第07章 功分器与定向耦合器

这一章在干嘛？

把一路信号”分”成几路、或者把几路信号”合”成一路，是射频系统里最日常的操作——相控阵雷达的馈电网络、接收机里采样信号做检波，都离不开功分器（power divider）和定向耦合器（directional coupler）。这一章先讲三端口/四端口网络的”天生限制”，再逐个拆解最常用的几种实现：T 型结、Wilkinson、波导孔耦合、分支线电桥、耦合线耦合器、Lange 耦合器和环形电桥。核心分析武器是奇偶模分析（even-odd mode analysis），学会了它，这一章所有电路都能手推。

7.1 功分器与耦合器的基本性质

三端口网络（T 型结）：三个”完美”不可兼得

最简单的功分器是 T 型结（T-junction）：一个三端口网络。任意三端口网络的散射矩阵有 9 个独立元素（式 7.1）。如果这个网络是无源的（reciprocal，互易，$S_{ij}=S_{ji}$）、所有端口匹配（$S_{ii}=0$）、又无耗（[S] 是幺正矩阵），那么同时满足这些条件会导出一组互相矛盾的方程（式 7.3）：

$$|S_{12}{|}^2+|S_{13}{|}^2=1,S_{13}^{\ast }{S}_{23}=0$$

白话解释：幺正性要求任意两列”点积为零”且每列模方和为 1。三个传输系数 $S_{12},S_{13},S_{23}$ 里至少两个必须为零（保证点积为零），但这样剩下的一个就满足不了”模方和为 1”。结论：

三端口"不可能三角"

三端口网络不可能同时无耗、互易、全端口匹配。三者必须放弃一个：

• 放弃互易 → 得到环形器（circulator，靠铁氧体，见第 9 章）
• 放弃匹配 → 得到无耗 T 型结
• 放弃无耗 → 得到电阻性功分器（全匹配但不隔离）

这与矢量合成里的”不可能同时三个分量都占满”是同一类约束：设计三端口器件前，先想清楚你愿意牺牲哪一条。

四端口网络（定向耦合器）：正交耦合器与定向性

四端口就自由多了。可以证明：任何互易、无耗、全匹配的四端口网络必然是定向耦合器。其散射矩阵（选对称形式）为（式 7.17）：

$$[S]=\left[\begin{array}{cccc}0& \alpha & j\beta & 0\\ \alpha & 0& 0& j\beta \\ j\beta & 0& 0& \alpha \\ 0& j\beta & \alpha & 0\end{array}\right],{\alpha }^2+{\beta }^2=1$$

功率从端口 1 进：大部分到端口 2（直通端口，through port），一小部分耦合到端口 3（耦合端口，coupled port），理想情况下端口 4 一点都分不到（隔离端口，isolated port）。衡量耦合器有四个指标（式 7.20）：

指标	定义	直观含义
耦合度 Coupling $C$	$10\log (P_1/P_3)=-20\log \beta$ dB	抽走多少功率去耦合口，数值越大抽得越少
方向性 Directivity $D$	$10\log(P_3/P_4) = 20\log(\beta/	S_{14}
隔离度 Isolation $I$	$10\log(P_1/P_4) = -20\log	S_{14}
插损 Insertion loss $L$	$10\log (P_1/P_2)$	主路损耗

三者关系：$I=D+C$（dB）。理想耦合器 $D,I\to \infty$。

方向性为什么难测？ 它是个被”淹没”的低电平信号：直通臂上哪怕轻微失配，反射波经耦合臂漏过来的功率都可能比方向性通道的信号还强（例如 $C=20$ dB、$D=35$ dB、负载回波损耗 30 dB 时，反射路径的泄漏只比输入低 50 dB，反而压过 55 dB 下的方向性信号）。经典测法用滑动匹配负载：来回移动负载改变反射信号相位，输出功率走出一圈圆轨迹，由最大/最小功率比 $m$ 和标定功率比 $M$ 即可解出 $D=M(2m/(m+1))$。条件是负载回波损耗必须大于耦合器方向性本身。

