第08章 微波滤波器

这一章在干嘛？

滤波器（filter）是个二端口网络：让通带（passband）内的信号通过、把阻带（stopband）内的信号压下去。手机里挑频段、接收机里滤杂散，全靠它。这一章是”设计方法论”的完整闭环：先用周期结构直观理解”通带/阻带从哪来”→ 老派但好用的影像参数法（image parameter method）→ 现代主流的插入损耗法（insertion loss method）：查表得到归一化低通原型 → 频率/阻抗变换成你要的响应 → Richards 变换 + Kuroda 恒等式 / 阶梯阻抗 / 耦合线 / 耦合谐振器，把集总元件变成微波可实现的分布结构。这一章查阅型表格多，建议重点记住”设计流程图”，表格当工具书用。

8.1 周期结构

把传输线每间隔 $d$ 加一个并联电纳 $b$，就成了周期结构（periodic structure）——无限长的周期加载线天然表现出”通带+阻带”，是滤波概念的物理原型，也是行波管、慢波结构的基础。

对一个单元（长 $d$ 的线 + 中间并联电纳 $b$）写 ABCD 矩阵，利用无限周期性 $V_{n+1}=V_n{e}^{-\gamma d}$，非零解条件给出色散方程（式 8.7/8.8）：

$$\cosh \gamma d=\cos \theta -\frac{b}{2}\sin \theta ,\theta =kd$$

白话解释：右边的值决定波的行为——

• 若 $|\cos \theta -\frac{b}{2}\sin \theta |\le 1$：$\gamma =j\beta$ 纯虚，波无衰减传播 → 通带（式 8.9a）；
• 若 $|\cdot |>1$：$\gamma =\alpha$ 实数，波指数衰减（能量被反射回去，不是被吸收）→ 阻带（式 8.9b）。

这与晶体里的布洛赫波（Bloch wave）是同一数学。对应的特征阻抗叫布洛赫阻抗（Bloch impedance，式 8.12）：

$$Z_B^{\pm }=\frac{\pm B{Z}_0}{\sqrt{A^2-1}}$$

通带内 $Z_B$ 为实数，阻带内为虚数——跟波导的波阻抗在传播/截止下的行为一模一样。终端接 $Z_L=Z_B$ 才无反射。

k-β 图与波速

把传播常数 $\beta$ 对自由空间波数 $k$（即 $\omega /c$）作图就是 $k$-$\beta$ 图（布里渊图，Brillouin diagram）。两个速度一目了然（式 8.20/8.21）：

$$v_p=\frac{\omega }{\beta }=c\frac{k}{\beta }(\text{原点连线斜率}),v_g=\frac{d\omega }{d\beta }=c\frac{dk}{d\beta }(\text{曲线切线斜率})$$

例 8.1（电容加载线）：$Z_0=50\Omega$、$d=1$ cm、$C_0=2.666$ pF，色散方程为 $\cos \beta d=\cos k_{0}d-2k_{0}d\sin k_{0}d$。数值求解发现第一个通带在 $k_{0}d\le 0.96$；3 GHz 处 $v_p=0.42c$——典型的慢波结构（slow-wave）。

8.2 影像参数法

思路：把滤波器拆成简单二端口节的级联，每一节规定通带/阻带。核心概念是影像阻抗（image impedance）：端口 2 接 $Z_{i2}$ 时端口 1 看到的输入阻抗恰好是 $Z_{i1}$（两端同时匹配）。对 ABCD 参数为 $[AB;CD]$ 的互易二端口（式 8.27）：

$$Z_{i1}=\sqrt{\frac{AB}{CD}},Z_{i2}=\sqrt{\frac{BD}{AC}}$$

常数 k 型滤波节

T 型低通节（串联电感 $L$、并联电容 $C$，图 8.9）的影像阻抗与截止频率（式 8.32–8.35）：

$$Z_{iT}=R_0\sqrt{1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_c^2}},R_0=\sqrt{\frac{L}{C}},{\omega }_c=\frac{2}{\sqrt{LC}}$$

白话解释：$\omega <{\omega }_c$ 时 $Z_{iT}$ 是实数、衰减为零（通带）；$\omega >{\omega }_c$ 时 $Z_{iT}$ 变虚数、衰减以 40 dB/十倍频增长（阻带）。只有 $L,C$ 两个自由度，由 ${\omega }_c$ 和 $R_0$ 定死。高通节把 L、C 位置对调即可（式 8.37/8.38：$R_0=\sqrt{L/C}$，${\omega }_c=1/2\sqrt{LC}$）。

m 导出型滤波节

常数 k 节的两个毛病：截止附近衰减爬升太慢、影像阻抗随频率变化剧烈。m 导出节（m-derived section）把串联臂改成 $Z_1^{\prime }=m{Z}_1$、并联臂改成串联 LC（式 8.39–8.41），在

$${\omega }_{\infty }=\frac{{\omega }_c}{\sqrt{1-m^2}}$$

处并联臂谐振、衰减变无穷大——一个可以任意摆放的衰减极点！调整 $m$ 就能把极点贴着 ${\omega }_c$ 放，获得陡峭截止。

影像参数法的先天局限

m 导出节的衰减在 $\omega >{\omega }_{\infty }$ 后又会回落，所以实际用复合滤波器（composite filter）：陡截止的 m 导出节 + 提供远端高衰减的常数 k 节 + 两端 $m=0.6$ 的匹配节（实验证明 $m=0.6$ 时 $Z_{i\pi }$ 通带内最平坦），四级级联如式 8.18/8.19 所示。即便如此，整个方法仍无法精确指定整个频段的响应——要精确控制，得用下一节的插入损耗法。

例 8.2：设计 2 MHz 截止、75 Ω、极点在 2.05 MHz 的低通复合滤波器：常数 k 节 $L=11.94\mu$H、$C=2.122$ nF；陡截止节 $m=0.2195$；匹配节 $m=0.6$。频响在 2.05 MHz 出现尖谷、2.50 MHz 出现极点。

8.3 插入损耗法

理想滤波器：通带零插损、阻带无穷衰减、通带内线性相位——现实中不可兼得，滤波设计的艺术就是按需折中。插入损耗法定义功率损耗比（power loss ratio，式 8.49）：

$$P_{\text{LR}}=\frac{\text{源可用功率}}{\text{负载得到功率}}=\frac{1}{1-|\Gamma (\omega ){|}^2},\text{IL}=10\log P_{\text{LR}}\text{dB}$$

白话解释：只要规定 $P_{\text{LR}}(\omega )$，就同时锁定了 $|\Gamma (\omega ){|}^2$，进而可以用网络综合法反推出电路。$|\Gamma {|}^2$ 是 ${\omega }^2$ 的多项式，物理可实现的形式为 $P_{\text{LR}}=1+M({\omega }^2)/N({\omega }^2)$。