这一篇在干嘛？
不是所有曲线都能写成 y=f(x)。这一章引入参数方程与极坐标两套新坐标系，计算它们的切线、弧长与面积，并完整梳理椭圆、抛物线、双曲线的性质。
为什么需要参数方程
函数图象 有一个先天限制：每个 只能对应一个 ，也就是必须通过竖直线检验。这一下就排除了圆、自交曲线等最基本、最重要的曲线。参数方程提供了一个不受此限制的曲线描述方式。
基本思想：设一个质点在平面上运动，其坐标随时间 变化：
这组等式称为质点运动的参数方程，质点走过的轨迹 就是这组方程的图象，变量 称为参数。
图：参数方程描述的曲线轨迹（图 10.1.1）
例 1
画出参数方程
所描述质点的轨迹。
解：描点法：取一列时间点，算出 坐标，再用光滑曲线连接。例如 时 ， 时 ， 时 ，……， 时 。
图：例 1 的轨迹图象（图 10.1.2）
注意图象上没有 轴： 的值只体现在点的标注上（通常还省略不标）。它只告诉我们“何时在何处”，不参与图象的坐标。
参数不一定是时间：除非问题本身指明， 只是取值于某个区间的独立变量（用什么字母都行）。若未声明范围，默认 取遍全体实数；要限定范围就写成
例 2
求参数方程 的图象。
解：消去参数 ——利用 ：
故图象落在单位圆 上。几何上， 正是原点到点 的径向线扫过的角度： 从 0 增到 ，点从 出发逆时针绕圆一整圈。
图：单位圆的参数表示， 为径向线的转角（图 10.1.3）
参数区间决定画出圆的哪一段：把区间改为 ，就只表示上半圆。
方向（定向）：参数曲线与曲线的区别
参数增加时图象被描画的方向称为参数增加的方向或曲线的定向。这带来一个概念区分：曲线是点的集合，而参数曲线是带定向的曲线。定向常用箭头标在图上。
例 2 的圆随 增大逆时针描出，故是逆时针定向的。想要顺时针版本，把 换成 并用 、：
点仍从 出发、 时绕完一圈，但方向变为顺时针。
图：顺时针定向的单位圆（图 10.1.4）
并非所有参数方程都给出确定的定向：若方程“行为不端”，描点可能乱跳或来回折返。例如 ，点沿抛物线 运动，但 在 与 之间周期性振荡，点便在 与 之间来回走。本节暂避开这类复杂情况。
例 3
通过消去参数画出参数曲线 ，并标出定向。
解：从第一个方程解出 ，代入第二个方程：
图象是斜率为 3、截距为 2 的直线。定向要回到原方程看： 增大时 （或 ）增大，故直线从左向右被描出。
图：例 3 的直线及其定向（图 10.1.5）
图： 的来回折返运动（图 10.1.6）
用参数形式表示普通函数
任何 都可以参数化：取 ，则
例如 在 上的图象可写成 。
图： 的参数化表示（图 10.1.7）
反过来，若 是一一对应的（有反函数 ），则 等价于 。取 参数化：
例如 的图象是 ，而其反函数的图象是 ——只是把两个方程对调。这是参数表示的一大便利：函数与反函数的图象在参数形式下几乎“免费”互换。
图：函数 及其反函数的图象（图 10.1.8）
参数曲线的切线：链式法则给出斜率公式
设 、 都有关于 的连续一阶导数。可以证明：在 处， 是 的可导函数，且链式法则给出
这个公式让我们不消参数就能直接算斜率。
例 4
求单位圆 在 处的切线斜率。
解：
在 处：。
图：单位圆的切线垂直于过切点的半径（图 10.1.10）
这个结果有漂亮的几何解释：原点到 的半径斜率是 ，切线垂直于半径，故斜率为 ，与公式一致。