第04章 轴向载荷：拉压杆的应力、变形与超静定

这一篇在干嘛？

前面几章我们已经会算拉压杆的应力和应变了，这一章要回答更实际的问题：这根杆到底伸长/缩短了多少毫米？ 顺带解决三类”麻烦事”——支座反力算不出来的超静定问题、温度变化引起的热应力、以及截面突变处的应力集中。

4.1 圣维南原理：为什么可以放心用 σ = P/A

把一根矩形杆两端沿形心轴加拉力 P，杆上事先画好的网格线会发生什么？在加载点附近，网格线被”搅乱”了——变形是局部的、不均匀的；但离加载点稍远处，网格线又恢复水平竖直，变形变得均匀。

图 4-1a：杆端局部变形（a 截面靠近加载点）

图 4-1b：a–a、b–b、c–c 三个截面上的应力分布对比

这就是圣维南原理（Saint-Venant’s Principle）：离外力作用点足够远的地方，应力应变的分布只取决于外力的合力和合力矩（静力等效），而与具体怎么施加载荷无关。离多远才算”足够远”？理论和经验表明：至少等于横截面的最大边长（宽度）。

不用它会怎样？如果在紧贴加载点的截面用 $\sigma =P/A$ 算应力，会严重低估局部的峰值应力。好在这类局部效应只影响很小区域，本书后续的变形计算都按圣维南原理忽略它们。

4.2 轴向载荷杆的弹性变形：核心公式 δ = NL/AE

公式的由来（微分推导思路）

取长度为 $dx$ 的小微元，设该处内力为 $N(x)$、截面面积为 $A(x)$、弹性模量为 $E(x)$。微元上的应力和应变分别为：

$\sigma =\frac{N(x)}{A(x)},ϵ=\frac{d\delta }{dx}$

白话：应力 = 内力除以面积；应变 = 这一小段的伸长量除以它原来的长度。代入胡克定律 $\sigma =E(x)ϵ$，整理得 $d\delta =\frac{N(x)dx}{A(x)E(x)}$，对全长积分：

$$\delta ={\int }_0^L\frac{N(x)dx}{A(x)E(x)}\text{\hspace{1em}(4-1)}$$

白话：总伸长 = 把每一小段的”力÷(面积×刚度)“累加起来。这就是轴向变形的万能公式，后面所有简化形式都是它的特例。

两种常用特例

情况一：N、A、E 全都沿杆长不变（等直杆、两端受一对集中力），积分直接出结果：

$$\delta =\frac{NL}{AE}\text{\hspace{1em}(4-2)}$$

白话：力越大、杆越长，伸长越多；杆越粗、材料越硬（E 越大），越不容易拉长。$AE$ 常被称为杆的轴向刚度。

情况二：杆分几段，每段内 N、A、E 是常数（比如阶梯轴、中间还挂了几个力）：

$$\delta =\sum \frac{NL}{AE}\text{\hspace{1em}(4-3)}$$

白话：一段一段算，再代数相加——注意正负号！

符号约定（必须统一，否则必错）

图 4-4：符号约定——拉力与伸长为正，压力与缩短为负

• 内力 $N$：拉为正，压为负；
• 位移 $\delta$：伸长为正，缩短为负；
• 结果为正 → 该点被拉长/向外移；为负 → 缩短/向内移。

常见坑：符号与单位

1. 忘记给压力段的内力加负号，导致各段变形”该减的反而加了”。
2. 单位混乱：N 配 mm 时 E 要用 MPa（即 N/mm²）；N 配 m 时 E 用 Pa。混用直接差 10⁶ 倍。
3. 求”B 相对 C 的位移”时，只用 BC 段的内力，别把整根杆的力都塞进去。
4. 公式推导用了胡克定律，所以材料必须保持线弹性（不能屈服）。

例题 4.1：分段的 A-36 钢杆

A-36 钢杆直径 50 mm，受力如图（A 端固定，B 处拉 30 kN 反向、C 处 30 kN、D 端 90 kN，各段长 1 m，详见原书 Fig. 4–5）。求 D 点位移和 B 相对 C 的位移。$E_{st}=200\mathrm{GPa}$。

图 4-5：例题 4.1 的受力图与轴力图

第一步：分段求内力（截面法）。由轴力图得：AB 段 $N=+70\mathrm{kN}$（拉），BC 段 $N=-30\mathrm{kN}$（压），CD 段 $N=+90\mathrm{kN}$（拉）。

第二步：算截面面积 $A=\pi (0.025{)}^2=1.963\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$。

第三步：逐段求和。 D 端相对固定端 A 的位移：

${\delta }_D=\sum \frac{NL}{AE}=\frac{[70(10^3)](1)+[-30(10^3)](1)+[90(10^3)](1)}{1.963(10^{-3})[200(10^9)]}\times 10^3\mathrm{mm}=-89.1(10^{-3})\mathrm{mm}$

