第03章 材料的力学性能：拉伸试验与胡克定律

这一篇在干嘛？

前两章分别定义了应力和应变，本章把它们”连起来”：对材料做拉伸/压缩试验，画出应力-应变曲线（σ–ε 图），从中读出弹性模量 E、屈服强度、极限强度等力学性能。学完你就知道工程师嘴里的”E=200 GPa""屈服点""延伸率”到底从哪来，并掌握胡克定律 $\sigma =Eϵ$、泊松比 $\nu$ 和剪切胡克定律 $\tau =G\gamma$ 这三大弹性常数关系。

1. 拉伸试验：材料性能的”体检”

材料的强度必须靠实验测定。最重要的试验就是拉伸/压缩试验（tension/compression test）：

1. 把材料做成标准试样：中间等直段、两端加粗（保证断裂发生在中部测量区），典型金属试样 $d_0=13\mathrm{mm}$，标距（gage length，两冲点间距离）$L_0=51\mathrm{mm}$。
2. 记录原始横截面积 $A_0$ 和标距 $L_0$。
3. 在万能试验机上以极慢、恒定的速率拉伸，逐点记录载荷 $P$ 和伸长量 $\delta$（用引伸计或电阻应变片直接测应变）。

2. 工程应力-应变曲线

2.1 名义（工程）应力与应变

把测得的载荷与变形换算为始终用原始尺寸定义的量：

$$\sigma =\frac{P}{A_0}$$ $$ϵ=\frac{\delta }{L_0}$$

• $\sigma$：工程应力（工程上直接叫”应力”），$P$ 为载荷（N），$A_0$ 为原始横截面积（m²）；
• $ϵ$：工程应变，$\delta$ 为标距伸长量（m），$L_0$ 为原始标距（m）。

以 $\sigma$ 为纵轴、$ϵ$ 为横轴作图，得到常规应力-应变图。注意：同一材料两次试验的曲线相似但不会完全相同——成分、微观缺陷、加工方式、加载速率、温度都有影响。

2.2 韧性金属的四个阶段

以低碳钢（软钢）为例，曲线可分为四个特征阶段：

① 弹性阶段（elastic behavior）：初始阶段曲线是直线，直到比例极限 ${\sigma }_{pl}$。此时卸载，试样完全恢复原状——材料没有受伤。

② 屈服阶段（yielding）：应力略超过弹性极限后，材料开始永久变形。引起屈服的应力叫屈服应力/屈服点 ${\sigma }_Y$，由此产生的变形叫塑性变形（plastic deformation）。低碳钢在此阶段有一个有趣现象：先出现上屈服点，随后承载能力突降为下屈服点，然后载荷几乎不增加而应变持续增长——材料表现得像理想塑性（perfectly plastic）。

③ 应变硬化阶段（strain hardening）：屈服结束后，材料要”扛”更大的应力才能继续变形，曲线重新上升（但越来越平缓），直到峰值——极限应力 ${\sigma }_u$。白话：材料被”锻炼”得更硬了。

④ 颈缩阶段（necking）：过了极限应力后，变形集中到某一局部区域，截面局部收缩形成”颈（neck）“，曲线开始下降，直到在断裂应力 ${\sigma }_f$ 处断开。

2.3 真应力-真应变：为什么工程曲线会”下降”

如果改用当时真实的截面积 $A$ 和长度 $L$ 计算，得到真应力-真应变曲线。两条曲线在小应变段几乎重合；进入颈缩段后，工程曲线看似”应力下降”，其实是因为 $A_0$ 不变——真实材料承载的应力其实一直在增加（真曲线持续上升直到断裂）。

