📘 🧺 重积分：多维空间上的积分 · 第 14 章精讲

这一篇在干嘛？

把定积分推广到平面和空间：二重积分、极坐标下的二重积分、三重积分、柱面/球面坐标、雅可比换元——算体积、质量、重心的高维工具箱。

从面积到体积：重积分的动机

一元定积分

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\max \Delta x_k\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f(x_k^{\ast })\Delta x_k=\underset{n\to +\infty }{\lim }\sum _{k=1}^{n}f(x_k^{\ast })\Delta x_k$$

源于「求曲线下面积」的问题。把函数从一元推广到二元，对应的问题从「面积」升级为「体积」：

体积问题（14.1.1）：设 $f$ 在 $xy$ 平面的区域 $R$ 上连续且非负，求由曲面 $z=f(x,y)$ 与区域 $R$ 之间围成的立体体积。

图：图 14.1.1——曲面 z = f(x, y) 与区域 R 之间围成的立体

设 $R$ 可以被一个足够大的矩形完全包住（这保证 $R$ 不向任何方向无限延伸，更严格的限制以后再补充）。仿照面积问题里的「分割、取样、求和、取极限」，把矩形元素换成长方体元素：

1. 分割：用平行于坐标轴的直线把包住 $R$ 的大矩形切成小矩形，并把含有 $R$ 之外的点的小矩形全部剔除。剩下的小矩形都是 $R$ 的子集，设共 $n$ 个，第 $k$ 个的面积为 $\Delta A_k$。

2. 取样：在每个小矩形里任取一点 $(x_k^{\ast },y_k^{\ast })$。乘积 $f(x_k^{\ast },y_k^{\ast })\Delta A_k$ 是一个底面积 $\Delta A_k$、高 $f(x_k^{\ast },y_k^{\ast })$ 的细长方体的体积，于是和式

   $$\sum _{k=1}^{n}f(x_k^{\ast },y_k^{\ast })\Delta A_k$$

   是整个立体体积的近似。

3. 取极限：近似误差有两个来源——长方体顶是平的而曲面是弯的；小矩形未必完全盖满 $R$。但只要不断加密分割，让每个小矩形的长和宽都趋于零，两类误差都会消失，于是

   $$V=\underset{n\to +\infty }{\lim }\sum _{k=1}^{n}f(x_k^{\ast },y_k^{\ast })\Delta A_k$$

图：图 14.1.2——用平行于坐标轴的直线把大矩形分割成小矩形

图：图 14.1.3——以小矩形为底、f(样本点) 为高的长方体

定义 14.1.2（曲面下的体积）：若 $f$ 在 $R$ 上连续且非负，则曲面 $z=f(x,y)$ 与 $R$ 之间围成的立体体积定义为

$$V=\underset{n\to +\infty }{\lim }\sum _{k=1}^{n}f(x_k^{\ast },y_k^{\ast })\Delta A_k$$

其中 $n\to +\infty$ 表示加密分割、使小矩形的长宽都趋于零的过程。

严格性方面还有问题要解决：极限是否存在？极限值是否与取样点的选取无关？答案是：当 $R$ 不太「复杂」且 $f$ 在 $R$ 上连续时都成立，细节超出本课程范围。

二重积分的定义

如果 $f$ 在 $R$ 上可正可负，同一个极限就不再表示体积，而是表示净有符号体积：曲面在 $xy$ 平面上方的部分与 $R$ 之间的体积，减去曲面在 $xy$ 平面下方的部分与 $R$ 之间的体积。这与一元定积分「上方面积减下方面积」的解读完全平行。

式 (3) 的和式同样称为黎曼和（Riemann sum），其极限记作

$${\iint }_{R}f(x,y)dA=\underset{n\to +\infty }{\lim }\sum _{k=1}^{n}f(x_k^{\ast },y_k^{\ast })\Delta A_k$$

称为 $f$ 在 $R$ 上的二重积分。记号解读：$\iint$ 是两层的积分号（对应二维），$dA$ 是面积元素（$\Delta A_k$ 的极限形式）。

当 $f$ 连续且非负时，体积公式可以写成

$$V={\iint }_{R}f(x,y)dA$$

一般地：二重积分为正，说明 $R$ 上方的体积更大；为负，说明下方体积更大；为零，说明上下体积相等。

偏积分与累次积分

直接用定义（算黎曼和极限）求二重积分几乎不可行。好消息是：二重积分可以拆成两次一元定积分来做。

先把偏导数的思路反过来。偏导数是「固定一个变量、对另一个求导」；偏积分（partial integration）则是「固定一个变量、对另一个积分」。记号：

$${\int }_a^{b}f(x,y)dx\text{与}{\int }_c^{d}f(x,y)dy$$

分别称为关于 $x$ 和关于 $y$ 的偏定积分。关键点：对 $x$ 的偏积分结果是 $y$ 的函数，对 $y$ 的偏积分结果是 $x$ 的函数。

例 1：

$${\int }_0^{1}x{y}^{2}dx=y^2{\int }_0^{1}xdx=\frac{y^2{x}^2}{2}{|}_{x=0}^1=\frac{y^2}{2}$$ $${\int }_0^{1}x{y}^{2}dy=x{\int }_0^1{y}^{2}dy=\frac{x{y}^3}{3}{|}_{y=0}^1=\frac{x}{3}$$

既然偏积分的结果还是函数，就可以对它再积分——这种两阶段流程叫累次积分（iterated integration），记号是：

$${\int }_c^d{\int }_a^{b}f(x,y)dxdy={\int }_c^d\left[{\int }_a^{b}f(x,y)dx\right]dy$$ $${\int }_a^b{\int }_c^{d}f(x,y)dydx={\int }_a^b\left[{\int }_c^{d}f(x,y)dy\right]dx$$

读法要小心：积分限与微分变量按「从内到外、右邻配对」的方式对应。${\int }_c^d{\int }_a^{b}fdxdy$ 中，内层 ${\int }_a^b\cdots dx$ 先算（固定 $y$），外层 ${\int }_c^d\cdots dy$ 后算。

例 2：计算

(a) 先对 $y$ 积分（$x$ 暂时当常数）：

$${\int }_1^3{\int }_2^4(40-2xy)dydx={\int }_1^3[40y-x{y}^2{]}_{y=2}^{4}dx={\int }_1^3[(160-16x)-(80-4x)]dx$$