第02章 应变：变形的度量

这一篇在干嘛？

第1章的应力回答”内部扛了多少力”，本章的应变回答”变形了多少”。受力会让物体改变形状和尺寸（变形，deformation），本章定义两种最基本的变形度量：正应变（线段长度的相对变化）与切应变（两垂直线段夹角的改变）。应变是实验可测的量，测出应变后才能通过材料性能关系（第3章）得到应力——它是连接”看得见的变形”与”看不见的内力”的桥梁。

1. 变形与位移

力施加到物体上，物体的形状和尺寸会改变——这就是变形（deformation）。变形可能非常明显（橡皮筋一拉就长），也可能几乎察觉不到（大楼里结构构件的微小变形）。温度变化同样能引起变形，比如屋顶的热胀冷缩。

两个关键观察：

• 变形通常不均匀：物体内部不同位置的变形程度不同，所以必须研究”某一点附近”的微小线段。
• 变形与方向有关：同一点处，一个方向的线段可能伸长，另一个方向的线段可能缩短。

2. 正应变：长度的相对变化

2.1 平均正应变

一根杆原长 $L_0$，受轴向力 $P$ 后变成 $L$，伸长量 $\delta =L-L_0$。**平均正应变（average normal strain）**定义为伸长量除以原长：

$${ϵ}_{\mathrm{avg}}=\frac{L-L_0}{L_0}$$

• ${ϵ}_{\mathrm{avg}}$：平均正应变，无量纲（单位可用 m/m、in./in. 或 μm/m）；
• $L_0$：原始长度（m）；
• $L$：变形后长度（m）。

对一般形状物体上任意一点，取微小线段 $\Delta s$，变形后为 $\Delta s^{\prime }$，取极限：

$$ϵ=\underset{\Delta s\to 0}{\lim }\frac{\Delta s^{\prime }-\Delta s}{\Delta s}$$

白话：正应变 = 单位长度上”多出”（或”少掉”）了多少长度。伸长为正，缩短为负。

2.2 单位与数量级

正应变是无量纲量（两个长度之比）。工程上应变通常非常小，常记作：

• 微应变：$480\times 10^{-6}$，即 $480\mu m/m$，口语称”480 micro（微应变）”；
• 百分比：0.048%。

数量级直觉：钢构件工作应力 100 MPa 左右时，应变大约只有 $0.0005$（万分之五）——肉眼完全看不出来，但仪器测得出来。

3. 切应变：直角的改变

变形不仅让线段伸缩，还会让它们改变方向。取两条原本互相垂直的微小线段，变形后夹角变为 $\theta$，这个直角的改变量就是切应变（shear strain），记作 $\gamma$（gamma）：

$$\gamma =\frac{\pi }{2}-\theta$$

• $\gamma$：切应变，以**弧度（rad）**度量，无量纲；
• $\theta$：变形后两线段的夹角（rad）。

符号规定：若直角变小（$\theta <\pi /2$），$\gamma$ 为正；直角变大，$\gamma$ 为负。

4. 一点的应变状态与小应变假设

围绕一点取一个微小单元体（x、y、z 三个方向边长 $\Delta x,\Delta y,\Delta z$），变形后它变成一个平行六面体：

• 正应变改变各边长度：$(1+{ϵ}_x)\Delta x$、$(1+{ϵ}_y)\Delta y$、$(1+{ϵ}_z)\Delta z$ → 改变体积；
• 切应变改变边与边之间的夹角：$\frac{\pi }{2}-{\gamma }_{xy}$、$\frac{\pi }{2}-{\gamma }_{yz}$、$\frac{\pi }{2}-{\gamma }_{xz}$ → 改变形状。

所以一点的应变状态由 6 个分量完全描述：三个正应变 ${ϵ}_x,{ϵ}_y,{ϵ}_z$ 和三个切应变 ${\gamma }_{xy},{\gamma }_{yz},{\gamma }_{xz}$——与第1章”一点的应力状态”一一对应。

小应变分析（small strain analysis）：绝大多数工程设计只允许极小变形，即 $ϵ\ll 1$，且角度改变 $\Delta \theta$ 很小。于是可以近似：

$$\sin \Delta \theta \approx \Delta \theta ,\cos \Delta \theta \approx 1,\tan \Delta \theta \approx \Delta \theta$$