为什么工程上还用工程曲线？因为绝大多数设计只发生在弹性范围内，此段工程值与真值的误差仅约 0.1%，完全可接受。

2.4 软钢实例：把数字读出来

一根典型低碳钢试样的完整数据：

特征点	应力	应变
比例极限 ${\sigma }_{pl}$	35 ksi (241 MPa)	${ϵ}_{pl}=0.0012$
上/下屈服点	38 / 36 ksi (262 / 248 MPa)	屈服结束 ${ϵ}_Y=0.030$
极限应力 ${\sigma }_u$	63 ksi (434 MPa)	—
断裂应力 ${\sigma }_f$	47 ksi (324 MPa)	${ϵ}_f=0.380$

两个惊人的对比：屈服阶段末的应变是比例极限应变的 25 倍；断裂应变是它的 317 倍。弹性段其实只占曲线极小一角。

3. 胡克定律与弹性模量 E

比例极限以内，应力与应变成正比——这是 Hooke 于 1676 年用弹簧发现的规律：

$$\sigma =Eϵ$$

• $\sigma$：正应力（Pa 或 psi）；
• $ϵ$：正应变，无量纲；
• $E$：弹性模量（modulus of elasticity）/ 杨氏模量（Young’s modulus），即 σ–ε 直线段的斜率，量纲与应力相同。

由软钢数据：$E={\sigma }_{pl}/{ϵ}_{pl}=35\mathrm{ksi}/0.0012=29\times 10^3\mathrm{ksi}$（约 200 GPa）。

重要事实：从最软的熟铁到最硬的工具钢，各种钢的 E 都约等于 200 GPa——含碳量改变的是强度，几乎不改变”刚度”。

适用条件（必背）：胡克定律只在线弹性范围有效。应力超过比例极限后曲线不再是直线，$\sigma =Eϵ$ 立即失效。

刚度 ≠ 强度

E 度量刚度（stiffness）——抵抗弹性变形的能力：钢 $E\approx 200\mathrm{GPa}$（很硬），硫化橡胶 $E\approx 0.69\mathrm{MPa}$（很软）。强度（屈服/极限应力）度量能扛多大应力。硬的材料不一定强，强的材料也不一定硬。

4. 韧性材料与脆性材料

4.1 韧性材料（ductile）

断裂前能承受大应变的材料，如低碳钢、黄铜、铝。优点：能吸收冲击能量；过载时先出现明显变形（可预警）再失效。韧性的度量：

延伸率（percent elongation）：

$$\text{延伸率}=\frac{L_f-L_0}{L_0}(100\%)$$

断面收缩率（percent reduction of area）（在颈缩区测量）：

$$\text{断面收缩率}=\frac{A_0-A_f}{A_0}(100\%)$$

软钢典型值：延伸率约 38%，断面收缩率约 60%。

4.2 铝合金：没有明显屈服点怎么办？——偏移法

铝在弹性段之后直接进入应变硬化，没有平台状的屈服点。工程上用偏移法（offset method）人为定义屈服强度 ${\sigma }_{YS}$：从横轴上 0.2% 应变（0.002）处作一条平行于初始直线段的线，它与曲线的交点即屈服强度。图中铝合金 ${\sigma }_{YS}=51\mathrm{ksi}$ (352 MPa)。

注意：屈服强度不是材料的物理属性（它取决于人为规定的永久应变值）；为简化计算，本书约定屈服强度、屈服点、弹性极限、比例极限重合，除非另加说明。

4.3 脆性材料（brittle）

屈服很小或没有屈服就突然断裂的材料，典型：灰铸铁、混凝土、玻璃。特征：

• 抗拉弱：灰铸铁拉伸断裂应力仅约 ${\sigma }_f=22\mathrm{ksi}$ (152 MPa)，且离散性大（裂纹出现位置随机），只能报平均值；
• 抗压强：压缩时内部裂纹被压闭合，试件鼓成桶状，抗压能力远高于抗拉。混凝土的抗压强度约为抗拉强度的 12.5 倍（${\sigma }_c\approx 5\mathrm{ksi}$ vs ${\sigma }_t\approx 0.40\mathrm{ksi}$）——所以混凝土几乎总是配钢筋来承担拉力。

