第01章 应力：内力与强度设计的起点

这一篇在干嘛？

一根杆件受外力后，内部到底”扛”了多大的力？这一章回答两件事：如何用截面法和平衡方程求出截面上的内力（轴力、剪力、扭矩、弯矩），以及如何把内力换算成”单位面积上的力”——应力。应力是材料力学中最重要的概念，后续所有强度校核都建立在它之上。

1. 为什么先学”应力”而不是”力”

材料力学（Mechanics of Materials）研究的是外载荷与固体内部应力、应变之间的关系。同样 10 kN 的力，作用在粗钢柱上安然无恙，作用在细铁丝上就会拉断——决定安全与否的不是力本身，而是力被多大面积分摊。

• 应力（stress）联系着材料的强度：单位面积上扛了多少力。
• 应变（strain，第2章）度量物体的变形：拉长了多少。

工程师设计规范（设计代码）里的公式和规则，绝大多数都建立在应力分析之上。这就是本章为什么是全书的起点。

历史小注：这门学科可追溯到 17 世纪伽利略对杆和梁的加载实验，19 世纪初经 Saint-Venant、Poisson、Lamé、Navier 等人在法国的系统研究而成型。

2. 变形体的平衡：静力学的复习

2.1 外载荷的分类

• 表面载荷：通过接触面施加。集中在一个小面积上的叫集中力；分布在较大面积上的叫分布载荷。共线分布载荷的合力 ${\mathbf{F}}_R$ 等于载荷图的面积，作用线通过该面积的形心（centroid，几何中心）。
• 体积力（body force）：不需要接触就能施力，如重力、电磁力。重力通常简化为一个过重心的集中力 $W$。

2.2 支座反力

判断口诀：挡住平动就给力，挡住转动就给力偶。

• 滚动支座（roller）：只挡法向平动 → 只有一个法向力 $F$，不提供力偶。
• 销钉（pin）连接：允许自由转动 → 提供力（一般两个分量）但不提供力偶。
• 固定端：既挡平动又挡转动 → 力 + 力偶。

2.3 平衡方程

力平衡防平动，力矩平衡防转动：

$$\Sigma \mathbf{F}=0,\Sigma {\mathbf{M}}_O=0$$

• $\Sigma \mathbf{F}$：作用在物体上所有力的矢量和（单位 N）；
• $\Sigma {\mathbf{M}}_O$：所有力对任一点 $O$ 的力矩和（单位 N·m）。

空间问题可拆成 6 个标量方程（$\Sigma F_x,\Sigma F_y,\Sigma F_z,\Sigma M_x,\Sigma M_y,\Sigma M_z$ 各为零）；最常见的平面力系（x–y 平面）只需 3 个：

$$\Sigma F_x=0,\Sigma F_y=0,\Sigma M_O=0$$

白话：左右方向的力加起来为零、上下方向的力加起来为零、对任意点转动的力矩加起来为零。列方程前必须先画受力图（free-body diagram），把所有已知、未知力标清楚。

3. 截面法：把”内力”暴露出来

3.1 核心思想

想知道物体内部某截面上的力？假想用一把刀把物体切开，取一半为研究对象。切开的暴露面上分布着另一半物体对它的作用力——这就是内力。虽然内力的精确分布暂时未知，但它的合力 ${\mathbf{F}}_R$ 和合力偶 ${\mathbf{M}}_{R_O}$ 可以用平衡方程求出来。切点 $O$ 通常取在截面形心处。

3.2 四种内力分量

把 ${\mathbf{F}}_R$、${\mathbf{M}}_{R_O}$ 沿截面法向和切向分解，得到四种内力：

内力	符号	方向	产生原因
轴力（Normal force）	$N$	垂直于截面	外力 tendency 拉开或压紧两段
剪力（Shear force）	$V$	位于截面平面内	外力使两段相互错动
扭矩（Torsional moment / torque）	$T$	绕截面法向轴	外力使两段绕轴相互扭转
弯矩（Bending moment）	$M$	绕截面平面内的轴	外力使梁弯曲

对于平面力系，截面上只出现 $N$、$V$、$M$ 三个分量：$N$ 由 $\Sigma F_x=0$ 求出，$V$ 由 $\Sigma F_y=0$ 求出，对截面形心 $O$ 取矩 $\Sigma M_O=0$（消去 $N$、$V$ 的贡献）解出 $M$。