这使计算大为简化——后面例题 2.2 的”解法 II”就是这个假设的漂亮应用。

应力 vs 应变：谁测谁？

应变是可以直接测量的几何量（应变片、引伸计），应力则要靠材料的本构关系从应变”算”出来。实验流程永远是：加载 → 测应变 → 换算应力。这也是为什么第3章拉伸试验同时记录应力和应变。

例题 2.1：圆环移动后两根钢丝的应变

两根钢丝 AB、AC 原长均为 5 m（由 $L_{AB}=\sqrt{3^2+4^2}$ 求得），端点 A 的圆环移动到 A′：水平位移 10 mm、竖直位移 20 mm。求两钢丝的平均正应变。

解： 变形后长度用勾股定理重新计算（注意位移正负号：AB 水平方向缩短 0.01 m、竖直方向伸长 0.02 m）：

$$L_{A^{\prime }B}=\sqrt{(3-0.01{)}^2+(4+0.02{)}^2}=5.01004\mathrm{m}$$ $$L_{A^{\prime }C}=\sqrt{(3+0.01{)}^2+(4+0.02{)}^2}=5.02200\mathrm{m}$$

代入定义式：

$${ϵ}_{AB}=\frac{5.01004-5}{5}=2.01\times 10^{-3}m/m$$ $${ϵ}_{AC}=\frac{5.02200-5}{5}=4.40\times 10^{-3}m/m$$

结论： 位移只有 1~2 cm，应变却在千分之几量级——小位移也能产生可观的应变，且两根几何对称的钢丝因位移方向不同应变相差一倍。

例题 2.2：刚性杠杆转动后钢丝 BD 的应变（两种解法）

刚性杠杆 ABC 绕销钉 A 逆时针转动 0.05°，求钢丝 BD 的正应变。已知 AB = 400 mm，BD = 300 mm，初始时 AB 与 BD 垂直。

解法 I（精确几何）： 杆转 0.05° 后，用余弦定理解三角形 $A{B}^{\prime }D$：

$$L_{B^{\prime }D}=\sqrt{500^2+400^2-2(500)(400)\cos 36.92°}=300.3491\mathrm{mm}$$ $${ϵ}_{BD}=\frac{300.3491-300}{300}=0.00116mm/mm$$

解法 II（小应变近似，推荐）： 转角极小时，B 点位移可视为一段圆弧，钢丝伸长量近似等于弧长：

$$\Delta L_{BD}=\theta L_{AB}=\left[\left(\frac{0.05°}{180°}\right)\pi \mathrm{rad}\right](400\mathrm{mm})=0.3491\mathrm{mm}$$ $${ϵ}_{BD}=\frac{0.3491}{300}=0.00116mm/mm$$

结论： 两种解法结果完全一致（到 4 位有效数字），但解法 II 一行就搞定。当转角很小时，弧长 = 转角 × 半径，这是材料力学里最常用的小角近似。

例题 2.3：平板变形后的对角线应变与切应变

平板沿 AB 固定，右边缘 CD 整体水平右移 2 mm，板宽 150 mm。求 (a) 对角线 AC 的平均正应变；(b) 中心点 E 处相对 x、y 轴的切应变。

Part (a)： 变形前 $AC=\sqrt{150^2+150^2}=212.13\mathrm{mm}$；变形后 C 点右移 2 mm，$A{C}^{\prime }=\sqrt{150^2+152^2}=213.55\mathrm{mm}$：

$$({ϵ}_{AC}{)}_{\mathrm{avg}}=\frac{213.55-212.13}{212.13}=0.00669mm/mm$$

Part (b)： 变形后 E 点处两半对角线的夹角由几何关系求出：

$$\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)=\frac{76}{75}\Rightarrow \theta =90.759°=1.58404\mathrm{rad}$$ $${\gamma }_{xy}=\frac{\pi }{2}-1.58404=-0.0132\mathrm{rad}$$

结论： 切应变为负——因为原来的 90° 直角变大了。注意：如果过 E 点取水平/竖直的坐标轴，则变形不改变这对轴的直角，${\gamma }_{xy}=0$。切应变依赖所选线段的方向，这是初学者最容易忽略的一点。

