第04章 轴向载荷：拉压杆的应力、变形与超静定

这一篇在干嘛？

前面几章我们已经会算拉压杆的应力和应变了，这一章要回答更实际的问题：这根杆到底伸长/缩短了多少毫米？ 顺带解决三类”麻烦事”——支座反力算不出来的超静定问题、温度变化引起的热应力、以及截面突变处的应力集中。

4.1 圣维南原理：为什么可以放心用 σ = P/A

把一根矩形杆两端沿形心轴加拉力 P，杆上事先画好的网格线会发生什么？在加载点附近，网格线被”搅乱”了——变形是局部的、不均匀的；但离加载点稍远处，网格线又恢复水平竖直，变形变得均匀。

图 4-1a：杆端局部变形（a 截面靠近加载点）

图 4-1b：a–a、b–b、c–c 三个截面上的应力分布对比

这就是圣维南原理（Saint-Venant’s Principle）：离外力作用点足够远的地方，应力应变的分布只取决于外力的合力和合力矩（静力等效），而与具体怎么施加载荷无关。离多远才算”足够远”？理论和经验表明：至少等于横截面的最大边长（宽度）。

不用它会怎样？如果在紧贴加载点的截面用 $\sigma =P/A$ 算应力，会严重低估局部的峰值应力。好在这类局部效应只影响很小区域，本书后续的变形计算都按圣维南原理忽略它们。

4.2 轴向载荷杆的弹性变形：核心公式 δ = NL/AE

公式的由来（微分推导思路）

取长度为 $dx$ 的小微元，设该处内力为 $N(x)$、截面面积为 $A(x)$、弹性模量为 $E(x)$。微元上的应力和应变分别为：

$\sigma =\frac{N(x)}{A(x)},ϵ=\frac{d\delta }{dx}$

白话：应力 = 内力除以面积；应变 = 这一小段的伸长量除以它原来的长度。代入胡克定律 $\sigma =E(x)ϵ$，整理得 $d\delta =\frac{N(x)dx}{A(x)E(x)}$，对全长积分：

\delta = \int_0^L \frac{N(x)\,dx}{A(x)E(x)} \tag{4-1}

白话：总伸长 = 把每一小段的”力÷(面积×刚度)“累加起来。这就是轴向变形的万能公式，后面所有简化形式都是它的特例。

两种常用特例

情况一：N、A、E 全都沿杆长不变（等直杆、两端受一对集中力），积分直接出结果：

\delta = \frac{NL}{AE} \tag{4-2}

白话：力越大、杆越长，伸长越多；杆越粗、材料越硬（E 越大），越不容易拉长。$AE$ 常被称为杆的轴向刚度。

情况二：杆分几段，每段内 N、A、E 是常数（比如阶梯轴、中间还挂了几个力）：

\delta = \sum \frac{NL}{AE} \tag{4-3}

白话：一段一段算，再代数相加——注意正负号！

符号约定（必须统一，否则必错）

图 4-4：符号约定——拉力与伸长为正，压力与缩短为负

• 内力 $N$：拉为正，压为负；
• 位移 $\delta$：伸长为正，缩短为负；
• 结果为正 → 该点被拉长/向外移；为负 → 缩短/向内移。

常见坑：符号与单位

1. 忘记给压力段的内力加负号，导致各段变形”该减的反而加了”。
2. 单位混乱：N 配 mm 时 E 要用 MPa（即 N/mm²）；N 配 m 时 E 用 Pa。混用直接差 10⁶ 倍。
3. 求”B 相对 C 的位移”时，只用 BC 段的内力，别把整根杆的力都塞进去。
4. 公式推导用了胡克定律，所以材料必须保持线弹性（不能屈服）。

例题 4.1：分段的 A-36 钢杆

A-36 钢杆直径 50 mm，受力如图（A 端固定，B 处拉 30 kN 反向、C 处 30 kN、D 端 90 kN，各段长 1 m，详见原书 Fig. 4–5）。求 D 点位移和 B 相对 C 的位移。$E_{st}=200\mathrm{GPa}$。

图 4-5：例题 4.1 的受力图与轴力图

第一步：分段求内力（截面法）。由轴力图得：AB 段 $N=+70\mathrm{kN}$（拉），BC 段 $N=-30\mathrm{kN}$（压），CD 段 $N=+90\mathrm{kN}$（拉）。

第二步：算截面面积 $A=\pi (0.025{)}^2=1.963\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$。

第三步：逐段求和。 D 端相对固定端 A 的位移：

${\delta }_D=\sum \frac{NL}{AE}=\frac{[70(10^3)](1)+[-30(10^3)](1)+[90(10^3)](1)}{1.963(10^{-3})[200(10^9)]}\times 10^3\mathrm{mm}=-89.1(10^{-3})\mathrm{mm}$