耦合度恰为 3 dB（$\alpha =\beta =1/\sqrt{2}$）的耦合器叫混合结（hybrid junction），分两类：

• 90° 混合结（quadrature hybrid）：两输出相差 $90°$，散射矩阵形如式 7.22；
• 180° 混合结（magic-T / rat-race）：两输出相差 $180°$，矩阵形如式 7.23。

两类混合结本章都会遇到对应的电路实现：分支线与 Lange 耦合器属于前者，环形电桥与波导魔 T 属于后者——记住”3 dB 等分 + 输出相位关系”这条主线，后面对号入座即可。

7.2 T 型结功分器

无耗 T 型结可以建模为三段传输线在一点相交，结的不连续性用一个并联电纳 $B$ 代表（图 7.6）。输入匹配要求（式 7.24）：

$$Y_{\text{in}}=jB+\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}=\frac{1}{Z_0}$$

若忽略 $B$，即 $\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}=\frac{1}{Z_0}$——两个输出线的阻抗”并联”等于输入线阻抗。要 3 dB 均分（$Z_0=50\Omega$），就取 $Z_1=Z_2=100\Omega$。

例 7.1（2:1 分配）：要求输出功率比 $P_1:P_2=1:2$，则 $Z_1=3Z_0=150\Omega$，$Z_2=3Z_0/2=75\Omega$，$Z_{\text{in}}=150\parallel 75=50\Omega$ 匹配。但往输出口看进去严重失配：${\Gamma }_1=(30-150)/(30+150)=-0.666$，${\Gamma }_2=-0.333$。解题的关键观察：结点电压 $V_0$ 对两路输出是共用的，所以功率比就是电导比 $Z_2/Z_1$（$P\propto V_0^2/Z$）——想要谁分得多，就给谁配低阻抗。

无耗 T 型结的天然缺陷

输入口虽然匹配，但两个输出口之间毫无隔离（$S_{23}\ne 0$），而且从输出口看进去是失配的。一路输出端失配产生的反射会直接串进另一路。这就是为什么实际产品几乎都用 Wilkinson。

电阻性功分器：全匹配但仍无隔离

在三个臂上各加一段 $Z_0/3$ 的电阻（图 7.7），可以做到三端口全匹配（$S_{11}=S_{22}=S_{33}=0$），散射矩阵为（式 7.30）：

$$[S]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right]$$

白话解释：$S_{21}=S_{31}=1/2$，输出功率各为输入的 1/4——一半功率烧在电阻里（6 dB 损耗）。而且 $S_{23}=1/2\ne 0$，输出端口之间依然没有隔离。它只适合做宽带检波器前的小功率采样。

7.3 Wilkinson 功分器

1960 年 Wilkinson 提出的方案同时解决了匹配和隔离两个问题：在两个输出臂之间跨接一个耗散电阻 $R=2Z_0$，两臂各用一段 $\lambda /4$ 线（阻抗 $\sqrt{2}{Z}_0$）连接输入口（图 7.8）。它的妙处：

• 各端口全匹配；
• 端口 2、3 之间相互隔离（$S_{23}=0$）；
• 输出匹配时无耗——电阻上不消耗功率，只有端口 2/3 的反射功率才被电阻吸收。

奇偶模分析

把电路归一化后画成对称形式：两臂 $\lambda /4$ 线（归一化阻抗 $Z$）、中间并联归一化电阻 $r$、两个输出口接归一化 2 的源电阻。在端口 2、3 加对称/反对称激励，把响应叠加起来就得到 $S$ 参数。

偶模（even mode）：$V_{g2}=V_{g3}$，对称面上无电流，可视为开路，电阻 $r/2$ 不起作用。从端口 2 看，$\lambda /4$ 线是阻抗变换器：

$$Z_{\text{in}}^e=\frac{Z^2}{2}$$

要匹配就取 $Z=\sqrt{2}$。此时算得 $V_1^e=-j{V}_0\sqrt{2}$（四分之一波长线带来 $90°$ 相移）。

奇模（odd mode）：$V_{g2}=-V_{g3}$，对称面是电压零点（虚拟接地）。$\lambda /4$ 短路线从端口 2 看是开路，输入阻抗就是 $r/2$。要匹配就取 $r=2$。此模式下功率全部耗在 $r/2$ 上，$V_1^o=0$——这正是隔离的来源。