结果为负：D 点向左移动（整体缩短了一点点）。而 B 相对 C 的位移只由 BC 段内力决定：

${\delta }_{B/C}=\frac{[-30(10^3)](1)}{1.963(10^{-3})[200(10^9)]}=-76.4(10^{-3})\mathrm{mm}$

负号表示 B 朝靠近 C 的方向移动。白话总结：先画轴力图，再分段代公式，最后看正负号判断方向。

例题 4.4：自重引起的变形（要用积分的情形）

一根倒挂的圆锥体， $\gamma =6kN/{\mathrm{m}}^3$（重度，即单位体积的重量），$E=9\mathrm{GPa}$，长 3 m、底面半径 0.3 m，求自重使底端下移多少。

距自由端 $y$ 处，半径按比例 $x=0.1y$；该截面以下锥体的重量就是内力：

$N(y)=\gamma V=6(10^3)\cdot \frac{\pi (0.01)}{3}{y}^3=62.83y^3\mathrm{N},A(y)=\pi x^2=0.03142y^2$

代入式 (4-1)（这里 N 和 A 都随位置变，必须积分）：

$\delta ={\int }_0^3\frac{62.83y^{3}dy}{0.03142y^2\cdot 9(10^9)}=222.2(10^{-9}){\int }_0^{3}ydy=1\mu \mathrm{m}$

白话：自重引起的伸长其实非常小——这也是为什么短杆自重通常可以忽略。

4.3 叠加原理

复杂受载问题可以拆成几个简单问题分别算，再把结果代数相加。但必须满足两个条件：

1. 载荷与待求量（应力或位移）成线性关系——$\sigma =N/A$ 和 $\delta =NL/AE$ 都满足；
2. 载荷不能显著改变构件的原始几何形状——如果杆被拉得大幅弯曲变形，力的方向和力臂都变了，叠加就失效。

常见坑：大变形不能用叠加

细长杆受大载荷发生明显挠曲时，$Pd\ne P_1{d}_1+P_2{d}_2$（力臂变了），叠加原理不成立。本书绝大多数题目都是小变形，可以放心用，但要清楚前提。

4.4–4.5 超静定问题：平衡方程不够用了怎么办

什么是超静定？

两端固定的杆，中间受 500 N 的力：未知反力有 $F_A$、$F_B$ 两个，平衡方程却只有 1 个（$F_A+F_B=500\mathrm{N}$）。未知数多于方程数，这就是**超静定（statically indeterminate）**问题。

解题靠”三件套”：

1. 平衡方程——受力图 + $\sum F=0$；
2. 变形协调条件（compatibility condition）——由支座约束写出的位移约束关系，比如两端固定则 ${\delta }_{A/B}=0$；
3. 力–位移关系——用 $\delta =NL/AE$ 把位移换成力。

以两端固定杆为例：协调条件 ${\delta }_{A/B}=0$，即 AC 段伸长等于 CB 段缩短：

$\frac{F_A(2\mathrm{m})}{AE}-\frac{F_B(3\mathrm{m})}{AE}=0⟹F_A=1.5F_B$

与平衡方程联立解得 $F_A=300\mathrm{N}$，$F_B=200\mathrm{N}$。

力法（force method）：另一种写协调条件的方式

把某个支座（比如 B）暂时拿掉，结构变成静定结构；外载 P 使 B 下移 ${\delta }_P$，再假设多余未知反力 $F_B$ 使 B 上移 ${\delta }_B$；真实情况 B 不动，所以：

$0={\delta }_P-{\delta }_B$

把两个位移都用 $\delta =NL/AE$ 表达，即可解出 $F_B$，再回代平衡方程求其余反力。两种方法结果一致，选顺手的用。

图 4-10：两端固定杆的超静定分析（受力图与分段内力）

常见坑：有间隙的问题要先判断"接没接上"

如果杆端与墙之间有初始间隙（如例 4.5 的 0.2 mm），要先假设载荷足以把间隙顶死，解出 $F_B$ 后检验：若解得 $F_B>0$，假设成立；若 $F_B<0$，说明根本没碰到墙，按静定问题重算（$F_B=0$）。反过来硬解会得出荒谬结果。

例题 4.5：带 0.2 mm 间隙的超静定杆

直径 10 mm 的钢杆固定于 A，未加载时 B 端与墙 B′ 之间有 0.2 mm 间隙。$P=20\mathrm{kN}$ 作用于中部 C，$E_{st}=200\mathrm{GPa}$，AC = 0.4 m，CB = 0.8 m。求反力。

平衡：$-F_A-F_B+20(10^3)=0$。