${\tau }_{br,max}=451\mathrm{psi},{\tau }_{st,min}=989\mathrm{psi},{\tau }_{st,max}=1977\mathrm{psi}$

白话：交界面处应力不连续（钢侧 989 vs 铜侧 451）——因为两者 G 不同；但切应变连续，这是组合轴的关键特征。更硬的钢承担了 97% 的扭矩。

*5.6 非圆截面轴：方轴会”翘曲”

圆截面之所以好算，是因为它轴对称、横截面受扭后仍保持平面。方轴、三角轴受扭时横截面会翘曲（warp），扭转公式不再适用，需要查弹性理论的结果（表 5-1）。值得注意的结论：

截面形状	最大切应力	扭转角
正方形（边长 $a$）	${\tau }_{max}=\frac{4.81T}{a^3}$	$\varphi =\frac{7.10TL}{a^{4}G}$
等边三角形（边长 $a$）	${\tau }_{max}=\frac{20T}{a^3}$	$\varphi =\frac{46TL}{a^{4}G}$
椭圆（半轴 $a$、$b$）	${\tau }_{max}=\frac{2T}{\pi a{b}^2}$	$\varphi =\frac{(a^2+b^2)TL}{\pi a^3{b}^{3}G}$

白话：角点处切应力必为零（角点的外表面无剪应力可依附，由切应力互等定理推出）；最大切应力出现在棱边离形心最近的中点。同样材料同样截面积，圆形轴的最大应力和扭转角都最小——圆是最抗扭的形状。

*5.7 闭合薄壁管的扭转：剪力流

飞机框架上大量使用非圆薄壁管。壁很薄时可假设切应力沿壁厚均匀分布，引入**剪力流（shear flow）**概念：

q = \tau_{avg}\,t = \text{常数} \tag{5-17}

白话：剪力流 = 切应力 × 壁厚，沿整个截面周长处处相等（由微元平衡推出）。所以壁最薄的地方切应力最大——薄弱环节自动暴露。

对截面内任一点取矩并沿周长积分（利用 $hds/2$ 恰为小三角形面积），得著名的 Bredt 公式：

\tau_{avg} = \frac{T}{2t A_m} \tag{5-18}

• $A_m$：平均面积——壁厚中心线围成的面积（不是截面积！）；
• $t$：所求点处的壁厚。

对应的扭转角（能量法导出）：

\phi = \frac{TL}{4A_m^2 G}\oint\frac{ds}{t} \tag{5-20}

白话：抗扭能力取决于中心线围成的面积——同样用材料，管子”撑得越开”（$A_m$ 越大）越抗扭，这就是飞机机身做粗管状的原因。

常见坑：薄壁公式

1. $A_m$ 是壁厚中心线围的面积，别错用外轮廓面积或截面积；
2. 公式只对闭合截面成立——开缝管（比如易拉罐侧壁开一条缝）抗扭能力骤降几个数量级；
3. 变厚度管：先找最薄处（那里 $\tau$ 最大），扭转角积分里的 $t$ 要逐段代入。

5.8 扭转应力集中

与拉压一样，截面突变处（联轴器、键槽、阶梯轴的圆角根部）扭转公式失效，用扭转应力集中系数 $K$ 查实验曲线（按 $D/d$ 选曲线、按 $r/d$ 查值）：

\tau_{max} = K\frac{Tc}{J} \tag{5-21}

注意 $J$、$c$ 用较小那段轴的值（最大应力出现在圆角根部、属于小轴段）。加大圆角半径 $r$、减小直径差 $D/d$ 都能降低 $K$。脆性材料轴或承受疲劳扭转载荷的轴必须考虑应力集中；延性轴静载可以不考虑（屈服使应力重分布）。