输入端匹配：端口 2、3 接匹配负载时对称面等效开路，电阻可拆掉，剩下两个 $\lambda /4$ 变换器并联：

$$Z_{\text{in}}=\frac{1}{2}(\sqrt{2}{)}^2=1✓$$

最终散射矩阵（式 7.33 区段结论）：

$$[S_{12}=S_{21}=S_{13}=S_{31}=-j/\sqrt{2},S_{23}=S_{32}=0,S_{ii}=0]$$

$-j/\sqrt{2}$ 里的 $-j$ 来自 $\lambda /4$ 线的 $90°$ 相移——传输到两个输出口的信号等幅同相，幅度各降 3 dB，一切都在意料之中。

Wilkinson 的"顺路无耗"特性

正常工作时（输出匹配）隔离电阻上没有电流、不耗功率，整个功分器是无耗的；只有当某一路输出失配、反射回来时，反射功率才经电阻走到另一路被吸收掉。一个电阻同时实现了”平时不碍事、出事能救场”。

例 7.2：50 Ω 系统的等分 Wilkinson：$\lambda /4$ 线阻抗 $Z=\sqrt{2}\times 50=70.7\Omega$，隔离电阻 $R=100\Omega$。频率偏离 $f_0$ 时 $S_{11},S_{21},S_{23}$ 都会逐渐变差，但 ±50% 带宽内隔离仍优于 20 dB 左右。

不等分与 N 路 Wilkinson

功率比 $K^2=P_3/P_2$ 时的设计公式（式 7.37）：

$$Z_{03}=Z_0\sqrt{\frac{1+K^2}{K^3}},Z_{02}=K^2{Z}_{03}=Z_0\sqrt{K(1+K^2)},R=Z_0\left(K+\frac{1}{K}\right)$$

$K=1$ 时退化为等分情形。注意两路输出线匹配到的阻抗是 $R_2=Z_{0}K$、$R_3=Z_0/K$（不是 $Z_0$），必要时再加 $\lambda /4$ 变换器。N 路版（图 7.14）同样能全匹配 + 全隔离，但 $N\ge 3$ 时隔离电阻需要跨线（crossover），平面工艺不好做——所以实际多级级联 2 路 Wilkinson 来搭 N 路网络。把多节 $\lambda /4$ 线级联起来还能进一步展宽 Wilkinson 的带宽。三种三端口功分器的对比总结：

方案	全匹配？	输出隔离？	无耗？	一句话定位
无耗 T 型结	仅输入端	否	是	结构最简，性能最糙
电阻功分器	是	否	否（6 dB 耗散）	宽带采样/检波
Wilkinson	是	是	输出匹配时是	实际系统的默认选择

7.4 波导定向耦合器

定向耦合器的定向性来源都是同一个套路：两条波在耦合口同相叠加，在隔离口反相抵消。

小孔耦合器（Bethe hole coupler）

在两根波导公共宽壁上开一个小孔。按第 4.8 节的小孔耦合理论，孔等效为电偶极子（偶对称辐射）+ 磁偶极子（横向分量奇对称辐射）两组源。调整孔的位置 $s$（偏离波导侧壁的距离）或两波导夹角 $\theta$，就能让朝隔离口方向的辐射抵消。圆孔时消去条件为（式 7.41）：

$$\sin \frac{\pi s}{a}=\frac{{\lambda }_0}{\sqrt{2({\lambda }_0^2-a^2)}}$$

白话解释：孔的位置决定了电偶极子和磁偶极子辐射的相对强度——放在这个”黄金位置”，两种成分朝隔离口的波恰好大小相等、相位相反。孔的大小 $r_0$ 则决定耦合度（耦合系数正比于 $r_0^3$）。