6. 应变问题中的几何要点（读图技巧）

应变计算的本质是几何题，画出”变形前后”两张图是解题第一步。三个实用要点：

• 先分清哪些点是固定的、哪些是动的：支座、铰接点是约束；自由端、载荷作用点是待求位移。例题 2.3 中 AB 边固定、CD 边整体平移 2 mm，这就是全部边界条件。
• 刚性构件不变形，只转动/平移：题目说”刚性杠杆""刚性臂”时，其上任意两点的相对距离不变，运动只有绕某个销钉的转动——小转角下弧长 $\Delta s=\theta R$ 直接给出各点位移。
• 位移小，方向可以近似不变：钢丝原方向为斜 45°，变形后仍按原方向计算长度变化即可，角度修正量是二阶小量（这正是小应变假设的内容）。

一个典型陷阱：某点位移 ≠ 该处线段的伸长。例题 2.1 中圆环 A 只移了 10~20 mm，但钢丝是斜拉的，其伸长必须用变形后两点坐标重新算距离——直接拿位移当伸长会差一个数量级。

7. 全章方法总结

1. 正应变问题：找到”变形前长度 $L_0$“和”变形后长度 $L$“，套 $ϵ=(L-L_0)/L_0$。难点在变形后几何——用勾股定理/余弦定理认真算，别想当然。
2. 小转动问题：直接用 $\Delta L\approx \theta R$（弧长），秒杀。
3. 切应变问题：找出两垂直线段变形后的夹角 $\theta$，套 $\gamma =\pi /2-\theta$；直角变大取负。
4. 符号纪律：伸长为正、缩短为负；直角变小 γ 为正、变大 γ 为负。

常见坑

用变形后的长度做分母。应变的定义分母是原始长度 $L_0$（工程应变），不是变形后长度。虽然两者之差是二阶小量（可证明 $ϵ-{ϵ}^{\prime }=ϵ{ϵ}^{\prime }$，工程上可忽略），但概念错了会连带符号和大变形问题一起出错。另一个坑：切应变符号看反——记住”直角变小为正”。

通关标准：

学完本篇你应该能做到：①写出正应变与切应变的定义式并说明量纲与符号约定；②对给定几何位移，用勾股/余弦定理计算线段的平均正应变；③对小转角问题用弧长近似 $\Delta L=\theta R$ 快速求解；④判断指定点、指定方向的切应变大小与正负。

自测：正应变 480×10⁻⁶ 是多大？一根 2 m 的杆伸长了多少？

$\delta =ϵL_0=480\times 10^{-6}\times 2=0.96\mathrm{mm}$。不到 1 毫米——这就是钢构件的典型变形量，肉眼不可见但应变片测得准。

自测：切应变 γ = 0.01 rad 意味着什么？

原本互相垂直的两条线段，变形后夹角变成了 $90°-0.01\mathrm{rad}\approx 89.43°$，直角变小了，所以 γ 为正。单元体从矩形歪成了平行四边形。

自测：为什么一点的应变状态需要 6 个分量，而"长度变化"不是 1 个就够了吗？

因为”长度变化”只描述一个方向的正应变，而一点的变形还包括三个相互垂直方向各自的伸缩（3 个正应变）和三对垂直方向直角的改变（3 个切应变）。同一点不同方向的线段，伸缩量可以完全不同——单看一个方向会漏掉大量信息。

自测：例题 2.2 中为什么解法 II 是合理的？

因为转角 0.05° ≈ 0.00087 rad 极小，弦长与弧长之差是转角的三阶小量，$\sin \theta \approx \theta$、$\tan \theta \approx \theta$ 的近似误差远小于测量精度。这正是”小应变分析”假设的用武之地。

自测：若应变定义改用变形后长度作分母（ε′ = (Δs′−Δs)/Δs′），与原定义差别大吗？

差别为 $ϵ-{ϵ}^{\prime }=ϵ{ϵ}^{\prime }$，是应变的平方量级。工程应变通常在 $10^{-4}\sim 10^{-3}$ 量级，平方后约 $10^{-8}$，完全可以忽略。但考试和工程规范统一用原始长度定义，别混用。