第05章 扭转：圆轴的切应力与扭转角

这一篇在干嘛？

汽车传动轴、电机主轴这些”被拧”的杆件叫轴（shaft）。本章研究圆轴受扭矩后：横截面上切应力怎么分布（扭转公式 $\tau =Tc/J$）、轴拧转了多少角度（$\varphi =TL/JG$），以及超静定轴、非圆截面轴、薄壁管的处理方法。

5.1 圆轴的扭转变形：切应变沿半径线性分布

对橡胶轴施加扭矩，会发现：纵向网格线扭成了螺旋线，但横截面保持平面（不翘曲、不鼓出），径向线保持直线只是转了一个角度。假设轴一端固定，距固定端 $x$ 处的径向线转过的角度 $\varphi (x)$ 称为扭转角（angle of twist）。

图 5-2a：轴受扭后各横截面绕轴线相继转动

图 5-2b：小微元两侧面转过 $d\varphi$，产生切应变 γ

取厚 $dx$ 的圆盘微元，前后两面分别转过 $\varphi (x)$ 和 $\varphi (x)+d\varphi$，相对转角 $d\varphi$ 使材料产生切应变 $\gamma$。由几何关系（红弧长度 $\rho d\varphi =dx\cdot \gamma$）：

\gamma = \rho\,\frac{d\phi}{dx} \tag{5-1}

由于同一截面上 $d\varphi /dx$ 处处相同，记外半径为 $c$，可得：

\gamma = \left(\frac{\rho}{c}\right)\gamma_{max} \tag{5-2}

白话：切应变从轴心处的 0，沿半径线性增大到表面的 ${\gamma }_{max}$——离轴心越远的材料被”拧”得越厉害。注意这个结论来自纯几何关系，与材料是什么无关。

5.2 扭转公式：τ = Tc/J

推导思路

材料线弹性时胡克定律 $\tau =G\gamma$ 成立（$G$ 为剪切模量），切应变线性 → 切应力也沿半径线性分布：

\tau = \left(\frac{\rho}{c}\right)\tau_{max} \tag{5-3}

图 5-3：切应力沿径向线性分布，轴心为零，表面最大

截面上每个微面积 $dA$ 受切力 $dF=\tau dA$，对轴线的力矩为 $\rho dF$，全部加起来必须等于内扭矩 $T$：

$T={\int }_A\rho (\tau dA)=\frac{{\tau }_{max}}{c}{\int }_A{\rho }^{2}dA$

积分 ${\int }_A{\rho }^{2}dA$ 就是截面的极惯性矩 $J$（polar moment of inertia），于是得到扭转公式：

\tau_{max} = \frac{Tc}{J}, \qquad \tau = \frac{T\rho}{J} \tag{5-6 / 5-7}

白话：扭矩越大、点离轴心越远，切应力越大；$J$ 越大（截面越”粗壮”），应力越小。

极惯性矩 J（实心与空心）

用半径 $\rho$、厚 $d\rho$ 的细圆环作微元（$dA=2\pi \rho d\rho$）积分：

实心圆截面：

J = \int_0^c \rho^2(2\pi\rho\,d\rho) = \frac{\pi}{2}c^4 \tag{5-8}

空心圆管（内半径 $c_i$、外半径 $c_o$）：用大圆减去小圆：

J = \frac{\pi}{2}\left(c_o^4 - c_i^4\right) \tag{5-9}

白话：$J$ 与半径的四次方成正比——半径加倍，抗扭能力变成 16 倍。这也是为什么”省料”的空心轴很划算：材料集中在远离轴心处，那里应力最大、贡献的力臂也最大。

切应力的”孪生”分布

由切应力互等定理，横截面上的切应力必然伴随轴向纵截面上等值的切应力。这就是为什么木轴受扭过大时会沿纤维方向纵向劈裂——木材顺纹抗剪远弱于横纹抗剪。

常见坑：扭转公式的适用条件

1. 必须圆截面（实心或空心）——非圆截面受扭会翘曲，公式失效；
2. 材料均匀且线弹性——推导用了 $\tau =G\gamma$，超过比例极限就作废；
3. 计算用截面法求内扭矩时别忘了轴承不产生反扭矩；
4. 单位要配套：N·m、m、Pa；或 lb·in、in、psi。

例题 5.1：实心轴与空心管各能扛多大扭矩

材料许用切应力 $[\tau ]=75\mathrm{MPa}$。实心轴半径 0.1 m；空心管外半径 0.1 m、内半径 0.075 m。求各自允许的最大扭矩。

截面性质：

$J_s=\frac{\pi }{2}(0.1{)}^4=0.1571(10^{-3}){\mathrm{m}}^4,J_t=\frac{\pi }{2}\left[(0.1{)}^4-(0.075{)}^4\right]=0.1074(10^{-3}){\mathrm{m}}^4$