结果为负：D 点向左移动（整体缩短了一点点）。而 B 相对 C 的位移只由 BC 段内力决定：

${\delta }_{B/C}=\frac{[-30(10^3)](1)}{1.963(10^{-3})[200(10^9)]}=-76.4(10^{-3})\mathrm{mm}$

负号表示 B 朝靠近 C 的方向移动。白话总结：先画轴力图，再分段代公式，最后看正负号判断方向。

例题 4.4：自重引起的变形（要用积分的情形）

一根倒挂的圆锥体， $\gamma =6kN/{\mathrm{m}}^3$（重度，即单位体积的重量），$E=9\mathrm{GPa}$，长 3 m、底面半径 0.3 m，求自重使底端下移多少。

距自由端 $y$ 处，半径按比例 $x=0.1y$；该截面以下锥体的重量就是内力：

$N(y)=\gamma V=6(10^3)\cdot \frac{\pi (0.01)}{3}{y}^3=62.83y^3\mathrm{N},A(y)=\pi x^2=0.03142y^2$

代入式 (4-1)（这里 N 和 A 都随位置变，必须积分）：

$\delta ={\int }_0^3\frac{62.83y^{3}dy}{0.03142y^2\cdot 9(10^9)}=222.2(10^{-9}){\int }_0^{3}ydy=1\mu \mathrm{m}$

白话：自重引起的伸长其实非常小——这也是为什么短杆自重通常可以忽略。

4.3 叠加原理

复杂受载问题可以拆成几个简单问题分别算，再把结果代数相加。但必须满足两个条件：

1. 载荷与待求量（应力或位移）成线性关系——$\sigma =N/A$ 和 $\delta =NL/AE$ 都满足；
2. 载荷不能显著改变构件的原始几何形状——如果杆被拉得大幅弯曲变形，力的方向和力臂都变了，叠加就失效。

常见坑：大变形不能用叠加

细长杆受大载荷发生明显挠曲时，$Pd\ne P_1{d}_1+P_2{d}_2$（力臂变了），叠加原理不成立。本书绝大多数题目都是小变形，可以放心用，但要清楚前提。

4.4–4.5 超静定问题：平衡方程不够用了怎么办

什么是超静定？

两端固定的杆，中间受 500 N 的力：未知反力有 $F_A$、$F_B$ 两个，平衡方程却只有 1 个（$F_A+F_B=500\mathrm{N}$）。未知数多于方程数，这就是**超静定（statically indeterminate）**问题。

解题靠”三件套”：

1. 平衡方程——受力图 + $\sum F=0$；
2. 变形协调条件（compatibility condition）——由支座约束写出的位移约束关系，比如两端固定则 ${\delta }_{A/B}=0$；
3. 力–位移关系——用 $\delta =NL/AE$ 把位移换成力。

以两端固定杆为例：协调条件 ${\delta }_{A/B}=0$，即 AC 段伸长等于 CB 段缩短：

$\frac{F_A(2\mathrm{m})}{AE}-\frac{F_B(3\mathrm{m})}{AE}=0⟹F_A=1.5F_B$

与平衡方程联立解得 $F_A=300\mathrm{N}$，$F_B=200\mathrm{N}$。

力法（force method）：另一种写协调条件的方式

把某个支座（比如 B）暂时拿掉，结构变成静定结构；外载 P 使 B 下移 ${\delta }_P$，再假设多余未知反力 $F_B$ 使 B 上移 ${\delta }_B$；真实情况 B 不动，所以：

$0={\delta }_P-{\delta }_B$

把两个位移都用 $\delta =NL/AE$ 表达，即可解出 $F_B$，再回代平衡方程求其余反力。两种方法结果一致，选顺手的用。

图 4-10：两端固定杆的超静定分析（受力图与分段内力）

常见坑：有间隙的问题要先判断"接没接上"

如果杆端与墙之间有初始间隙（如例 4.5 的 0.2 mm），要先假设载荷足以把间隙顶死，解出 $F_B$ 后检验：若解得 $F_B>0$，假设成立；若 $F_B<0$，说明根本没碰到墙，按静定问题重算（$F_B=0$）。反过来硬解会得出荒谬结果。

例题 4.5：带 0.2 mm 间隙的超静定杆

直径 10 mm 的钢杆固定于 A，未加载时 B 端与墙 B′ 之间有 0.2 mm 间隙。$P=20\mathrm{kN}$ 作用于中部 C，$E_{st}=200\mathrm{GPa}$，AC = 0.4 m，CB = 0.8 m。求反力。

