📘 🧮 积分技巧进阶：换元、分部与部分分式 · 第 7 章精讲

这一篇在干嘛？

不是所有积分都一眼能算。这一章系统学习积分方法工具箱：分部积分、三角积分、三角换元、部分分式，以及数值积分（辛普森法则）与反常积分。

积分评估的三条路径

前几章里，我们的大部分积分公式都是求导公式的直接推论：知道 $\sin x$ 的导数是 $\cos x$，自然就知道 $\cos x$ 的积分是 $\sin x$。后来又引入了 $u$-换元法，可以把陌生的被积函数变成熟悉的形式。但 $u$-换元并非万能，实际应用中还会遇到大量无法直接处理的积分。本章将系统介绍更多积分技巧。

面对一个陌生的积分，有三条基本路径：

• 技术工具（CAS）：Mathematica、Maple、开源的 Sage 等计算机代系统能计算非常复杂的积分，如今在电脑和手持计算器上都可用。
• 积分表：在 CAS 出现之前，科学家高度依赖积分表——那是几代人积累的经验汇编。更全面的积分表可查 CRC 标准数学表册等参考书。
• 变换方法：把陌生积分转化为熟悉积分的方法，包括 $u$-换元、被积函数的代数变形，以及本章要讲的其他技巧。

三条路径各有局限：CAS 会遇到积不出的积分，有时还给出过于复杂的答案；积分表不可能包罗万象；变换方法则依赖人的巧思，难题上可能束手无策。本章聚焦变换方法与积分表。即便你使用 CAS，理解这些方法也有助于更有判断力地使用工具——CAS 的很多算法正是建立在这些方法之上的。

基本积分公式回顾

以下公式是今后一切积分技巧的基础，按类别整理（$u$ 是可导函数，常数条件从略）：

常数、幂函数与指数

$\int du=u+C,\int adu=au+C$

$\int u^{r}du=\frac{u^{r+1}}{r+1}+C(r\ne -1),\int \frac{du}{u}=\ln |u|+C$

$\int e^{u}du=e^u+C,\int b^{u}du=\frac{b^u}{\ln b}+C(b>0,b\ne 1)$

三角函数

$\int \sin udu=-\cos u+C,\int \cos udu=\sin u+C$

$\int {\sec }^{2}udu=\tan u+C,\int {\csc }^{2}udu=-\cot u+C$

$\int \sec u\tan udu=\sec u+C,\int \csc u\cot udu=-\csc u+C$

$\int \tan udu=-\ln |\cos u|+C,\int \cot udu=\ln |\sin u|+C$

双曲函数

$\int \sinh udu=\cosh u+C,\int \cosh udu=\sinh u+C$

$\int {\mathrm{sech}}^{2}udu=\tanh u+C,\int {\mathrm{csch}}^{2}udu=-\coth u+C$

$\int \mathrm{sech}u\tanh udu=-\mathrm{sech}u+C,\int \mathrm{csch}u\coth udu=-\mathrm{csch}u+C$

代数函数（$a>0$）

$\int \frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}}={\sin }^{-1}\frac{u}{a}+C(|u|<a)$

$\int \frac{du}{a^2+u^2}=\frac{1}{a}{\tan }^{-1}\frac{u}{a}+C$

$\int \frac{du}{u\sqrt{u^2-a^2}}=\frac{1}{a}{\sec }^{-1}\left|\frac{u}{a}\right|+C(0<a<|u|)$

$\int \frac{du}{\sqrt{a^2+u^2}}=\ln (u+\sqrt{u^2+a^2})+C$

$\int \frac{du}{\sqrt{u^2-a^2}}=\ln |u+\sqrt{u^2-a^2}|+C(0<a<|u|)$

$\int \frac{du}{a^2-u^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+u}{a-u}\right|+C$

这些公式不必死记硬背，但至少要做到：看到积分形式时能想起去查对应公式，并清楚公式中 $a$、$u$ 各扮演什么角色。本章后面会推导出其中一部分公式的替代推导方法。

图：法兰西体育场（Stade de France）的浮动屋顶是一个椭圆——求椭圆弧长需要本章介绍的数值积分技术

换元与代数变形练习

熟练运用基本公式，关键在于两步：先做代数变形把被积函数化简，再用 $u$-换元匹配公式。下面用几个典型例子演示思路。

例：代数变形后积分

计算 $\int \frac{x+1}{x}dx$。先拆分：$\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}$，所以

$\int \frac{x+1}{x}dx=\int 1dx+\int \frac{dx}{x}=x+\ln |x|+C$