第12章 微波放大器设计：稳定圆与增益圆

第12章 微波放大器设计

本章在干嘛？

信号放大是射频/微波系统里最基础、最常见的电路功能。上一章我们认识了晶体管这件”零件”，本章就来用它搭放大器：全部设计工作都基于器件的S 参数（或等效电路）展开。主线非常清晰——先学会算增益（12.1），再保证电路不振荡（12.2），然后按需设计：最大增益、指定增益、最低噪声（12.3），带宽不够再上平衡/分布式架构（12.4），最后是大信号下的功率放大器（12.5）。

12.1 二端口功率增益

三种增益定义

考虑任意二端口网络（S 参数矩阵 $[S]$），接上源阻抗 $Z_S$ 和负载阻抗 $Z_L$（图 12.1）。源和负载的反射系数：

\Gamma_L = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}, \qquad \Gamma_S = \frac{Z_S - Z_0}{Z_S + Z_0}. \tag{12.1}

三种功率增益定义——区别全在”源和负载是怎么匹配的”：

• 功率增益 $G=P_L/P_{\mathrm{in}}$：负载耗散功率 ÷ 送到网络输入口的功率。与 $Z_S$ 无关；
• 可用功率增益 $G_A=P_{\mathrm{avn}}/P_{\mathrm{avs}}$：网络可用功率 ÷ 源可用功率。假设源与负载都共轭匹配；依赖 $Z_S$、与 $Z_L$ 无关；
• 转换功率增益 $G_T=P_L/P_{\mathrm{avs}}$：送到负载的功率 ÷ 源可用功率。同时依赖 $Z_S$ 和 $Z_L$。

输入输出都共轭匹配时增益最大，此时 $G=G_A=G_T$。

关键中间量——朝网络里看的反射系数（把负载的影响”折”进输入口）：

\Gamma_{\mathrm{in}} = S_{11} + \frac{S_{12}S_{21}\Gamma_L}{1 - S_{22}\Gamma_L}, \qquad \Gamma_{\mathrm{out}} = S_{22} + \frac{S_{12}S_{21}\Gamma_S}{1 - S_{11}\Gamma_S}. \tag{12.3}

注意 ${\Gamma }_{\mathrm{in}}$ 里含 ${\Gamma }_L$：负载变了，输入阻抗也跟着变——这是 $S_{12}\ne 0$（双向器件）带来的”反馈通道”。由源电压 $V_S$ 出发，一步步算出输入功率与负载功率：

P_{\mathrm{in}} = \frac{|V_S|^2}{8Z_0}\frac{|1-\Gamma_S|^2}{|1-\Gamma_S\Gamma_{\mathrm{in}}|^2}\left(1-|\Gamma_{\mathrm{in}}|^2\right), \tag{12.5}

P_L = \frac{|V_S|^2}{8Z_0}\frac{|S_{21}|^2(1-|\Gamma_L|^2)|1-\Gamma_S|^2}{|1-S_{22}\Gamma_L|^2\,|1-\Gamma_S\Gamma_{\mathrm{in}}|^2}. \tag{12.7}

两者相除得功率增益：

G = \frac{|S_{21}|^2(1-|\Gamma_L|^2)}{(1-|\Gamma_{\mathrm{in}}|^2)|1-S_{22}\Gamma_L|^2}, \tag{12.8}

除以源可用功率 $P_{\mathrm{avs}}=P_{\mathrm{in}}{|}_{{\Gamma }_{\mathrm{in}}={\Gamma }_S^{\ast }}$（把 ${\Gamma }_{\mathrm{in}}={\Gamma }_S^{\ast }$ 代入 12.5）得转换功率增益：

G_T = \frac{|S_{21}|^2(1-|\Gamma_S|^2)(1-|\Gamma_L|^2)}{|1-\Gamma_S\Gamma_{\mathrm{in}}|^2|1-S_{22}\Gamma_L|^2}. \tag{12.13}

两个特例要记住：

• 输入输出都按零反射匹配（${\Gamma }_S={\Gamma }_L=0$，非共轭）：$G_T=|S_{21}{|}^2$（12.14）——数据手册上增益的来历；
• 单向化转换增益（$S_{12}=0$，于是 ${\Gamma }_{\mathrm{in}}=S_{11}$）：

G_{TU} = \frac{|S_{21}|^2(1-|\Gamma_S|^2)(1-|\Gamma_L|^2)}{|1-S_{11}\Gamma_S|^2|1-S_{22}\Gamma_L|^2}. \tag{12.15}

例 12.1（三种增益对比）：硅 BJT 在 1 GHz：$S_{11}=0.38\angle -158°$、$S_{12}=0.11\angle 54°$、$S_{21}=3.5\angle 80°$、$S_{22}=0.40\angle -43°$，$Z_S=25\Omega$、$Z_L=40\Omega$。算得 ${\Gamma }_S=-0.333$、${\Gamma }_L=-0.111$、${\Gamma }_{\mathrm{in}}=0.365\angle -152°$、${\Gamma }_{\mathrm{out}}=0.545\angle -43°$，代入 (12.8)(12.12)(12.13)：