韧性/脆性不是材料的"身份证"

大多数材料兼具两种行为：高含碳量的钢变脆，低碳钢韧；低温使材料变硬变脆，高温使其变软变韧。这是冬季结构事故和火灾中钢构件软化失效的共同根源。

5. 加载-卸载：永久变形与应变硬化

把韧性材料拉过屈服点到 $A^{\prime }$ 再卸载，材料沿平行于初始直线段的路径 $A^{\prime }{O}^{\prime }$ 回退（弹性应变恢复），但留下永久变形 $O{O}^{\prime }$（塑性应变保留）——拉直的回形针弯一下会回弹一点，但回不到原样，就是这个道理。

关键结论：

1. 卸载-再加载路径的斜率不变（还是 E）；
2. 再加载时，新的屈服点提高到 $A^{\prime }$——材料被**应变硬化（strain hardening）**了；
3. 代价是塑性区（韧性储备）变小：强度换韧性。

6. 应变能：能量视角看应力-应变曲线

外力使材料变形时对它做功，这些功以应变能（strain energy）的形式储存在材料内。单位体积储存的能量叫应变能密度（strain energy density）：

$$u=\frac{\Delta U}{\Delta V}=\frac{1}{2}\sigma ϵ$$

线弹性时代入胡克定律：

$$u=\frac{1}{2}\frac{{\sigma }^2}{E}$$

• $u$：应变能密度（$J/{\mathrm{m}}^3$，即 Pa）；
• 系数 $\frac{1}{2}$：因为载荷从零线性增加到终值，功 = 平均力 × 位移。

两个重要的”面积”：

• 回弹模量（modulus of resilience）$u_r$：应力达到比例极限时的应变能密度，等于 σ–ε 图弹性段下的三角形面积：

$$u_r=\frac{1}{2}{\sigma }_{pl}{ϵ}_{pl}=\frac{1}{2}\frac{{\sigma }_{pl}^2}{E}$$

物理意义：材料不产生任何永久损伤能吸收的最大能量——设计缓冲器、减震器时的关键指标。

• 韧度模量（modulus of toughness）$u_t$：σ–ε 曲线从原点到断裂的整个面积——断裂前能吸收的最大能量，对可能意外过载的构件至关重要。

例题 3.1：从 σ–ε 图读性能

某钢合金拉伸试验曲线如图。求弹性模量、按 0.2% 偏移的屈服强度，并标出极限应力与断裂应力。

解：

弹性模量 = 初始直线段斜率。放大图上直线从 O 到 A(0.0016, 50 ksi)：

$$E=\frac{50\mathrm{ksi}}{0.0016in./in.}=31.2\times 10^3\mathrm{ksi}$$

屈服强度（0.2% 偏移）：从 $ϵ=0.0020$ 处作平行于 OA 的虚线交曲线于 A′：

$${\sigma }_{YS}=68\mathrm{ksi}$$

极限应力（曲线峰值 B 点）：${\sigma }_u=108\mathrm{ksi}$。

断裂应力（最大应变 ${ϵ}_f=0.23$ 处 C 点）：${\sigma }_f=90\mathrm{ksi}$。

结论： 注意 ${\sigma }_f<{\sigma }_u$——工程曲线上断裂点比峰值”低”，这是颈缩段原始面积未修正的假象（见 2.3 节）。

例题 3.2：卸载后的永久变形与回弹模量变化

铝合金试样被拉到 $\sigma =600\mathrm{MPa}$（已超过屈服，对应应变约 0.023），然后卸载。求永久应变，以及加载前后的回弹模量。图中比例极限对应点 (0.006, 450 MPa)。

