这一篇在干嘛？
定积分是台「切片机」：切面积算体积、切长度算弧长、切力算功。这一章把旋转体体积（圆盘/垫圈/柱壳）、曲线弧长、旋转曲面面积、做功、液压力与重心一次讲透。
从面积到更广的应用：一条统一的方法论
第 4 章我们用定积分求面积，但定积分的本事远不止于此——月球登陆所需的大量计算都离不开它。本章将看到，求立体体积、曲面面积、曲线弧长、力做的功、平面图形的重心、流体压力等五花八门的问题，全部可以用同一套流程解决：
- 把要计算的量切成「小块」；
- 对每个小块做近似（通常是矩形、圆柱等简单几何体）；
- 把近似加起来得到一个黎曼和；
- 让分割无限细，取极限得到定积分。
理解黎曼和各部分在极限下的「去向」很有帮助：取样点 变成积分变量 ；小区间宽度 变成微分记号 ；区间 变成积分的上下限。记住这个对应关系，后面每个新公式都能「看穿」它从哪来。
图：微积分是登月计算的基础
图：极限过程对黎曼和各部分的作用
两条曲线之间的面积
现在考虑面积问题的推广：设 和 在 上连续，且对一切 有 （上曲线可以碰到下曲线但不穿过）。求上边界为 、下边界为 、两侧为直线 与 的区域面积。
图：上下边界分别为 与 的区域（Figure 5.1.3a）
图：区域被竖直线段切成细条（Figure 5.1.3b）
思路还是老一套：把 分成 个小区间，区域随之被切成 个细条。第 条宽 ，高近似为 ，所以面积近似为矩形面积 。求和、取极限，得到下面的公式。
面积公式 5.1.2 若 、 在 上连续且 ，则两条曲线之间区域的面积为
例 1：求上边界 、下边界 、两侧为 与 的区域面积。
思路：直接套公式 (1)，，。
逐步演算：
图：区域与竖直截面示意（Figure 5.1.4）
例 2：求曲线 与 所围区域的面积。
思路：两条曲线没有给两侧边界线，区域的端点就是两曲线的交点，所以要先解交点确定积分限。
逐步演算：令 ，即
得 与 （对应 与 ，交点为 和 ）。在 上直线在抛物线上方，故
图： 与 围成的区域（Figure 5.1.6）
当 、 在 上都非负时，公式 (1) 可以拆成两个积分之差：
即「上曲线下面积减去下曲线下面积」，如图 5.1.7 所示。
图：两曲线间面积 = 两个曲边梯形面积之差（Figure 5.1.7）
例 3（物理意义）：图 5.1.8 是两辆同地同时起跑的赛车的速度-时间曲线。两曲线之间的面积 （）代表什么？
分析：由速度积分得位移，
正是车 2 与车 1 在这段时间内行驶路程之差。由于 ， 就是 时刻车 2 领先车 1 的距离。可见「两曲线间面积」不一定是几何量——它可以是任何「量的累积差」。
图：两辆赛车的速度-时间曲线（Figure 5.1.8）
建立积分式的系统步骤
拿到一个区域，怎么确定被积函数和积分限？推荐如下三步：
- 画草图，在区域内任取一点 画一条竖直线段，连接区域的上下边界（不需要画得很精确，只需看清谁是上边界、谁是下边界）；
- 这条线段的上端点纵坐标是 ，下端点纵坐标是 ，线段长度 就是被积函数；
- 想象把这条线段从左往右扫过区域：最左能碰到区域的位置是 ，最右是 ，这就是积分限。
一个有用的口诀：把竖直线段看作区域在 处的截面，公式 (1) 的意思就是「面积 = 截面长度对区间的积分」。
图：在区域内作竖直截面（Figure 5.1.9a）
图：截面扫到最左端得到下限（Figure 5.1.9b）
图：截面扫到最右端得到上限（Figure 5.1.9c）
例 4（边界由多条曲线拼成）：求曲线 与 围成的区域面积。
思路：先把 改写为 ，令两式相等找交点：