例 7.3：X 波段 9 GHz、20 dB 耦合设计得 $s=9.69$ mm、$r_0=4.15$ mm。频带内耦合变化不到 1 dB，但方向性对频率极其敏感（设计点 >60 dB，带边掉到 15~20 dB）——因为方向性靠两个波的精确抵消。

多孔耦合器：把方向性当”滤波器”来综合

单孔带宽窄，多开几个孔、间距 ${\lambda }_g/4$，就能像多节匹配变换器那样展宽带宽。双孔原理（图 7.18）：朝耦合口的两路波路程相同、同相叠加；朝隔离口的第二路波多走 ${\lambda }_g/2$、反相抵消——但这个抵消是频率敏感的。

N+1 孔情形下，反向波幅度（式 7.47/7.53）：

$$B=A\sum _{n=0}^N{B}_n{e}^{-2j\beta nd},S=\left|\sum _{n=0}^N{r}_n^3{e}^{-2j\beta nd}\right|$$

白话解释：第 $n$ 个孔的耦合系数正比于孔半径的立方 $r_n^3$。这个求和式跟天线阵的方向图因子、多节 $\lambda /4$ 变换器的公式一模一样——所以可以套用二项式（最平坦）或切比雪夫（等波纹）响应来综合孔径大小。注意：这里综合的是方向性响应，耦合度基本不随孔径分布变化。

例 7.4：四孔切比雪夫耦合器（9 GHz、20 dB 耦合、最小方向性 40 dB）解得 $r_0=r_3=3.26$ mm，$r_1=r_2=4.51$ mm，方向性带宽比单孔展宽一个量级。

7.5 90° 混合结（分支线耦合器）

分支线耦合器（branch-line hybrid）是微带实现的 3 dB 定向耦合器：主线和支线都是 $\lambda /4$，各臂归一化阻抗为 1（馈线）和 $1/\sqrt{2}$（分支臂）（图 7.21/7.22）。理想散射矩阵（式 7.61）：

$$[S]=\frac{-1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cccc}0& j& 1& 0\\ j& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& j\\ 0& 1& j& 0\end{array}\right]$$

白话解释：功率从端口 1 进，端口 2、3 各分一半，但端口 2 相位滞后 $90°$、端口 3 滞后 $180°$——两输出口正好差 $90°$，端口 4 完全隔离。四个端口地位对等，任取一个做输入都行。

奇偶模分析（再次上场）

把对称面切开，四端口拆成两个二端口（偶模：对称面开路；奇模：对称面接地）。用 ABCD 矩阵级联算出（式 7.63–7.66）：

$${\Gamma }_e=0,{\Gamma }_o=0,T_e=-\frac{1+j}{\sqrt{2}},T_o=\frac{1-j}{\sqrt{2}}$$

白话解释：${\Gamma }_e={\Gamma }_o=0$ 说明偶模和奇模单独看都匹配——这就是端口全匹配的原因。代入叠加公式 $B_1=\frac{1}{2}({\Gamma }_e+{\Gamma }_o)$、$B_2=\frac{1}{2}(T_e+T_o)$ 等四个式子，立刻得到 $B_1=B_4=0$（匹配+隔离）、$B_2=-j/\sqrt{2}$（3 dB，$-90°$）、$B_3=-1/\sqrt{2}$（3 dB，$-180°$）。$90°$ 差值就是这么来的。

分支线耦合器的带宽与工艺

$\lambda /4$ 结构决定了带宽只有 10%–20%；多级级联可展宽到一个倍频程以上。另外微带 T 结的不连续性效应要求把并联臂加长 $10°$–$20°$ 补偿；50 Ω 系统下分支臂只有 35.4 Ω（线很宽），高阻抗场合要留心。