*5.9–5.10 非弹性扭转与残余应力

弹性理想塑性轴的加载过程：外缘应力先达 ${\tau }_Y$ → 屈服区从外向内扩展 → 中心剩弹性核 → 全截面屈服时达到塑性扭矩：

T_p = \frac{2\pi}{3}\tau_Y c^3 \tag{5-26}

对比最大弹性扭矩 $T_Y=\frac{\pi }{2}{\tau }_Y{c}^3$（式 5-24），有：

$T_p=\frac{4}{3}{T}_Y$

白话：圆轴完全屈服后还能比刚屈服时多扛 33% 的扭矩。达到 $T_p$ 后轴会”无限”扭转而扭矩不再增加（此阶段扭转角无唯一值）。

残余应力：卸除 $T_p$ 相当于反向叠加一个弹性分布的 $T_p$（最大反向应力称扭转断裂模量 ${\tau }_r=\frac{4}{3}{\tau }_Y$），与全屈服的均匀 ${\tau }_Y$ 分布叠加后，截面上留下正负相间的残余切应力。工程上利用残余压应力提升轴的疲劳强度。

通关标准：

1. 默写扭转公式 $\tau =Tc/J$、极惯性矩 $J=\pi c^4/2$（实心）与 $\pi (c_o^4-c_i^4)/2$（空心），并说清推导链条：平面假定 → $\gamma$ 线性 → 胡克定律 → $\tau$ 线性 → 积分。
2. 能由 $P=2\pi fT$ 和 $J/c=T/{\tau }_{allow}$ 完成轴的设计（含单位换算 hp↔ft·lb/s、rpm↔rad/s）。
3. 默写 $\varphi =\sum TL/JG$，会用右手定则处理分段正负号，会处理齿轮啮合的双轴问题。
4. 超静定扭转三件套（平衡 + ${\varphi }_{A/B}=0$ + $\varphi =TL/JG$）与组合轴（${\varphi }_{st}={\varphi }_{br}$）能独立完成。
5. 记住三个”数字结论”：剪力流沿周长恒定、$T_p=\frac{4}{3}{T}_Y$、圆截面是最抗扭的形状。

自测：扭转公式为什么不能用于矩形截面轴？

非圆截面不轴对称，受扭时横截面发生翘曲（不再保持平面），“平面假定”和由此推出的切应变线性分布都不成立。矩形轴需用弹性理论结果：最大切应力在棱边中点（离形心最近处），四个角点切应力为零。

自测：同样扭矩下，把实心轴内部挖空成空心轴，强度为什么"亏得不多"？

切应力沿半径线性分布，靠近轴心的材料应力本来就小、贡献的力矩（力臂 × 力）更小；材料集中在外圈效率高。例 5.1 中空心管省约 44% 材料仍保有 68% 的承载能力。极惯性矩 $J$ 与半径四次方成正比，外圈材料贡献占绝对主导。

自测：剪力流 $q={\tau }_{avg}t$ 沿截面周长为什么必须是常数？

从管壁上取长 $s$、宽 $dx$ 的微元，其两侧纵截面上剪力 $dF=\tau tdx$ 必须等值反向（轴向平衡），因此 ${\tau }_A{t}_A={\tau }_B{t}_B$ 在任意两点间成立。由此立刻得出：最薄处平均切应力最大。

自测：两根轴齿轮啮合，转角怎么"过桥"？

啮合点线位移相同：${\varphi }_1{r}_1={\varphi }_2{r}_2$，即小齿轮转角大、大齿轮转角小，比例等于半径的反比。扭矩传递则相反：切向力相同，$T_2/T_1=r_2/r_1$。算总转角时先把”从动轴端点转角”按此换算，再加主动轴自身的相对扭转角。

自测：塑性扭矩为什么是最大弹性扭矩的 4/3 倍？

全截面屈服时应力均匀为 ${\tau }_Y$：$T_p={\int }_0^c{\tau }_Y(2\pi \rho )\rho d\rho =\frac{2\pi }{3}{\tau }_Y{c}^3$；刚屈服时应力线性（轴心 0、表面 ${\tau }_Y$）：$T_Y=\frac{\pi }{2}{\tau }_Y{c}^3$。两者之比 $=\frac{2/3}{1/2}=\frac{4}{3}$——均匀分布比线性分布”重心更靠外”，所以承载多 33%。