解：

第一步：求 E（卸载线与初始直线平行，斜率相同）。

$$E=\frac{450\mathrm{MPa}}{0.006}=75.0\mathrm{GPa}$$

第二步：求卸载恢复的弹性应变。 卸载线从 B(0.023, 600 MPa) 斜率 75 GPa 回到横轴：

$$CD=\frac{600\times 10^6}{75.0\times 10^9}=0.008mm/mm$$

第三步：永久应变 = 总应变 − 弹性恢复。

$${ϵ}_{OC}=0.023-0.008=0.0150mm/mm$$

第四步：回弹模量对比。

$$(u_r{)}_{\text{初}}=\frac{1}{2}(450)(0.006)=1.35MJ/{\mathrm{m}}^3,(u_r{)}_{\text{终}}=\frac{1}{2}(600)(0.008)=2.40MJ/{\mathrm{m}}^3$$

结论： 应变硬化使回弹模量升高（弹性区更”壮”了），但韧度模量下降（原曲线下总面积 OABF > 新曲线 CBF）——印证第 5 节”强度换韧性”。

例题 3.3：混合弹性/塑性变形的杆件伸长

铝杆 AB 段直径 20 mm、长 600 mm；BC 段直径 15 mm、长 400 mm，受轴向拉力 10 kN。σ–ε 图显示屈服点 ${\sigma }_Y=40\mathrm{MPa}$，$\sigma =56.59\mathrm{MPa}$ 对应 $ϵ\approx 0.045$。求杆的总伸长。$E_{al}=70\mathrm{GPa}$。

解：

第一步：分别算两段应力。

$${\sigma }_{AB}=\frac{10\times 10^3}{\pi (0.01{)}^2}=31.83\mathrm{MPa}<{\sigma }_Y(\text{弹性}),{\sigma }_{BC}=\frac{10\times 10^3}{\pi (0.0075{)}^2}=56.59\mathrm{MPa}>{\sigma }_Y(\text{塑性})$$

第二步：弹性段用胡克定律，塑性段查曲线。

$${ϵ}_{AB}=\frac{31.83\times 10^6}{70\times 10^9}=0.0004547,{ϵ}_{BC}\approx 0.045\text{（查图）}$$

第三步：分段求和。

$$\delta =\Sigma ϵL=0.0004547(600)+0.0450(400)=18.3\mathrm{mm}$$

结论： 细段 BC 已屈服，贡献了几乎全部伸长。同一根杆内可以一段弹性、一段塑性——逐段判断材料处于哪个阶段是这类题的解题钥匙。

7. 泊松比：拉长的同时会变细

杆受轴向拉伸伸长 $\delta$ 的同时，横向尺寸会收缩 ${\delta }^{\prime }$（橡皮筋拉长会变细， rubber 块受压会横向鼓出）。两个方向的应变：

$${ϵ}_{\mathrm{long}}=\frac{\delta }{L},{ϵ}_{\mathrm{lat}}=\frac{{\delta }^{\prime }}{r}$$

弹性范围内，两者之比是材料常数——泊松比（Poisson’s ratio）：

$$\nu =-\frac{{ϵ}_{\mathrm{lat}}}{{ϵ}_{\mathrm{long}}}$$

• $\nu$（nu）：无量纲；负号保证 ν 为正值（纵向伸长 → 横向收缩）；
• 适用条件：材料均质、各向同性，且只有轴向力作用（横向没有外力）；
• 理论范围 $0\le \nu \le 0.5$，多数密实固体在 0.25 ~ 0.35 之间（钢约 0.32）。

8. 剪切胡克定律与三大常数的关系

对材料做薄壁管扭转试验可得切应力-切应变（τ–γ）曲线，形状与拉伸曲线类似：线弹性段、比例极限 ${\tau }_{pl}$、极限切应力 ${\tau }_u$、断裂 ${\tau }_f$。

弹性范围内：

$$\tau =G\gamma$$

• $\tau$：切应力（Pa）；$\gamma$：切应变（rad，无量纲）；
• $G$：剪切模量（shear modulus）/ 切变模量（modulus of rigidity），τ–γ 直线段斜率，量纲与应力相同。