7.6 耦合线定向耦合器

两条靠得足够近的传输线会通过场互相耦合，这就是耦合传输线（coupled transmission lines）。它支持两个正交模式：

• 偶模（even mode）：两条带线电流同向。等效电容 $C_e=C_{11}$，特征阻抗

$$Z_{0e}=\frac{1}{v_p{C}_e}$$

• 奇模（odd mode）：电流反向，两线之间存在电压零点。等效电容 $C_o=C_{11}+2C_{12}$，特征阻抗

$$Z_{0o}=\frac{1}{v_p{C}_o}<Z_{0e}$$

白话解释：靠得越近耦合越强，$Z_{0o}$ 越小、$Z_{0e}$ 与 $Z_{0o}$ 差别越大。对纯 TEM 线（带线），奇偶模相速相同；对微带线，奇模在空气区边缘场更多、有效介电常数更低，两模相速不等——这会劣化耦合器方向性。

给定 $Z_{0e},Z_{0o}$ 后，带线（TEM，可按介电常数缩放）与微带（准 TEM，需按具体 ${ϵ}_r$ 查表）的线宽 $W$ 与间距 $S$ 可查原书图 7.29/7.30 的设计曲线，或用商用微波 CAD 软件计算。

单节耦合线耦合器

一段 $\lambda /4$ 耦合线，四个端口定义如图 7.31。用奇偶模分解可证明：只要

$$Z_0=\sqrt{Z_{0e}{Z}_{0o}}$$

则所有端口匹配、端口 4 全隔离，且中心频率处 $V_3/V_0=C$（电压耦合系数）、$V_2/V_0=-j\sqrt{1-C^2}$——两输出口又差 $90°$，所以耦合线耦合器天然是正交混合结。响应是周期性的：$\theta =\pi /2,3\pi /2,\dots$ 处耦合最大。

由 $Z_0$ 和耦合度 $C$ 反解设计公式（式 7.87）：

$$Z_{0e}=Z_0\sqrt{\frac{1+C}{1-C}},Z_{0o}=Z_0\sqrt{\frac{1-C}{1+C}}$$

例 7.7：3 GHz、20 dB、带线（${ϵ}_r=2.2$，$b=0.32$ cm）设计得 $Z_{0e}=55.28\Omega$、$Z_{0o}=45.23\Omega$，查设计曲线得 $W/b=0.809$、$S/b=0.306$。无耗时方向性 >70 dB，计入介质/导体损耗后明显下降。

多节耦合线耦合器：综合”耦合”而不是”方向性”

单节带宽受 $\lambda /4$ 限制，级联 N 节（一般取奇数节、对称分布，相位特性更好）可展宽到一个倍频程以上。弱耦合近似下每节的耦合贡献为 $j{C}_n\sin \theta e^{-j\theta }$，总耦合电压（式 7.89/7.90）：

$$V_3=2j{V}_1\sin \theta e^{-jN\theta }\left[C_1\cos (N-1)\theta +C_2\cos (N-3)\theta +\cdots +\frac{1}{2}{C}_M\right]$$

白话解释：这是关于 $\theta$ 的傅里叶级数——给定想要的耦合-频率响应，就能像天线阵综合那样解出各节耦合系数 $C_n$，再按式 7.87 变成每节的 $Z_{0e}/Z_{0o}$。注意与多孔波导耦合器的差别：那里综合的是方向性响应，这里综合的是耦合响应（因为耦合线耦合器的非耦合臂在正向、路径不太依赖频率，与波导情形正好相反）。

强耦合做不出来

耦合线耦合器适合弱耦合（$C\ge 10$ dB）。想要 3 dB 强耦合，$Z_{0o}$ 会小到线间距几乎为零，工艺上无法实现。解决办法就是下一节的 Lange 耦合器。另外多节级联（奇数节、对称分布）可以展宽到一个倍频程以上——例如三节二项式 20 dB 耦合器（例 7.8）：$C_1=C_3=0.0125$、$C_2=0.125$，各节按式 7.87 算出奇偶模阻抗即可。