$G=13.1,G_A=19.8,G_T=\mathrm{12.6.}$

三个数各不相同——因为源和负载都失配。

放大器设计的增益分解

单级晶体管放大器（图 12.2）= 输入匹配网络 + 晶体管 + 输出匹配网络。设计中最有用的是转换增益（同时计入源和负载失配），它可以拆成三段连乘：

G_T = G_S\,G_0\,G_L,\qquad G_0 = |S_{21}|^2,\quad G_S = \frac{1-|\Gamma_S|^2}{|1-S_{11}\Gamma_S|^2},\quad G_L = \frac{1-|\Gamma_L|^2}{|1-S_{22}\Gamma_L|^2}. \tag{12.16/12.17}

白话：$G_0$ 是”裸管子”的增益（管子定了就不能改），$G_S$、$G_L$ 是两个匹配网络贡献的”有效增益”——它们可以大于 1，因为失配的管子原本会在端口反射掉功率，匹配网络把这部分损失找了回来。放大器设计的实质：在稳定的前提下，用 $G_S$、$G_L$ 这两个旋钮调出想要的总体增益。

用等效电路也能直接估增益。单向化 FET（$C_{gd}=0$）输入端串感抗 $X=1/\omega C_{gs}$ 抵消 $C_{gs}$、输出端并感纳 $B=-\omega C_{ds}$ 抵消 $C_{ds}$，实现共轭匹配后：

G_{TU} = \frac{g_m^2R_{ds}}{4\omega^2R_iC_{gs}^2} = \frac{R_{ds}}{4R_i}\left(\frac{f_T}{f}\right)^2. \tag{12.18}

增益每倍频程掉 6 dB 是物理规律

(12.18) 显示共轭匹配 FET 放大器的增益按 $1/f^2$ 下降——每倍频程 6 dB。这不是设计缺陷，而是器件的固有属性（$f_T$ 之外电容分流越来越重）。宽带放大器的一切技巧（12.4 节）本质上都是在跟这条 6 dB/octave 的斜坡作斗争，且都拿增益、噪声或复杂度来换。

12.2 稳定性

放大器振荡的条件：输入或输出端口阻抗出现负实部，即 $|{\Gamma }_{\mathrm{in}}|>1$ 或 $|{\Gamma }_{\mathrm{out}}|>1$。由于 ${\Gamma }_{\mathrm{in}}$、${\Gamma }_{\mathrm{out}}$ 都依赖匹配网络给出的 ${\Gamma }_S$、${\Gamma }_L$，稳定性是”器件 + 匹配网络”整体的属性。两类稳定性：

• 无条件稳定（unconditionally stable）：对所有无源源/负载阻抗（$|{\Gamma }_S|<1$、$|{\Gamma }_L|<1$）都有 $|{\Gamma }_{\mathrm{in}}|<1$ 且 $|{\Gamma }_{\mathrm{out}}|<1$；
• 条件稳定（conditionally stable / potentially unstable）：只对一部分无源源/负载阻抗成立。

稳定性是逐频点的事

S 参数随频率变化，匹配网络也随频率变化——放大器可能在设计频率上稳定，在带外振荡。规范的放大器设计必须在器件工作的整个频段上检查稳定性，而不是只查设计频率那一个点。另外，S 参数依赖偏置条件，稳定性同样依赖偏置。

稳定圆

无条件稳定要求 (12.19) 成立：

\left|S_{11} + \frac{S_{12}S_{21}\Gamma_L}{1-S_{22}\Gamma_L}\right| < 1,\qquad \left|S_{22} + \frac{S_{12}S_{21}\Gamma_S}{1-S_{11}\Gamma_S}\right| < 1. \tag{12.19}

单向器件（$S_{12}=0$）简单：$|S_{11}|<1$、$|S_{22}|<1$ 就无条件稳定。双向器件则要在 Smith 圆图上画稳定圆：让 $|{\Gamma }_{\mathrm{in}}|=1$ 的 ${\Gamma }_L$ 轨迹（输出稳定圆）和让 $|{\Gamma }_{\mathrm{out}}|=1$ 的 ${\Gamma }_S$ 轨迹（输入稳定圆）。定义散射矩阵行列式：

\Delta = S_{11}S_{22} - S_{12}S_{21}, \tag{12.21}

把 $|{\Gamma }_{\mathrm{in}}|=1$ 整理成圆方程 $|{\Gamma }_L-C_L|=R_L$，得输出稳定圆的圆心与半径：

C_L = \frac{(S_{22} - \Delta S_{11}^*)^*}{|S_{22}|^2 - |\Delta|^2}, \qquad R_L = \left|\frac{S_{12}S_{21}}{|S_{22}|^2 - |\Delta|^2}\right|. \tag{12.25}

交换 $S_{11}\leftrightarrow S_{22}$ 得输入稳定圆：

C_S = \frac{(S_{11} - \Delta S_{22}^*)^*}{|S_{11}|^2 - |\Delta|^2}, \qquad R_S = \left|\frac{S_{12}S_{21}}{|S_{11}|^2 - |\Delta|^2}\right|. \tag{12.26}

圆的一侧稳定、另一侧不稳定，哪侧？用”圆图中心检验法”：令 $Z_L=Z_0$（即 ${\Gamma }_L=0$），则 $|{\Gamma }_{\mathrm{in}}|=|S_{11}|$。

• 若 $|S_{11}|<1$：圆图中心在稳定区 → 稳定区是稳定圆之外的圆图部分（图 12.5a）；
• 若 $|S_{11}|>1$：中心在不稳定区 → 稳定区是稳定圆内部与圆图相交的部分（图 12.5b）。