三个弹性常数不是独立的，它们满足：

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

白话：知道 E 和 ν 就能算出 G，不必再做扭转试验。用钢检验：$G=200/(2\times 1.32)\approx 76\mathrm{GPa}$，与实测一致。

例题 3.4：A-36 钢杆的轴向伸长与横向收缩

矩形截面钢杆（100 mm × 50 mm × 长 1.5 m），$E_{st}=200\mathrm{GPa}$，${\nu }_{st}=0.32$，受轴向拉力 $P=80\mathrm{kN}$。求长度变化与横截面尺寸变化。

解：

第一步：轴向应力与应变。

$${\sigma }_z=\frac{80\times 10^3}{(0.1)(0.05)}=16.0\mathrm{MPa},{ϵ}_z=\frac{16.0\times 10^6}{200\times 10^9}=80\times 10^{-6}$$

第二步：轴向伸长。

$${\delta }_z={ϵ}_z{L}_z=[80\times 10^{-6}](1.5\mathrm{m})=120\mu \mathrm{m}$$

第三步：横向应变与尺寸变化。

$${ϵ}_x={ϵ}_y=-\nu {ϵ}_z=-0.32[80\times 10^{-6}]=-25.6\mu m/m$$ $${\delta }_x=-25.6\times 10^{-6}(0.1)=-2.56\mu \mathrm{m},{\delta }_y=-25.6\times 10^{-6}(0.05)=-1.28\mu \mathrm{m}$$

结论： 拉长 0.12 mm 的同时，宽度和厚度分别缩小约 2.6 μm 和 1.3 μm。变形虽小，精密机械和过盈配合设计中必须考虑。

例题 3.5：从 τ–γ 图求 G 与最大弹性位移

钛合金扭转试验：τ–γ 图直线段 OA 终点 (0.008 rad, 52 ksi)，峰值 ${\tau }_u=73\mathrm{ksi}$。一块 3 in.×4 in.×2 in. 的该材料方块，顶面受剪切力 V 时保持弹性。求 G、比例极限、以及顶面最大水平位移 d 和所需的 V。

解：

剪切模量（直线段斜率）：

$$G=\frac{52\mathrm{ksi}}{0.008\mathrm{rad}}=6500\mathrm{ksi}$$

比例极限：${\tau }_{pl}=52\mathrm{ksi}$（A 点之后曲线弯折）。

最大弹性位移：最大弹性切应变 0.008 rad 极小，$\tan \gamma \approx \gamma$：

$$d=\gamma \times 2in.=0.008(2)=0.016in.$$

所需剪力（切应力均布在 3×4 的顶面上）：

$${\tau }_{\mathrm{avg}}=\frac{V}{A}\Rightarrow V=52\mathrm{ksi}\times (3)(4)\mathrm{i}{\mathrm{n}}^2=624\mathrm{kip}$$

结论： 弹性范围内位移只有千分之几英寸，却需要 624 kip 的巨力——金属的剪切刚度非常高。

9. 蠕变与疲劳：时间会”偷走”强度

前面的讨论都基于”静载、常温”。两种工况会额外折损材料强度：

蠕变（creep）：材料长期承载时随时间持续的永久变形。金属/陶瓷在高温下最明显；聚合物、木材、混凝土即使常温也会长期蠕变（橡皮筋长期绷着就回不去了）。设计指标是蠕变强度：指定时间内不超过允许蠕变应变的最大应力（如螺栓用钢按每年 0.1% 蠕变应变控制）。

疲劳（fatigue）：应力反复循环时，表面微观缺陷处形成微裂纹，裂纹尖端应力集中使裂纹在每次循环中扩展，最终截面积不足以承载而突然断裂——即使是韧性材料，疲劳断口也呈脆性特征，且断裂应力低于屈服应力。发动机连杆、曲轴、桥梁支承、车轮车轴的大量失效源于疲劳。设计指标是疲劳极限/持久极限（endurance limit）：循环次数足够多也不失效的最大应力。由 S–N 图（应力-循环次数曲线）确定：软钢有明确平台值约 $(S_{el}{)}_{st}=27\mathrm{ksi}$ (186 MPa)；铝合金没有明确平台，通常规定 5 亿次循环对应约 $(S_{el}{)}_{al}=19\mathrm{ksi}$ (131 MPa)。