7.7 Lange 耦合器

Lange 耦合器（Lange coupler）把 4 条平行的指状耦合线交错互联（interdigitated），让每条线的两侧边缘场都参与耦合，轻松做到 3 dB、倍频程带宽；交指结构还顺带部分补偿了奇偶模相速差。两输出口相差 $90°$，所以它也是正交混合结。缺点是线又窄又密，还需要跨线键合线，加工麻烦。

展开型 Lange 耦合器可以等效为四线耦合线模型。假设每条线只与相邻线耦合，可把四线奇偶模阻抗 $Z_{e4},Z_{o4}$ 用相邻两线对的 $Z_{0e},Z_{0o}$ 表达（式 7.97）：

$$Z_{e4}=\frac{Z_{0o}+Z_{0e}}{3Z_{0o}+Z_{0e}}{Z}_{0e},Z_{o4}=\frac{Z_{0o}+Z_{0e}}{3Z_{0e}+Z_{0o}}{Z}_{0o}$$

然后套用单节耦合线耦合器的结果即可。设计反解公式（式 7.100）给出所需 $Z_{0e},Z_{0o}$——例如 5 GHz、3 dB、氧化铝基片（${ϵ}_r=10$）上可解出线宽与间距，线宽大约只有 50 μm 量级。

7.8 180° 混合结

180° 混合结（180° hybrid）的特性（式 7.101）：信号从端口 1（和端口，sum port）进 → 端口 2、3 等分同相输出；从端口 4（差端口，difference port）进 → 端口 2、3 等分反相（差 $180°$）输出；当合成器用时，端口 2、3 输入的和出现在端口 1、差出现在端口 4。三种常见实现：

环形电桥（rat-race）

环形电桥是一圈 $3\lambda /2$ 的环，各端口间隔：从和端口出发，两条路径（$3\lambda /4$ 与 $\lambda /4$）到两个输出口等长同相；到另一侧端口差半波长反相。环线阻抗 $\sqrt{2}{Z}_0=70.7\Omega$（50 Ω 系统）。奇偶模分析（与分支线完全同套路）给出 ABCD 矩阵（式 7.103）：

$${\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]}_e=\left[\begin{array}{cc}1& j\sqrt{2}\\ j\sqrt{2}& -1\end{array}\right],{\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]}_o=\left[\begin{array}{cc}-1& j\sqrt{2}\\ j\sqrt{2}& 1\end{array}\right]$$

代入叠加公式即得 $B_1=B_4=0$、$B_2=B_3=-j/\sqrt{2}$（和激励）。差端口激励时同理得到 $B_2=j/\sqrt{2}$、$B_3=-j/\sqrt{2}$——两输出口正好差 $180°$。环形电桥带宽约 20%–30%，比分支线略宽，且各端口都是 50 Ω 馈线、工艺友好。

渐变耦合线混合结

渐变耦合线 180° 混合结（tapered coupled line hybrid）用 Klopfenstein 渐变线做匹配，耦合段 $Z_{0e}(z)Z_{0o}(z)=Z_0^2$ 处处成立，末端 $Z_{0e}(L)=Z_0/k$、$Z_{0o}(L)=k{Z}_0$。电压耦合因子 $\beta =2\sqrt{k}/(k+1)$、$\alpha =(1-k)/(k+1)$，满足 ${\alpha }^2+{\beta }^2=1$。可实现任意分配比、带宽一个倍频程以上，代价是长度较长。

波导魔 T（magic-T）

魔 T 是 E-T 和 H-T 的组合体（图 7.42c）。定性理解：

• 波从和端口（H 臂）进：电场对 E 臂呈奇对称，E 臂不激发——端口 1、4 天然隔离；功率等分同相到两侧臂；
• 波从差端口（E 臂）进：对 H 臂同样奇对称不耦合，两侧臂等分反相输出。

魔 T 为什么"魔"

它把 E-T（串联特性）和 H-T（并联特性）正交组合在一个结里：两个正交的对称性保证 1↔4 自动隔离，不需要任何额外调谐元件。实际波导魔 T 常加对称放置的调谐柱/膜片把各端口匹配到一起，性能可媲美理想 180° 混合结。