3.3 解题流程（背下来）

1. 求支反力：如果选的隔离段带支座，先对整体列平衡方程求反力；尽量选不含支座的那一段，可以跳过这步。
2. 画受力图：在待求截面处把构件切开，在截面形心画上未知的 $N$、$V$、$M$（方向先假设为正）。
3. 列平衡方程：对截面处的坐标轴取矩，可消去 $N$、$V$ 直接解出 $M$、$T$。
4. 判符号：解出负值说明实际方向与假设相反。

例题 1.1：悬臂梁 C 截面的内力

悬臂梁如图，求 C 截面上的内力合力。梁右段 CB 上作用三角形分布载荷，C 处载荷集度 $w=180N/m$（由比例 $w/6=270/9$ 求得），CB 段长 6 m。

已知 → 求解 → 分析：

取 CB 段（不含支座 A，无需求反力）。三角形分布载荷的合力 = 载荷图面积 = $\frac{1}{2}(180N/m)(6\mathrm{m})=540\mathrm{N}$，作用点距 C 为 $\frac{1}{3}(6\mathrm{m})=2\mathrm{m}$。

列平衡方程：

$$\Sigma F_x=0:-N_C=0\Rightarrow N_C=0$$ $$\Sigma F_y=0:V_C-540\mathrm{N}=0\Rightarrow V_C=540\mathrm{N}$$ $$\Sigma M_C=0:-M_C-540\mathrm{N}\times 2\mathrm{m}=0\Rightarrow M_C=-1080\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$$

结论： C 截面轴力为零，剪力 540 N，弯矩大小 1080 N·m（负号表示实际转向与受力图假设相反）。

注意：分布载荷必须在切完截面之后才能用合力代替，切之前要保持原样——这是初学者最常见的错误之一。

例题 1.2：起重机臂 E 截面的内力（含二力杆）

500 kg 发动机悬挂在起重机臂上，求臂上 E 截面的内力。

思路： 取 AE 段，先求 A 处销钉反力。CD 杆是二力杆（two-force member，两端只受力、中间不受力的直杆），其力方向已知沿 CD。对整体列 $\Sigma M_A=0$：

$$F_{CD}\left(\frac{3}{5}\right)(2\mathrm{m})-[500(9.81)\mathrm{N}](3\mathrm{m})=0\Rightarrow F_{CD}=12262.5\mathrm{N}$$

再由 $\Sigma F_x=0$、$\Sigma F_y=0$ 得 $A_x=9810\mathrm{N}$，$A_y=2452.5\mathrm{N}$。

对 AE 段截面 E 列平衡：

$$N_E=-9.81\mathrm{kN},V_E=-2.45\mathrm{kN},M_E=-2.45\mathrm{kN}\cdot \mathrm{m}$$

结论： E 截面受 9.81 kN 压力、2.45 kN 剪力与 2.45 kN·m 弯矩。

4. 应力：内力的”密度”

4.1 定义

截面法求出的只是内力的合力，没有回答”力在截面上分布得多密”。把截面切成无数小面积 $\Delta A$，其上作用微小力 $\Delta \mathbf{F}$。当 $\Delta A\to 0$ 时，力与面积的比值趋于有限极限——这就是应力（stress）：某点处内力集度。

（前提假设：材料连续——无空隙；内聚——无裂缝、不分层。）

• 正应力（normal stress） $\sigma$：垂直于截面的力分量除以面积，“拉”为拉应力（正），“压”为压应力。
• 切应力（shear stress） $\tau$：相切于截面的力分量除以面积，下标如 ${\tau }_{zx}$ 表示作用在法向为 z 的面上、沿 x 方向。

4.2 单位

应力 = 力/面积：

• SI 制：$N/{\mathrm{m}}^2$ = 帕斯卡（Pa）。工程上常用 kPa（$10^3$）、MPa（$10^6$）、GPa（$10^9$）。
• 英制：psi 或 ksi（1 kip = 1000 lb）。