平衡：$-F_A-F_B+20(10^3)=0$。

协调：假设 B 端已顶到墙，则 ${\delta }_{B/A}=0.0002\mathrm{m}$。

力–位移（$A=\pi (0.005{)}^2$）：

$\frac{F_A(0.4)}{AE}-\frac{F_B(0.8)}{AE}=0.0002$

两式联立解得：

$F_A=16.0\mathrm{kN},F_B=4.05\mathrm{kN}$

$F_B$ 为正，说明确实顶到了墙。白话：间隙问题就是”协调条件不再是 0，而是那个间隙值”。

例题 4.6：两种材料共同受力（并联超静定）

铝柱套黄铜芯，刚性盖板受压 $P=9\mathrm{kip}$。$E_{al}=10(10^3)\mathrm{ksi}$，$E_{br}=15(10^3)\mathrm{ksi}$，铝环截面 $\pi (2^2-1^2)$ in²，铜芯 $\pi (1{)}^2$ in²。求各材料应力。

平衡：$F_{al}+F_{br}=9\mathrm{kip}$。

协调：刚性盖板使两者变形相等：${\delta }_{al}={\delta }_{br}$。

力–位移：$\frac{F_{al}L}{A_{al}{E}_{al}}=\frac{F_{br}L}{A_{br}{E}_{br}}$，代入数据得 $F_{al}=2F_{br}$。联立解得 $F_{al}=6\mathrm{kip}$，$F_{br}=3\mathrm{kip}$，于是：

${\sigma }_{al}=\frac{6}{\pi [(2{)}^2-(1{)}^2]}=0.637\mathrm{ksi},{\sigma }_{br}=\frac{3}{\pi (1{)}^2}=0.955\mathrm{ksi}$

白话：更硬的材料（E 大）分到的力多，本题黄铜应力反而更高。这正是钢筋混凝土柱的分析原理。

4.6 热应力：不使劲也能产生应力

温度变化会让杆自由伸缩，伸缩量与温度变化成正比：

\delta_T = \alpha\,\Delta T\,L \tag{4-4}

• $\alpha$：线膨胀系数（单位 $1{/}^{\circ }\mathrm{C}$ 或 $1{/}^{\circ }\mathrm{F}$，查书末附表，钢材约 $12\times 10^{-6}{/}^{\circ }\mathrm{C}$）；
• $\Delta T$：温度变化量（升温为正）；
• $L$：原长。

静定结构可以自由伸缩，不产生应力（所以桥梁要留伸缩缝）；但超静定结构里伸缩被支座挡住，就产生了热应力——没有外力也有内力！解法还是三件套，只是把”载荷位移”换成”热位移 + 力位移”的组合。

例题 4.10：被夹死的钢杆升温

A-36 钢杆（0.5 in × 0.5 in 方截面）在 $T_1=60^{\circ }\mathrm{F}$ 时恰好夹在两固定墙之间，升温到 $T_2=120^{\circ }\mathrm{F}$。求热应力。

平衡：$F_A=F_B=F$（一个未知力，超静定）。

协调：${\delta }_{A/B}=0$，即”想膨胀的量”被”力压回去的量”抵消：

$0=\alpha \Delta TL-\frac{FL}{AE}⟹F=\alpha \Delta TAE$

代入 $\alpha =6.60(10^{-6}){/}^{\circ }\mathrm{F}$、$\Delta T=60^{\circ }\mathrm{F}$、$E=29(10^3)\mathrm{ksi}$：

$\sigma =\frac{F}{A}=\alpha \Delta TE=6.60(10^{-6})(60)[29(10^3)]=11.5\mathrm{ksi}\text{(压)}$

白话：注意 $\sigma =\alpha \Delta TE$ 与杆长、截面尺寸都无关——温度变化在刚性约束下能产生相当可观的压力，这正是铁轨留缝、管道装膨胀节的原因。

4.7 应力集中：截面突变处的”尖峰应力”

拉伸带孔杆或带过渡圆角的杆时，孔边/圆角根部的应力远大于平均值。因为设计只需知道最大应力，工程上用应力集中系数 $K$（由实验曲线图 4-23、4-24 查得，只与几何尺寸比有关）：

K = \frac{\sigma_{max}}{\sigma_{avg}} \tag{4-6}

其中 ${\sigma }_{avg}=N/A$ 用最小净截面面积计算。于是 ${\sigma }_{max}=K(N/A)$。

图 4-20：带孔板拉伸时孔边的应力集中

图 4-21：凸肩圆角过渡处的应力集中

什么时候必须考虑 $K$？——脆性材料（一旦超比例极限就开裂，裂缝尖端又造成更高集中，裂纹迅速扩展至突然断裂）和疲劳载荷。延性材料受静载时通常不用管：局部屈服后应力会重新分布，材料有”储备强度”。

