这一篇在干嘛？
这两族函数是微积分的「常客」。这一章把 e^x、ln x 的求导积分规则、反函数求导、洛必达法则、双曲函数串成一条线，处理之前法则覆盖不到的所有常见函数。
无理指数
本章开篇复习指数与对数函数，为后面推导它们的导数、积分公式打好基础。先看一个容易被忽略的细节：（ 为整数）和 （有理指数）我们都熟悉：
但如果 ，某些分数次幂会出现虚数（比如 ），所以本节默认 。
那么 、 这种无理指数是什么意思？思路是用有理数逼近：取 的十进制近似 ，构造一列有理指数幂 ，指数越来越接近 ，这列数也会越来越接近某个数——我们就把那个数定义为 。数值表显示
有了这个定义后，熟悉的指数法则对所有实指数都成立：
指数函数家族
形如 （）的函数叫指数函数（底数常、指数变）。注意 、 这类「底变指常」的函数不是指数函数。
的图象有三种形态，共同性质如下：
- 图象过点 （因为 ）；
- 若 ：从左到右 无限增大；从右到左 趋于 0 但永远取不到 0，所以 轴是水平渐近线；
- 若 ：方向反过来，从左到右递减趋于 0；
- 若 ：恒为 1。
图： 的三种图象形态（、、）
图：不同底数的指数函数图象， 与 关于 轴对称
定理（6.1.1） 若 且 ：
(a) 对所有实数 有定义，自然定义域为 ；
(b) 在 上连续，值域为 。
例 1 画 的草图并求定义域与值域。
解：从 出发，先关于 轴翻折得 ，再向上平移 1 个单位得 。图象以水平线 为渐近线。由图可见定义域是 ，值域是 。
图：由 翻折、平移得到 的三步变换
自然指数函数
在所有可能的底数中，有一个在微积分里特别重要，记作 ，它是一个无理数：
之所以特殊，是因为 是唯一使曲线 在任一点处切线斜率恰好等于该点纵坐标的底数。比如 在 处切线斜率恰为 1。函数 称为自然指数函数，有时写作 ，例如 可写成 。
图： 在 处切线斜率为 1
常数 还出现在曲线 中。数值与图象都表明 是它的水平渐近线：
它们可由极限
推出，这个极限有时也被当作 的定义。直观理解：每期利率 、复利 期，最终增长倍数趋于 。
图： 的图象以 为水平渐近线
对数函数
对数就是指数。若 、，对 ， 表示「 的多少次方等于 」。例如