5. 轴向载荷杆的平均正应力

5.1 公式与适用条件

一根等直杆（prismatic bar，各截面相同），材料均质（homogeneous，各处性能相同）且各向同性（isotropic，各方向性能相同），轴向力 $P$ 通过截面形心施加——此时杆中段均匀变形，截面上正应力均匀分布：

$$\sigma =\frac{N}{A}$$

• $\sigma$：横截面上的平均正应力（Pa 或 psi）；
• $N$：截面轴力，由截面法 + 平衡方程求得，此处 $N=P$（N）；
• $A$：横截面面积（m²）。

什么时候能用？ 三个条件缺一不可：载荷沿形心轴、材料均匀（至少纤维方向与杆轴一致）、截面离加载点足够远。对略有锥度的杆，$15°$ 锥角时用 $\sigma =N/A$ 的误差也只有 2.2%，工程上可接受。

5.2 最大平均正应力在哪？

若杆上作用多个轴向外力，或截面积突变，则各段应力不同。最大应力出现在比值 $N/A$ 最大的截面——先分段求轴力，再除以对应面积找最大值。

例题 1.5：变轴力杆的最大应力

杆宽 35 mm、厚 10 mm（截面恒定），受多个轴向外力，AB、BC、CD 三段轴力各不相同，其中 BC 段轴力最大 $N_{BC}=30\mathrm{kN}$（拉）。

解： 截面恒定，最大应力出现在轴力最大的 BC 段：

$${\sigma }_{BC}=\frac{N_{BC}}{A}=\frac{30\times 10^3\mathrm{N}}{(0.035\mathrm{m})(0.010\mathrm{m})}=85.7\mathrm{MPa}$$

结论： 最大平均正应力 85.7 MPa（拉）。技巧：先画轴力图（N 图）一眼看出危险段。

例题 1.6：两根吊杆的应力比较

80 kg 吊灯由 AB、BC 两杆吊住。AB 直径 10 mm，BC 直径 8 mm，求两杆平均正应力。

第一步：求各杆轴力。 对吊灯节点列平衡：

$$\Sigma F_x=0:F_{BC}\left(\frac{4}{5}\right)-F_{BA}\cos 60°=0,\Sigma F_y=0:F_{BC}\left(\frac{3}{5}\right)+F_{BA}\sin 60°-784.8\mathrm{N}=0$$

解得 $F_{BC}=395.2\mathrm{N}$，$F_{BA}=632.4\mathrm{N}$（均为拉力）。

第二步：除以面积。 圆杆面积 $A=\pi d^2/4$：

$${\sigma }_{BC}=\frac{395.2\mathrm{N}}{\pi (0.004\mathrm{m}{)}^2}=7.86\mathrm{MPa},{\sigma }_{BA}=\frac{632.4\mathrm{N}}{\pi (0.005\mathrm{m}{)}^2}=8.05\mathrm{MPa}$$

结论： 细的 BC 杆虽然轴力小，应力反而和粗的 AB 差不多——应力由”力÷面积”共同决定，这是本章最核心的直觉。

6. 平均切应力与连接件设计

6.1 直接剪切

螺栓、销钉、铆钉、焊缝这类连接件很薄，受剪时弯曲可忽略。用截面法切过剪切面，求出剪力 $V$，假定它均匀分布在剪切面 $A$ 上：

$${\tau }_{\mathrm{avg}}=\frac{V}{A}$$

• ${\tau }_{\mathrm{avg}}$：平均切应力（Pa）；
• $V$：剪切面上的剪力（N），由平衡方程求出；
• $A$：剪切面面积（m²）。

这个公式只是近似（真实切应力分布并不均匀，局部可能大得多），但对小尺寸连接件的设计，规范允许使用。

单剪 vs 双剪：若销钉只有一个剪切面承担剪力，$V=F$（单剪）；若有两个剪切面分担，每个面 $V=F/2$（双剪）。判断方法：看销钉被夹在几片板之间。

6.2 切应力互等定理

在材料中取一个微小单元体，若一个面上有切应力 $\tau$，则平衡要求相邻四个面上必须存在大小相等、方向成对指向（或背离）彼此棱边的切应力：

$${\tau }_{zy}={\tau }_{zy}^{\prime }={\tau }_{yz}={\tau }_{yz}^{\prime }=\tau$$

这叫切应力互等定理（complementary property of shear），此时单元体处于纯剪切状态。白话：切应力从不单独出现，一出现就是”成对成对”的。