10. 全章方法总结

1. 拉伸试验 → σ–ε 曲线 → 读四个关键点：比例极限、屈服点、极限应力、断裂应力。
2. 弹性段三件套：$\sigma =Eϵ$、$\tau =G\gamma$、$G=E/2(1+\nu )$。
3. 变形计算套路：先算应力 σ=N/A → 判断是否超过 ${\sigma }_Y$ → 弹性用胡克定律、塑性查曲线 → $\delta =\Sigma ϵL$。
4. 卸载问题：卸载线平行于初始直线（斜率 E），永久应变 = 总应变 − 弹性恢复。
5. 能量指标：$u_r$（弹性三角形面积）、$u_t$（全部曲线下面积）。

常见坑

胡克定律越界使用。$\sigma =Eϵ$ 只在比例极限以内成立；例题 3.3 中若对已屈服的 BC 段还套胡克定律，伸长会被低估约 100 倍。同理，卸载后求永久变形时，很多人忘记卸载线斜率仍是 E，而不是沿原曲线退回原点。另外注意区分 E（刚度）与 ${\sigma }_Y$（强度）——“更硬”和”更强”是两回事。

通关标准：

学完本篇你应该能做到：①画出任韧性金属 σ–ε 曲线并标出 ${\sigma }_{pl},{\sigma }_Y,{\sigma }_u,{\sigma }_f$ 四个特征点及四个阶段；②用 0.2% 偏移法确定无明显屈服点材料的屈服强度；③在弹性范围内用 $\sigma =Eϵ$、$\nu =-{ϵ}_{lat}/{ϵ}_{long}$、$G=E/2(1+\nu )$ 互相换算并计算变形（含横向效应）；④处理加载-卸载问题求永久应变；⑤区分回弹模量与韧度模量并从曲线面积理解其意义；⑥说出蠕变与疲劳的机理和设计对策。

自测：为什么工程 σ–ε 曲线在颈缩段会"下降"？材料真的变弱了吗？

没有变弱。工程应力用原始面积 $A_0$ 计算，颈缩后实际承载面积局部急剧减小，真实应力（除以当时的 A）一直在上升。下降只是分母失真的假象，工程上仍用工程曲线是因为设计只在弹性段，误差约 0.1%。

自测：钢和铝合金的 E 都约 200 GPa（钢）/70 GPa（铝），含碳量更高的钢会更"硬"吗？

不会明显更硬。从软钢到工具钢，E 基本都是 200 GPa 左右；提高含碳量提升的是强度（屈服/极限应力），不是刚度。刚度由 E 决定，几乎不随热处理和合金成分变化。

自测：为什么混凝土梁几乎一定要配钢筋？

混凝土是脆性材料，抗压强度约为抗拉强度的 12.5 倍（5 ksi vs 0.40 ksi）。梁受弯时下侧受拉，素混凝土会被拉裂；钢筋承担全部拉力、混凝土承担压力，二者取长补短。

自测：6061-T6 铝合金没有明显屈服点，规范为什么还能给出"屈服强度"？

用 0.2% 偏移法：从横轴 0.002 处作平行于弹性直线段的线，交曲线的应力值即屈服强度。它是人为约定的”产生 0.2% 永久应变所对应的应力”，不是物理属性，但为设计提供了统一基准。

自测：应变硬化后材料变"强"了，为什么还说有代价？

卸载再加载时新屈服点提高、弹性区扩大，但塑性区（韧度储备）减小、韧度模量下降。材料吸收冲击能量的能力变差，过载时更接近突然失效——强度与韧性是一对交换。