📘 🗺️ 偏导数：多元函数的微积分 · 第 13 章精讲

这一篇在干嘛？

地形图上任一点沿不同方向坡度不同——这就是偏导数。这一章讲多元函数的极限、偏导、链式法则、梯度、切平面、极值与拉格朗日乘数法。

多元函数：从一个变量到多个变量

前面章节研究的函数只有一个自变量：$y=f(x)$。但现实中许多量同时依赖多个因素：三角形面积 $A$ 取决于底 $b$ 和高 $h$；长方体体积 $V=lwh$ 取决于三个量；$n$ 个数的算术平均 $\bar{x}=\frac{1}{n}(x_1+\cdots +x_n)$ 依赖于全部 $n$ 个数。本章把微积分的基本思想——极限、连续、导数——推广到两个或更多自变量的情形，即多元函数。

三维曲面也像山脉一样有山峰和低谷，我们要用导数来找到这些点，并研究曲面的其他几何特征。

记号与定义

定义 13.1.1：两个变量 $x$、$y$ 的函数 $f$ 是一条规则，它给 $xy$ 平面上某集合 $D$ 内的每个点 $(x,y)$ 指定唯一的实数 $f(x,y)$，记作 $z=f(x,y)$。

定义 13.1.2：三个变量的函数 $f$ 给三维空间某集合 $D$ 内每个点 $(x,y,z)$ 指定唯一实数 $f(x,y,z)$，记作 $w=f(x,y,z)$。

进一步推广，可以定义 $n$ 维空间中的「点」为有序数组 $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$，$n$ 元函数就是给空间某集合内每个点指定唯一实数的规则。

和一元函数一样，多元函数有定义域：自变量被限制的集合。若函数由公式给出且无其他限制，则定义域取自然定义域——使公式有意义的所有点。

例题 1：求定义域

题目：设 $f(x,y)=\sqrt{y+1}+\ln (x^2-y)$，求 $f(e,0)$ 并画出自然定义域。

求解：代入求值：

$$f(e,0)=\sqrt{0+1}+\ln (e^2-0)=1+2=3$$

定义域要求两个部分同时有意义：

• $\sqrt{y+1}$ 有定义需要 $y\ge -1$；
• $\ln (x^2-y)$ 有定义需要 $x^2-y>0$，即 $y<x^2$。

所以自然定义域是满足 $-1\le y<x^2$ 的所有点：直线 $y=-1$（实线，可取）之上、抛物线 $y=x^2$（虚线，不可取）之下的区域。

例题 2：三元函数的定义域

题目：求 $f(x,y,z)=\sqrt{1-x^2-y^2-z^2}$ 的 $f\left(0,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ 和自然定义域。

求解：

$$f\left(0,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)=\sqrt{1-0-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

根号下必须非负：$1-x^2-y^2-z^2\ge 0$，即 $x^2+y^2+z^2\le 1$。自然定义域是单位球面上及其内部的所有点。

用表格描述的函数

有些二元函数用表格表示更直观。例如美国国家气象局用公式

$$W=35.74+0.6215T+(0.4275T-35.75)v^{0.16}$$

计算风寒指数 $W$（°F），它是气温 $T$（°F）与风速 $v$（mi/h，$v>3$）的函数。公式复杂，难有直觉，于是列表取样：

$T$ \ $v$	5	15	25	35	45
20	13	6	3	0	−2
25	19	13	9	7	5
30	25	19	16	14	12
35	31	25	23	21	19

例如气温 30°F、风速 5 mi/h 时，体感如同 25°F；风速加到 15 mi/h，体感降到 19°F——风速增加 10 mi/h 使风寒指数下降 6°F。表中没有的值可用线性插值估算：如 $T=30^{\circ }$F、$v=7$ mi/h 时，按比例估计下降 $\frac{2}{10}\times 6^{\circ }\mathrm{F}=1.2^{\circ }\mathrm{F}$，风寒约为 $23.8^{\circ }\mathrm{F}$。

二元函数的图像：三维空间中的曲面

一元函数 $y=f(x)$ 的图像是平面曲线；二元函数 $z=f(x,y)$ 的图像是三维空间中的曲面。

例题 3：三种基本曲面

(a) $f(x,y)=1-x-\frac{1}{2}y$：图像是平面 $z=1-x-\frac{1}{2}y$，可画它与三条坐标轴的交点，连成三角形切片。

(b) $f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}$：两边平方得 $x^2+y^2+z^2=1$（单位球面），加上条件 $z\ge 0$，图像是上半球面。

(c) $f(x,y)=-\sqrt{x^2+y^2}$：平方得 $z^2=x^2+y^2$（圆锥面），条件 $z\le 0$ 表明图像是圆锥的下半叶。

图：平面、上半球面与下半圆锥面的图像

图：曲面图像在坐标系中的位置

图：三个例子对应的曲面综合展示

等值线：用二维地图看三维曲面

等高线地图用一族标着海拔的曲线描绘山地。对曲面 $z=f(x,y)$ 同样如此：用水平面 $z=k$ 去截曲面，交线投影到 $xy$ 平面上，得到函数值等于 $k$ 的点的轨迹，称为高度为 $k$ 的等值线（level curve）。一族等值线构成 $f$ 的等值线图（contour map）。

等值线图藏着曲面的地形信息：等值线密集的地方坡度陡，稀疏的地方坡度缓；沟壑表现为等值线的凹口。

图：山丘模型与其等高线地图的对应

图：水平面截曲面得到等值线

图：等值线密集处坡陡、稀疏处坡缓

例题 4：马鞍面的等值线

题目：求 $f(x,y)=y^2-x^2$ 的等值线。

求解：曲面 $z=y^2-x^2$ 是双曲抛物面（马鞍面）。等值线方程为 $y^2-x^2=k$：

• $k>0$：双曲线，沿平行于 $y$ 轴的方向张开；
• $k<0$：双曲线，沿平行于 $x$ 轴的方向张开；
• $k=0$：退化为两条相交直线 $y+x=0$ 与 $y-x=0$。