例题 1.9：单剪与双剪销钉

梁由 A、B 处销钉支承。A 处销钉直径 20 mm（双剪），B 处直径 30 mm（单剪），梁上作用 30 kN 载荷。

第一步：求销钉处的作用力。 对梁列平衡：

$$\Sigma M_A=0:F_B\left(\frac{4}{5}\right)(6\mathrm{m})-30\mathrm{kN}(2\mathrm{m})=0\Rightarrow F_B=12.5\mathrm{kN}$$ $$A_x=7.50\mathrm{kN},A_y=20\mathrm{kN}\Rightarrow F_A=\sqrt{7.50^2+20^2}=21.36\mathrm{kN}$$

第二步：确定每个剪切面上的剪力。

• A 销双剪：$V_A=F_A/2=10.68\mathrm{kN}$
• B 销单剪：$V_B=F_B=12.5\mathrm{kN}$

第三步：除以剪切面面积。

$$({\tau }_A{)}_{\mathrm{avg}}=\frac{10.68\times 10^3\mathrm{N}}{\frac{\pi }{4}(0.02\mathrm{m}{)}^2}=34.0\mathrm{MPa},({\tau }_B{)}_{\mathrm{avg}}=\frac{12.5\times 10^3\mathrm{N}}{\frac{\pi }{4}(0.03\mathrm{m}{)}^2}=17.7\mathrm{MPa}$$

结论： A 销虽然直径更小还分了双剪，应力却是 B 销的近两倍——先算清单剪/双剪，再谈面积。

7. 许用应力设计（ASD）与极限状态设计（LRFD）

7.1 为什么要留安全余量

真实世界充满不确定：制造装配有误差、振动冲击等意外载荷难以预见、腐蚀老化让材料退化、木/混凝土等材料性能离散性大。所以设计载荷必须低于极限承载能力。

安全系数（factor of safety, F.S.） 定义为破坏载荷与许用载荷之比：

$$F.S.=\frac{F_{\mathrm{fail}}}{F_{\mathrm{allow}}}$$

当应力与载荷线性相关时（如 $\sigma =N/A$、${\tau }_{\mathrm{avg}}=V/A$，面积约掉）：

$$F.S.=\frac{{\sigma }_{\mathrm{fail}}}{{\sigma }_{\mathrm{allow}}}=\frac{{\tau }_{\mathrm{fail}}}{{\tau }_{\mathrm{allow}}}$$

• F.S.：安全系数，无量纲，恒大于 1；
• ${\sigma }_{\mathrm{fail}}$：材料破坏应力，由实验测定；
• ${\sigma }_{\mathrm{allow}}$：许用应力，由设计规范给出。

取值看场景：飞行器为减重 F.S. 可能接近 1；核电站部件可能高达 3。基于许用应力的设计称为许用应力设计（ASD）。

7.2 设计公式

把 $\sigma =N/A$ 反过来用——已知许用应力，求需要的面积：

$$A=\frac{N}{{\sigma }_{\mathrm{allow}}},A=\frac{V}{{\tau }_{\mathrm{allow}}}$$

典型应用三类：基板承压（承压应力 bearing stress，一个面压在另一个面上）、螺栓抗剪、胶接长度（用胶的许用切应力反算埋入长度）。

7.3 LRFD：把载荷和材料的不确定性分开

极限状态设计（LSD / LRFD）用载荷系数 $\gamma$ 放大载荷（恒载 $D$ 确定性高取 ${\gamma }_D=1.2$，活载 $L$ 变动大取 ${\gamma }_L=1.6$，雪载同时发生的概率低取 ${\gamma }_S=0.5$），用抗力系数 $\varphi$ 折减名义强度（钢材抗拉常用 $\varphi =0.9$）：

$$\varphi P_n\ge \Sigma {\gamma }_i{R}_i$$

• $P_n$：构件名义强度（破坏或不可用时的载荷）；
• $\varphi P_n$：折减后的设计强度；
• $\Sigma {\gamma }_i{R}_i$：各放大载荷的组合，如 $R=1.2D+1.6L+0.5S$。

