📘 🌐 向量微积分：场论入门 · 第 15 章精讲

这一篇在干嘛？

流体场、引力场、电磁场……描述「场」需要向量微积分：线积分、保守场、格林定理、曲面积分、通量、散度定理与斯托克斯定理——大学工程数学的收官之战。

向量场：给空间每一点配一个向量

从引力到水流：为什么要研究「场」

本章主题是流（flow）——流体流动、电流、引力作用……牛顿当年写微积分时用的词 fluxion、fluent 都源自拉丁语 fluere（流动）。要定量描述「流」，第一步是把空间中每一点与一个向量对应起来。两个物理画面：

• 引力场：牛顿万有引力定律说，地球对空间中任一单位质点的引力指向地心、大小与距离平方成反比。把每个点的力向量都标出来，就得到地球的引力场。
• 速度场：想象一条河流某一深度的水层，水在每个点有确定的速度，把每个点的速度向量画出来，就是该层的速度场。水底速度为零，越浅流速越大。

向量场的定义

定义 15.1.1：平面上的向量场是一个函数，它给平面内每个点 $P$ 指定唯一的、平行于该平面的向量 $\mathbf{F}(P)$；类似地，三维空间中的向量场给每个点 $P$ 指定唯一的空间向量 $\mathbf{F}(P)$。

注意定义本身与坐标系无关，但为了计算总要引入坐标系。$xy$ 平面上的向量场写成分量形式：

$$\mathbf{F}(x,y)=f(x,y)\mathbf{i}+g(x,y)\mathbf{j}$$

三维空间中则是

$$\mathbf{F}(x,y,z)=f(x,y,z)\mathbf{i}+g(x,y,z)\mathbf{j}+h(x,y,z)\mathbf{k}$$

本质上向量场就是向量值函数——「场」是物理与工程中的惯用叫法。

向量场的图形表示

在 $xy$ 平面选一批有代表性的点，画出这些点处的场向量 $\mathbf{F}(x,y)$，就是向量场的示意图。当然，有限个向量画不出完整的场（正如有限个点画不出完整的曲线），但选点得当就能看出场的整体行为。计算机生成的向量场图常见的几类：

• (a) 河流速度场：同一深度的点速度相同，越靠近水面速度越大；
• (b) 旋转轮盘：圆心处速度为零，离圆心越远速度越大，方向沿切线；
• (c) 电荷排斥场：向量从电荷处指向外，离电荷越近力越大；
• (d) 三维向量场：信息量大但图面拥挤，二维图通常更有用。

提示：示意图中向量长度常被压缩（不按真实比例），本章图片均如此处理。

紧凑记法：$\mathbf{F}(\mathbf{r})$

把点 $(x,y)$ 等同于位置向量 $\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}$（三维同理 $\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$），向量场就可以写成 $\mathbf{F}(\mathbf{r})$；不会混淆时干脆简写为 $\mathbf{F}$。这种记法在写引力、库仑力等「以原点为中心」的场时特别干净。

平方反比场：物理学最重要的场

牛顿万有引力定律：质量 $m$ 与 $M$ 的两质点互相吸引，力的大小为

$$\Vert \mathbf{F}\Vert =\frac{GmM}{r^2}$$

（$r$ 为两点距离，$G$ 为引力常数。）设质量 $M$ 位于原点，$\mathbf{r}$ 是指向质量 $m$ 的位置向量，则 $r=\Vert \mathbf{r}\Vert$，且引力方向沿单位向量 $-\mathbf{r}/\Vert \mathbf{r}\Vert$（指向原点）。合并大小与方向：

$$\mathbf{F}(\mathbf{r})=-\frac{GmM}{\Vert \mathbf{r}{\Vert }^2}\cdot \frac{\mathbf{r}}{\Vert \mathbf{r}\Vert }=-\frac{GmM}{\Vert \mathbf{r}{\Vert }^3}\mathbf{r}$$

令 $c=-GmM$，得 $\mathbf{F}(\mathbf{r})=\frac{c}{\Vert \mathbf{r}{\Vert }^3}\mathbf{r}$。这类场重要到拥有专名：

定义 15.1.2（平方反比场）：形如

$$\mathbf{F}(\mathbf{r})=\frac{c}{\Vert \mathbf{r}{\Vert }^3}\mathbf{r}$$

的向量场称为平方反比场。

解读：

• $c>0$ 时 $\mathbf{F}$ 与 $\mathbf{r}$ 同向，所有向量指向离开原点（斥力型）；
• $c<0$ 时 $\mathbf{F}$ 与 $\mathbf{r}$ 反向，所有向量指向原点（引力型）；
• 大小验证：$\Vert \mathbf{F}(\mathbf{r})\Vert =\frac{|c|}{\Vert \mathbf{r}{\Vert }^3}\Vert \mathbf{r}\Vert =\frac{|c|}{\Vert \mathbf{r}{\Vert }^2}$——确实与距离平方成反比，名字由此而来。

