📘 ♾️ 无穷级数：无限相加的艺术 · 第 9 章精讲

这一篇在干嘛？

把无穷多个数加起来有意义吗？什么时候收敛？这一章讲数列、级数、各类收敛判别法、幂级数，最终抵达泰勒级数——用多项式逼近一切光滑函数。

数列是什么：按规则排列的无穷串

日常语言里「序列」指按某种顺序排成一串的东西。数学中的数列（sequence）是一串按确定顺序无限延续的数，称为项：第一项 $a_1$，第二项 $a_2$，第三项 $a_3$……写作

$$a_1,a_2,a_3,a_4,\dots$$

一些例子：

$$1,2,3,4,\dots ;1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots ;2,4,6,8,\dots ;1,-1,1,-1,\dots$$

只看前几项猜规律可能被骗——同一个开头可以延续出完全不同的数列。可靠的做法是给出生成每一项的规则，即把每一项与它的项数关联起来。例如 $2,4,6,8,\dots$ 中每项都是项数的两倍，通项公式为 $f(n)=2n$，称为通项（general term）。想知道第 37 项？代入：$2\times 37=74$。

找通项：四个典型例子

例 1：写出下列数列的通项。

(a) $\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\dots$。把各项放在项数下方对齐观察：分子等于项数 $n$，分母比项数大 1。所以通项为 $\frac{n}{n+1}$：

$$\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\dots ,\frac{n}{n+1},\dots$$

(b) $\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\dots$。分母都是 2 的幂，且指数恰为项数。通项 $\frac{1}{2^n}$。

(c) $\frac{1}{2},-\frac{2}{3},\frac{3}{4},-\frac{4}{5},\dots$。与 (a) 相同但符号正负交替。产生交替符号的标准工具是因子 $(-1{)}^{n+1}$：$n=1,2,3,4,\dots$ 时它依次取 $1,-1,1,-1,\dots$。所以通项为 $(-1{)}^{n+1}\frac{n}{n+1}$。

(d) $1,3,5,7,\dots$。每项比项数的两倍少 1：$2n-1$。

通项已知时，常用花括号记号代替罗列前几项：

数列	花括号记号
$\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\dots ,\frac{n}{n+1},\dots$	${\left\{\frac{n}{n+1}\right\}}_{n=1}^{+\infty }$
$\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\dots ,\frac{1}{2^n},\dots$	${\left\{\frac{1}{2^n}\right\}}_{n=1}^{+\infty }$
$\frac{1}{2},-\frac{2}{3},\frac{3}{4},\dots ,(-1{)}^{n+1}\frac{n}{n+1},\dots$	${\left\{(-1{)}^{n+1}\frac{n}{n+1}\right\}}_{n=1}^{+\infty }$
$1,3,5,7,\dots ,2n-1,\dots$	$\{2n-1{\}}_{n=1}^{+\infty }$

字母 $n$ 称为数列的下标（index），用哪个字母无所谓（$k$ 也行），也不必从 1 开始。比如

$$1,\frac{1}{2},\frac{1}{2^2},\frac{1}{2^3},\dots$$

从 $n=1$ 起写是 ${\left\{\frac{1}{2^{n-1}}\right\}}_{n=1}^{+\infty }$；若把首项当「第 0 项」，写起来更简洁：${\left\{\frac{1}{2^n}\right\}}_{n=0}^{+\infty }$。

警告：几个初始项不能唯一确定数列。例如通项 $f(n)=\frac{1}{3}(3-5n+6n^2-n^3)$ 的前三项恰好也是 $1,3,5$，但第四项是 5 而不是 7。没有通项公式，「规律」永远只是猜测。

数列是函数

「不无限延续的一串数」这种描述不严谨。考虑 $2,4,6,8,\dots ,2n,\dots$，令 $f(n)=2n$，则数列就是 $f(1),f(2),f(3),\dots$——定义在正整数集上的函数取值列表。由此得到严格定义。

定义 9.1.1：数列是定义域为整数集的函数。通常定义域取正整数集或非负整数集；$\{a_n{\}}_{n=1}^{+\infty }$ 就是函数 $f(n)=a_n(n=1,2,3,\dots )$ 的另一种写法。

既然是函数，就有图像。数列 ${\left\{\frac{1}{n}\right\}}_{n=1}^{+\infty }$ 的图像是方程 $y=\frac{1}{n}(n=1,2,3,\dots )$ 的图像——因右边只对正整数有定义，图像是一串孤立的点。对比函数 $y=\frac{1}{x}(x\ge 1)$ 的图像则是连续曲线。这个差异后面会反复用到：数列是函数在整数点上的「采样」。

图：图 9.1.1(a) —— 数列 $\{1/n\}$ 的图像：一串孤立的点

图：图 9.1.1(b) —— 函数 $y=1/x(x\ge 1)$ 的图像：连续曲线

数列的极限：收敛与发散

数列只定义在整数上，所以唯一有意义的极限是 $n\to +\infty$ 时 $a_n$ 的极限。图 9.1.2 展示了四种典型行为：

• $\{n+1\}$：项无限增大——发散；
• $\{(-1{)}^{n+1}\}$：在 $1$ 与 $-1$ 之间振荡——发散；
• $\left\{\frac{n}{n+1}\right\}$：单调增大趋向「极限值」 $1$——收敛；
• $\left\{1+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n\right\}$：振荡着趋向 $1$——收敛（收敛不要求单调！）。

图：图 9.1.2 —— 四个数列的不同长期行为：无界增长、振荡、单调趋近、振荡趋近

非正式地说，${\lim }_{n\to +\infty }{a}_n=L$ 意思是：项最终会任意接近 $L$。精确化：

定义 9.1.2：若对任意 $ϵ>0$，存在正整数 $N$，使得 $n\ge N$ 时恒有 $|a_n-L|<ϵ$，则称数列 $\{a_n\}$ 收敛于极限 $L$，记作 ${\lim }_{n\to +\infty }{a}_n=L$。不收敛到任何有限极限的数列称为发散。

图：图 9.1.3 —— $ϵ$-$N$ 定义示意：从第 $N$ 项起，所有项都落在带形 $L-ϵ<y<L+ϵ$ 之内