📘 🧭 微分方程初步：用方程描述变化 · 第 8 章精讲

这一篇在干嘛？

人口增长、放射性衰变、自由落体——变化的世界用微分方程描述。这一章讲变量分离、斜率场、欧拉法与一阶线性方程，是通往后续数学建模的第一步。

什么是微分方程：从「未知数」到「未知函数」

前面解方程时，未知的是一个数 $x$；微分方程里未知的却是一个函数 $y=y(x)$，方程里出现的是这个函数的导数。比如

$$\frac{dy}{dx}-y=e^{2x}$$

问的是：哪个函数求导后减去它自己，等于 $e^{2x}$？这类方程之所以重要，是因为科学和工程中大量基本定律描述的正是「变化率」——人口增长率、药物吸收速率、温度变化速率、物体加速度——而导数就是变化率，所以这些定律天然写成微分方程。

**阶（order）**指方程中出现的最高阶导数的阶数。看几个例子：

微分方程	阶
$\frac{dy}{dx}=3y$	1
$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-6\frac{dy}{dx}+8y=0$	2
$\frac{d^{3}y}{d{t}^3}-t\frac{dy}{dt}+(t^2-1)y=e^t$	3
$y^{\prime }-y=e^{2x}$	1
$y^{\prime \prime }+y^{\prime }=\cos t$	2

注意最后两个用的是撇号记号，没写明自变量是 $x$ 还是 $t$，通常从方程本身或问题背景就能判断。

解与通解：一族曲线，而不是一个函数

若把某个函数 $y=y(x)$ 及其各阶导数代入方程后等式恒成立（在某开区间上），这个函数就叫方程在该区间上的一个解。

例：验证 $y=e^{2x}$ 是 $y^{\prime }-y=e^{2x}$ 的解。求导得 $y^{\prime }=2e^{2x}$，代入左边：

$$y^{\prime }-y=2e^{2x}-e^{2x}=e^{2x},$$

对一切实数 $x$ 成立。所以它是解。

但这不是唯一解。事实上对任意常数 $C$，

$$y=e^{2x}+C{e}^x$$

也都是解——同样求导代入：

$$y^{\prime }-y=(2e^{2x}+C{e}^x)-(e^{2x}+C{e}^x)=e^{2x}.$$

后面学了求解技巧后会知道，(1) 的全部解都能通过给 $C$ 赋值得到。像这样含有任意常数、能生成某个区间上全部解的解，称为通解（general solution）。经验规律：$n$ 阶方程的通解通常含 $n$ 个任意常数——直觉上，从 $n$ 阶导数还原原函数需要积分 $n$ 次，每积一次出一个常数。

积分曲线：解的图像叫方程的积分曲线。通解含一个任意常数，对应的不是一条曲线，而是一族曲线。例如上例中给 $C$ 取不同值，就得到一族形状相似、上下平移错开的曲线。

初值问题：从一族曲线中挑出那一条

实际问题往往还附带条件，用来确定任意常数的具体取值。经验法则是：$n$ 个任意常数需要 $n$ 个条件。对一阶方程，通常给定某个 $x_0$ 处的函数值

$$y(x_0)=y_0,$$

这叫初始条件；求解方程并满足初始条件的问题叫初值问题（initial-value problem）。几何上，初始条件的作用就是从整族积分曲线中挑出经过点 $(x_0,y_0)$ 的那一条。

例：解初值问题

$$\frac{dy}{dx}-y=e^{2x},y(0)=3.$$

把 $x=0,y=3$ 代入通解 $y=e^{2x}+C{e}^x$：

$$3=e^0+C{e}^0=1+C⟹C=2,$$

所以初值问题的解为

$$y=e^{2x}+2e^x.$$

几何上看，这就是图 8.1.1 中经过点 $(0,3)$ 的那条积分曲线。

图：图 8.1.1 —— 方程 $y^{\prime }-y=e^{2x}$ 的一族积分曲线，任意常数 $C$ 取不同值得到不同曲线，初始条件挑出过 $(0,3)$ 的那条

建模范式一：无抑制人口增长

科学定律为什么总写成微分方程？因为它们讲的往往是「变化率和当前状态之间的关系」。下面几个经典模型都遵循同一条套路：把文字描述的规律翻译成 $dy/dt$ 的方程，再加上初始条件，就得到初值问题。

无抑制人口增长：观察表明，当人口（可以是细菌、果蝇、人群）不受环境约束时，增长速率与当前总量成正比——越大长得越快。设 $y=y(t)$ 是时刻 $t$ 的总量，「增长率正比于 $y$」写成

$$\frac{dy}{dt}=ky,\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中 $k>0$ 是比例常数（通常由实验测定）。若已知 $t=0$ 时数量为 $y_0$，就得到初值问题

$$\frac{dy}{dt}=ky,y(0)=y_0.$$

这个模型什么时候合理？培养皿里的细菌在数量还少时，资源和空间充裕，用它可以；一旦数量大到环境开始「拥挤」，它就失效了。

建模范式二：Logistic 模型——带上限的增长

现实中的生态系统只能供养一定数量的个体，这个上限 $L$ 叫环境容纳量（carrying capacity）。观察到的事实是：

• $y>L$ 时，人口超出容量，趋于下降；
• $y<L$ 时，人口低于容量，趋于上升；
• $y=L$ 时，恰好平衡，保持稳定。

翻译成数学语言，就是要一个方程，满足

$$\frac{dy}{dt}<0\text{ 若 }\frac{y}{L}>1,\frac{dy}{dt}>0\text{ 若 }\frac{y}{L}<1,\frac{dy}{dt}=0\text{ 若 }\frac{y}{L}=1,$$

并且当人口远低于容纳量（$y/L\approx 0$）时，环境约束几乎不起作用，增长率应退化成无抑制模型 $\frac{dy}{dt}\approx ky$。一个同时满足所有要求的简单方程是

$$\frac{dy}{dt}=k\left(1-\frac{y}{L}\right)y.$$

逐项看：因子 $y$ 让小数量时近似无抑制增长；因子 $\left(1-\frac{y}{L}\right)$ 在 $y$ 接近 $L$ 时把增长率压向零，超过 $L$ 则变成负的。若 $k$ 和 $L$ 可由实验确定且初始量为 $y_0$，则初值问题为

$$\frac{dy}{dt}=k\left(1-\frac{y}{L}\right)y,y(0)=y_0.\text{\hspace{1em}(4)}$$

这一理论由比利时数学家 Verhulst 于 1838 年提出，称为逻辑斯蒂增长（logistic growth），方程 (4) 叫逻辑斯蒂微分方程。

建模范式三：药代动力学与疾病传播

药物吸收：药物（如青霉素、阿司匹林）进入血液后被身体吸收，且血液中药物越多，被吸收得越快——衰减速率正比于当前药量。设 $y(t)$ 为时刻 $t$ 血液中的药量，则

$$\frac{dy}{dt}=-ky,\text{\hspace{1em}(5)}$$

$k>0$ 依赖具体药物。负号是必须的，因为 $y$ 随时间减少。若初始剂量为 $y_0$，解初值问题 $\frac{dy}{dt}=-ky,y(0)=y_0$ 即可得到药量公式。和无抑制增长对比：只差一个符号，$+ky$ 是指数爆炸，$-ky$ 是指数衰减。