分量形式：二维为

$$\mathbf{F}(x,y)=\frac{c}{(x^2+y^2{)}^{3/2}}(x\mathbf{i}+y\mathbf{j})$$

三维为

$$\mathbf{F}(x,y,z)=\frac{c}{(x^2+y^2+z^2{)}^{3/2}}(x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k})$$

例题 1：库仑定律也是平方反比场

题目：库仑定律指出，一个带电粒子对另一个的作用力正比于电荷乘积、反比于距离平方。写出静电场的具体表达式。

解：形式与万有引力完全一致。设电荷 $Q$ 在原点、$\mathbf{r}$ 指向电荷 $q$，则静电力场为

$$\mathbf{F}(\mathbf{r})=\frac{qQ}{4\pi {ϵ}_0\Vert \mathbf{r}{\Vert }^3}\mathbf{r}$$

其中 ${ϵ}_0$ 是正的介电常数。这正是定义 (3) 取 $c=\frac{qQ}{4\pi {ϵ}_0}$ 的情形——引力与静电力统一在同一个数学形式之下。

梯度场：从标量函数长出来的向量场

回忆三元函数 $\varphi$ 的梯度定义：

$$\nabla \varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial \varphi }{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial \varphi }{\partial z}\mathbf{k}$$

这个公式本身定义了一个空间向量场，称为 $\varphi$ 的梯度场；二元函数的梯度则定义平面上的梯度场。几何意义（第 13 章）：在梯度非零的点上，$\nabla \varphi$ 指向 $\varphi$ 增长最快的方向。

例题 2：画一个梯度场

题目：画出 $\varphi (x,y)=x+y$ 的梯度场。

解：

$$\nabla \varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial \varphi }{\partial y}\mathbf{j}=\mathbf{i}+\mathbf{j}$$

梯度是常向量——场中每个点的向量都是 $⟨1,1⟩$，整个场是一排排平行向量。把 $\varphi$ 的等值线（$x+y=c$，一族斜率 $-1$ 的平行直线）画在一起可以发现：梯度向量在每点都垂直于过该点的等值线，且指向 $\varphi$ 增大的一侧。这个「梯度 ⊥ 等值线」的关系是梯度场最重要的视觉特征。

保守场与势函数：逆向提问

对任意向量场 $\mathbf{F}$，一个自然的逆向问题是：**它是否是某个函数 $\varphi$ 的梯度场？**如果是，$\varphi$ 怎么找？这个问题在物理应用中极其重要。

定义 15.1.3：若向量场 $\mathbf{F}$ 在某区域内是某个函数 $\varphi$ 的梯度场，即

$$\mathbf{F}=\nabla \varphi$$

则称 $\mathbf{F}$ 在该区域内是保守场，$\varphi$ 称为 $\mathbf{F}$ 在该区域的势函数。

物理直觉：保守场中把质点从 $A$ 移到 $B$ 场力做的功只与 $A,B$ 位置有关、与路径无关——这正是「势能」概念能存在的原因。

例题 3：平方反比场是保守的

题目：证明平方反比场在不含原点的任何区域内是保守场。

解：以二维为例，取势函数

$$\varphi (x,y)=-\frac{c}{(x^2+y^2{)}^{1/2}}$$

验证它的梯度就是场本身：

$$\nabla \varphi (x,y)=\frac{\partial \varphi }{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial \varphi }{\partial y}\mathbf{j}=\frac{cx}{(x^2+y^2{)}^{3/2}}\mathbf{i}+\frac{cy}{(x^2+y^2{)}^{3/2}}\mathbf{j}=\frac{c}{(x^2+y^2{)}^{3/2}}(x\mathbf{i}+y\mathbf{j})=\mathbf{F}(x,y)$$

注意「不含原点」的限制：势函数在原点无定义，所以场在包含原点的区域内不能说是保守的。原点是场的「奇点」。后面章节会介绍系统寻找势函数的方法。

散度 div F：场在某点的「发散程度」

接下来定义向量场的两个核心运算。名字来自流体力学：散度描述流体在某点是流向该点还是流离该点。

定义 15.1.4：设 $\mathbf{F}(x,y,z)=f\mathbf{i}+g\mathbf{j}+h\mathbf{k}$，则 $\mathbf{F}$ 的散度是标量函数：

$$\mathrm{div}\mathbf{F}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial h}{\partial z}$$

口诀：每个分量对自己的变量求偏导，再全部相加。散度是标量（不是向量场）。

旋度 curl F：场在某点的「旋转倾向」

旋度描述流体在某点的旋转性质。

定义 15.1.5：设 $\mathbf{F}(x,y,z)=f\mathbf{i}+g\mathbf{j}+h\mathbf{k}$，则 $\mathbf{F}$ 的旋度是向量场：