7.9 其他耦合器

几种经典波导耦合器一图流：

耦合器	结构	定向性来源	特点
Moreno 交叉波导	两波导成直角，公共宽壁开两个孔/交叉缝	两波反向抵消	结构紧凑
Schwinger 反相耦合器	缝在宽壁中线两侧交错	两缝路程相同、靠反相磁耦合抵消	方向性基本与频率无关
Riblet 短槽	公共窄壁去掉一段	TE₁₀（偶）+TE₂₀（奇）模叠加	尺寸比其他波导耦合器小
对称渐变耦合线	连续渐变的多节耦合线	综合耦合响应	输出相差 90°

设计共通点：Schwinger 耦合器用”同路程 + 反相耦合”换取方向性对频率不敏感——正好与多孔耦合器（同相叠加靠路程、抵消靠频率敏感的相位差）互补。Riblet 短槽耦合器让 TE₁₀（偶对称）与 TE₂₀（奇对称）两个模式在耦合区叠加：设计得当时隔离口抵消、耦合口增强，但公共区的宽度必须压窄以抑制 TE₃₀ 模传播。这些波导思路也可以移植到微带/带线：在平面线之间或平面线与波导/镜像线之间开耦合孔即可，只是平面线场分布的解析计算比矩形波导繁琐得多，工程上多借助数值方法。

最后介绍一个重要应用——反射计（reflectometer）：用定向耦合器分别采样负载的入射波和反射波，就能测反射系数（网络分析仪的核心部件）。误差分析表明测量不确定度约为 $\pm 1/D$，所以高方向性（最好 >40 dB）是反射计精度的命根子。

本章方法论总结

1. 三端口网络受”不可能三角”约束——Wilkinson 用一个电阻优雅破局；
2. 奇偶模分析是本章万能钥匙：Wilkinson、分支线、环形电桥、耦合线耦合器全靠它，把四端口/三端口问题拆成两个二端口；
3. 定向耦合器的一切设计都在做同一件事——让两路波在耦合口同相、在隔离口反相；
4. 多孔/多节级联 = 把匹配变换器的综合方法（二项式、切比雪夫）搬过来用。

自测题（5 题，附答案）

1. 为什么无耗互易的三端口网络不可能全端口匹配？ 答：互易 + 全匹配 + 幺正性的散射矩阵方程组要求三个传输系数中至少两个为零，但同时每列模方和必须为 1，两者矛盾。必须放弃互易（做环形器）、匹配（无耗 T 结）或无耗（电阻功分器）之一。

2. Wilkinson 功分器里隔离电阻 $R=2Z_0$ 起什么作用？正常工作时它耗多少功率？ 答：奇模激励下对称面是电压零点，反射功率经该电阻在两路之间传导并被吸收，实现端口 2/3 隔离（并保证奇模匹配 $r/2=1$）。输出匹配时偶模下电阻两端等电位、无电流，不耗任何功率——只有端口 2/3 的反射功率才被它耗散。

3. 一个 20 dB 定向耦合器，方向性 35 dB，隔离度是多少？ 答：$I=D+C=35+20=55$ dB。即输入功率漏到隔离口的功率比输入低 55 dB。

4. 为什么 3 dB 强耦合不能用普通单节耦合线实现，Lange 耦合器怎么解决？ 答：3 dB 要求 $C=0.707$，由式 7.87 算出 $Z_{0o}\approx 20.7\Omega$，两线间距小到无法加工。Lange 用 4 条交指线互联，让每条线两侧边缘场都参与耦合，等效于把耦合加强数倍，用可实现的线宽/间距达到 3 dB，还部分补偿了奇偶模相速差。

5. 信号同时加到 180° 混合结的端口 2 和端口 3（等幅同相），输出端会出现什么？ 答：端口 1（和端口）得到两路同相信号之和；端口 4（差端口）因两路信号对它路径差 $180°$ 而相互抵消，输出为零。反之等幅反相输入时，和端口为零、差端口输出最大。

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