例题 1.14：搭接接头能承受的最大载荷 P

搭接接头用直径 10 mm 螺栓连接两块板。许用值：板抗拉 50 MPa、承压 80 MPa、板抗剪 30 MPa、螺栓抗剪 80 MPa。求最大 P。

思路（经典套路）：列出所有可能的破坏模式，各算一个 P，取最小值。

1. 板拉伸破坏（危险截面是被螺栓孔削弱后的最小截面，两块板各宽 $2\times 20$ mm、厚 15 mm）：

$$50\times 10^6=\frac{P}{2(0.02)(0.015)}\Rightarrow P=30\mathrm{kN}$$

2. 板承压破坏（用螺栓投影面积 $d\times t$）：

$$80\times 10^6=\frac{P}{(0.01)(0.015)}\Rightarrow P=12\mathrm{kN}$$

3. 板剪切撕裂（$V=P/2$，剪切面积为长×厚）：

$$30\times 10^6=\frac{P/2}{(0.02)(0.015)}\Rightarrow P=18\mathrm{kN}$$

4. 螺栓剪切破坏（单剪，$V=P$）：

$$80\times 10^6=\frac{P}{\pi (0.005{)}^2}\Rightarrow P=6.28\mathrm{kN}$$

结论： 四种模式中螺栓抗剪最小，故 $P_{\max }=6.28\mathrm{kN}$。链条的强度由最弱一环决定——接头设计的核心思想。

8. 全章方法总结

1. 求内力：截面法 + 平衡方程（先画受力图）。
2. 求应力：正应力 $\sigma =N/A$（轴向、过形心、均质等直杆）；切应力 ${\tau }_{\mathrm{avg}}=V/A$（薄连接件直接剪切）。
3. 强度设计：校核 $\sigma \le {\sigma }_{\mathrm{allow}}$，或反算 $A=N/{\sigma }_{\mathrm{allow}}$；多破坏模式取最弱。

常见坑

双剪漏除 2、孔截面漏削弱。销钉/螺栓问题先数剪切面个数：双剪每面只承担一半力，单剪全部承担；拉伸校核时危险截面是扣除孔径后的净面积，不是毛面积。另外，分布载荷必须切完截面后才能用合力代替，切之前”合力”还没到达它真正的位置。

通关标准：

学完本篇你应该能做到：①用截面法（选段→画受力图→平衡方程）求出任意截面的 $N$、$V$、$M$（$T$）；②判断 $\sigma =N/A$ 的适用条件，计算轴向杆平均正应力并找出最大应力截面；③区分单剪/双剪，用 ${\tau }_{\mathrm{avg}}=V/A$ 校核或设计螺栓、销钉尺寸；④用安全系数把破坏应力换算成许用应力，并在多破坏模式问题中取最小载荷。

自测：轴力图上 N 最大的段，应力一定最大吗？

不一定。$\sigma =N/A$，应力取决于比值 $N/A$。若最大轴力段恰好面积更大，可能反而是小轴力 + 小面积的段应力更高。必须逐段计算 $N/A$ 后比较。

自测：为什么 σ = N/A 要求载荷必须过截面形心？

若载荷不过形心，它对截面还产生力偶，截面上的应力将不再是均匀分布（部分拉、部分压，出现弯曲效应），$\sigma =N/A$ 只给出”平均值”，会严重低估局部峰值应力。偏心拉伸/压缩属于后续章节内容。

自测：一根直径 20 mm 的销钉受 30 kN 力，双剪时平均切应力是多少？

每个剪切面 $V=15\mathrm{kN}$，面积 $A=\frac{\pi }{4}(0.02{)}^2=3.14\times 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$，${\tau }_{\mathrm{avg}}=15000/3.14\times 10^{-4}\approx 47.7\mathrm{MPa}$。（若误当单剪算会得 95.5 MPa，翻倍错误。）

自测：安全系数 F.S. = 2.5，材料破坏切应力 100 MPa，许用切应力是多少？

${\tau }_{\mathrm{allow}}={\tau }_{\mathrm{fail}}/F.S.=100/2.5=40\mathrm{MPa}$。设计时要求工作切应力不超过 40 MPa。

自测：截面法列矩方程时，为什么矩心要取在截面形心 O？

因为未知内力 $N$ 和 $V$ 都通过形心，对形心取矩时它们的力矩为零，方程中只剩弯矩 $M$ 一个未知量，可以一步解出——这是”对截面取矩”的真正动机。