由 ${\tau }_{max}=Tc/J$ 反解 T：

$T_s=\frac{75(10^6)(0.1571(10^{-3}))}{0.1}=118\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m},T_t=80.5\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$

白话：空心管省了约 44% 的材料（面积比），却还能扛 68% 的扭矩——空心轴的性价比一目了然。

例题 5.3：管壁内外的切应力差多少

管内半径 40 mm、外半径 50 mm，端部被扭矩扳手拧紧，截面法求得内扭矩 $T=40\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$。求内外壁切应力。

$J=\frac{\pi }{2}\left[(0.05{)}^4-(0.04{)}^4\right]=5.796(10^{-6}){\mathrm{m}}^4$

${\tau }_o=\frac{T{c}_o}{J}=\frac{40(0.05)}{5.796(10^{-6})}=0.345\mathrm{MPa},{\tau }_i=\frac{T{c}_i}{J}=\frac{40(0.04)}{5.796(10^{-6})}=0.276\mathrm{MPa}$

白话：管壁越薄，内外壁应力越接近——这是下一节”薄壁近似”的物理基础。

5.3 功率传输：由马力算扭矩

轴传输的功率 = 扭矩 × 角速度：

P = T\omega \tag{5-10}

SI 制中 P 单位为瓦特（$1\mathrm{W}=1\mathrm{N}\cdot m/s$）。工程上常用频率 $f$（转/秒，Hz）表示转速，因 $1$ 转 $=2\pi$ 弧度，$\omega =2\pi f$，故：

P = 2\pi f T \tag{5-11}

轴设计流程：由 $T=P/2\pi f$ 求扭矩 → 由扭转公式按许用应力定尺寸：

\frac{J}{c} = \frac{T}{\tau_{allow}} \tag{5-12}

白话：实心轴代入 $J/c=\pi c^3/2$ 直接解出半径 $c={\left(\frac{2T}{\pi {\tau }_{allow}}\right)}^{1/3}$；空心轴则可先任选一个半径再解另一个。

例题 5.4：传输 5 hp 需要多粗的钢轴

实心钢轴传输 $5\mathrm{hp}$，转速 $\omega =175\mathrm{rpm}$，$[\tau ]=14.5\mathrm{ksi}$，求直径（取 1/8 in 整数倍）。

换算：$P=5\times 550=2750\mathrm{ft}\cdot lb/s$；$\omega =175\times \frac{2\pi }{60}=18.33rad/s$。

扭矩：$T=P/\omega =2750/18.33=150.1\mathrm{ft}\cdot \mathrm{lb}$。

定半径：

$c={\left(\frac{2(150.1)(12)}{\pi (14500)}\right)}^{1/3}=0.429\mathrm{in}$

直径 $2c=0.858\mathrm{in}$，向上取整选 $d=\frac{7}{8}\mathrm{in}=0.875\mathrm{in}$。白话：转速越低，同样功率所需扭矩越大，轴就得越粗——低速重载轴都特别粗壮。

5.4 扭转角：轴到底拧了多少度

公式推导（与拉压变形完全平行）

对厚 $dx$ 的微元，由式 (5-1)、胡克定律和扭转公式得 $d\varphi =\frac{T(x)}{J(x)G(x)}dx$，积分：

\phi = \int_0^L \frac{T(x)\,dx}{J(x)G(x)} \tag{5-14}

$T$、$J$、$G$ 沿轴不变时退化为最常用形式：

\phi = \frac{TL}{JG} \tag{5-15}

分段常数的情形（多扭矩、阶梯轴）逐段求和：

\phi = \sum\frac{TL}{JG} \tag{5-16}

白话：这套公式与拉压的 $\delta =NL/AE$ 结构完全一样——$JG$ 扮演”抗扭刚度”的角色（对应 $AE$）。实验室正是用 $\varphi =TL/JG$ 反测材料的 $G$。

符号约定：右手定则

图 5-15：右手定则——拇指指向背离截面方向，四指弯曲方向即扭矩正方向

扭矩和扭转角：拇指背离被切截面、四指沿扭矩转向为正。逐段代公式时每段内扭矩的正负必须遵守同一约定。

常见坑：扭转角计算

1. 结果单位是弧度（rad），题目问”度”要乘 $180/\pi$；同样 $\omega$ 用 rad/s，rpm 要换算。
2. 各段扭矩的正负号搞反——先画扭矩图再算，方向一目了然。
3. 齿轮连接的两根轴：先算齿轮啮合力传递的扭矩（$T_2=T_1\times r_2/r_1$），再分别对每根轴分析，啮合点转角满足 ${\varphi }_1{r}_1={\varphi }_2{r}_2$。

例题 5.5：三段扭矩的轴

A-36 钢轴直径 200 mm，AB 段 $+80\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$（长 3 m），BC 段 $-70\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$（长 2 m），CD 段 $-10\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$（长 1.5 m）。求 A 端扭转角。$G=75\mathrm{GPa}$。