减小应力集中的设计手段：加大圆角半径 $r$（$r\to 0$ 的尖角时 $K>3$！）、在过渡区开卸荷槽或小孔。

例题 4.13：带圆角钢杆的两种”最大载荷”

钢杆（弹性理想塑性，${\sigma }_Y=250\mathrm{MPa}$）带圆角过渡：$w=40$ mm、$h=32$ mm、厚 2 mm、圆角 $r=4$ mm。求 (a) 不屈服的最大弹性载荷；(b) 能承受的极限载荷。

(a) 弹性分析：查几何比 $\frac{r}{h}=\frac{4}{32}=0.125$，$\frac{w}{h}=\frac{40}{32}=1.25$，由图得 $K\approx 1.75$。令 ${\sigma }_{max}={\sigma }_Y$：

$250(10^6)=1.75\cdot \frac{N_Y}{(0.002)(0.032)}⟹N_Y=9.14\mathrm{kN}$

(b) 塑性分析：载荷继续增大，孔边先屈服，塑性区逐渐扩展，直到整个最小截面都达到 ${\sigma }_Y$，此时应力分布均匀，为塑性载荷：

$N_p={\sigma }_{Y}A=250(10^6)(0.002)(0.032)=16.0\mathrm{kN}$

白话：延性材料”屈服重分布”让实际承载能力比弹性分析高不少——这就是为什么延性材料静载下可以不理会应力集中。

*4.8–4.9 非弹性变形与残余应力（了解即可）

弹性理想塑性（elastoplastic）模型：应力达到 ${\sigma }_Y$ 后不再增加，应变无限增长。带孔杆加载时，孔边先屈服→塑性区向外扩展→整个净截面屈服时达到塑性载荷 $N_p={\sigma }_{Y}A$。

残余应力（residual stress）：对超静定结构加载到塑性再卸载，会发生什么？卸载是纯弹性的（沿弹性斜率回退）。把”加载”和”反向弹性卸载”叠加：外力抵消了，但两套应力分布不相等，差值就是残留在构件里的应力。它可以使局部残余压应力，工程上用来提高疲劳寿命。

通关标准：

1. 能默写 $\delta ={\int }_0^L\frac{Ndx}{AE}$ 及其两个特例，并说明推导链条：$\sigma =N/A\to$ 胡克定律 $\to ϵ=d\delta /dx$。
2. 给任意分段杆能独立完成：画轴力图 → 逐段 $\sum NL/AE$ → 正负号判断方向。
3. 超静定三件套（平衡 + 协调 + 力–位移）能套用到：固定端杆、间隙问题、双材料并联柱、热应力问题。
4. 能说明热应力公式 $\sigma =\alpha \Delta TE$ 为什么与尺寸无关。
5. 知道应力集中系数 $K$ 怎么查、什么时候必须考虑（脆性/疲劳），什么时候可以忽略（延性静载）。

自测：公式 $\delta =NL/AE$ 的适用前提是什么？

三条：① 材料线弹性（未屈服，胡克定律成立）；② 内力 N、面积 A、弹性模量 E 在该段内为常数（否则要用积分式 4-1）；③ 圆截面等直杆上按圣维南原理忽略加载点附近的局部效应。

自测：为什么超静定问题必须引入变形协调条件？

因为平衡方程的数目少于未知反力数目，仅靠平衡无法解出全部反力。协调条件来自支座对位移的约束（如两端固定则总伸长为零），它提供了补充方程；再配合力–位移关系 $\delta =NL/AE$ 把位移翻译成力，方程组才封闭。

自测：一根钢杆两端刚性固定，升温 $\Delta T$，横截面增大一倍后热应力怎么变？

不变。刚性约束下热应力 $\sigma =\alpha \Delta TE$ 只与材料和温差有关，与截面积无关（面积增大时，约束力 F 同比例增大，应力不变）。

自测：延性钢杆中间开一个小孔，静载拉伸设计时需要考虑应力集中吗？疲劳载荷呢？

静载不需要：孔边先屈服，应力重新分布，杆不会立即破坏，最终由净截面塑性承载控制。疲劳载荷必须考虑：循环应力下孔边反复屈服会萌生裂纹并扩展，导致突然断裂。

自测：例 4.5 中如果解出的 $F_B$ 是负值，说明什么？

说明杆端 B 根本没有接触到墙 B′（0.2 mm 间隙没被顶死），B 处实际上没有反力，问题退化为静定：$F_B=0$、$F_A=20\mathrm{kN}$。负值是”假设接触”这一前提被否定的信号。