第06章 微波谐振器：从 RLC 到谐振腔

Note

微波谐振器（microwave resonator）是滤波器、振荡器、频率计、调谐放大器的”心脏”。它与电路理论里的 RLC 谐振回路本质相同，只是到了微波频段必须改用分布参数实现：一段传输线、一个封闭金属腔、或一块高介电常数的介质块。本章从 RLC 回路入手，一路讲到谐振腔的激励、耦合与微扰调谐。

6.1 串联与并联谐振电路

串联 RLC：输入阻抗

$$Z_{\mathrm{in}}=R+j\omega L-j\frac{1}{\omega C}.$$

送到谐振器的复功率可拆成三块：损耗功率、磁场储能与电场储能之差：

$$P_{\mathrm{in}}=P_{\mathrm{loss}}+2j\omega (W_m-W_e).$$

谐振的定义：平均磁储能与电储能相等（$W_m=W_e$），此时输入阻抗为纯实数 $R$，谐振频率

$${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.$$

品质因数 Q 是本章的灵魂参数：

$$Q=\omega \frac{\text{平均储能}}{\text{每秒损耗能量}}=\omega \frac{W_m+W_e}{P_{\mathrm{loss}}}.$$

白话：Q 衡量”存得住多少能量 vs 漏得多快”——损耗越低 Q 越高。损耗来自导体、介质或辐射，外加负载还会进一步拉低 Q。只看谐振器本身（不计外部负载）的 Q 叫无载 Q（unloaded Q）：

$$Q_0=\frac{{\omega }_{0}L}{R}=\frac{1}{{\omega }_{0}RC}.$$

在 $\omega ={\omega }_0+\Delta \omega$ 附近做小量展开，得很有用的近似式：

$$Z_{\mathrm{in}}\simeq R+j\frac{2R{Q}_0\Delta \omega }{{\omega }_0}.$$

另一个巧妙手法：把损耗”藏”进一个复数谐振频率 ${\omega }_0\leftarrow {\omega }_0(1+j/2Q_0)$。先用无耗解求场，再用上式把损耗一次性补回来——后面处理分布参数谐振器全靠这一招。

半功率相对带宽与 Q 恰成倒数：

$$\mathrm{BW}=\frac{1}{Q_0}.$$

并联 RLC 是串联的对偶（谐振又称反谐振 antiresonance）：

$$Q_0={\omega }_{0}RC=\frac{R}{{\omega }_{0}L}.$$

Warning

注意串联与并联的”方向相反”：串联电路 R 越小 Q 越高，并联电路 R 越大 Q 越高。套错公式是初学最常见的错误。记忆法：Q 高 = 能量少流失——串联看电流路径上的电阻，并联看电压两端的泄漏。

有载与无载 Q：谐振器总要接外部电路，外接负载 $R_L$ 会额外引入损耗。定义外部 Q（external Q）后，三者满足

$$\frac{1}{Q_L}=\frac{1}{Q_e}+\frac{1}{Q_0}.$$

白话：三种损耗机制并联着”抢”能量，Q 的倒数按比例相加——和损耗弱的那个（Q 大的）最占权重。

两种谐振电路对偶速查表：

量	串联 RLC	并联 RLC
谐振判据	$W_m=W_e$，$Z_{\mathrm{in}}$ 纯实	同左（反谐振）
谐振频率	${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$	同左
无载 Q	${\omega }_{0}L/R$	${\omega }_{0}RC$
外部 Q	${\omega }_{0}L/R_L$	$R_L/{\omega }_{0}L$
半功率带宽	$\mathrm{BW}=1/Q_0$	同左
近谐振输入	$R+j2R{Q}_0\Delta \omega /{\omega }_0$	$\frac{R}{1+2j{Q}_0\Delta \omega /{\omega }_0}$

再补一个”复谐振频率”技巧的统一视角：有耗串联谐振器的 $Z_{\mathrm{in}}=R+j2L\Delta \omega$，恰好等于把无耗式 $Z_{\mathrm{in}}=j2L(\omega -{\omega }_0)$ 中的 ${\omega }_0$ 换成 ${\omega }_0(1+j/2Q_0)$ 的结果。损耗小、Q 高的场合都可以先解无耗问题，再一步补损——本章后面所有分布参数谐振器（传输线、腔、介质块）都沿用这一套路。

6.2 传输线谐振器

微波频段理想集总元件难以实现，改用传输线段做谐振器。分析套路完全一致：写出含损耗（$\alpha \ne 0$）的输入阻抗，在谐振点附近小量展开，与 RLC 等效电路对照，读出 Q。

短路 $\lambda /2$ 线（串联谐振型）：$Z_{\mathrm{in}}=Z_0\tanh (\alpha +j\beta )\ell$，在 $\ell =\lambda /2$ 附近

$$Z_{\mathrm{in}}\simeq Z_0\left(\alpha \ell +j\frac{\Delta \omega \pi }{{\omega }_0}\right),$$

与串联 RLC 的形式一样，等效出 $R=Z_0\alpha \ell$，且谐振发生在 $\ell =n\lambda /2$（$n=1,2,\dots$）：

$$Q_0=\frac{\beta }{2\alpha }.$$

短路 $\lambda /4$ 线（并联谐振型）：输入阻抗在谐振点发散，等效为并联 RLC，同样有 $Q_0=\beta /2\alpha$。

开路 $\lambda /2$ 线（并联谐振型）：微带电路中最常用的实用谐振器，等效 $R=Z_0/\alpha \ell$，无载 Q 同样是

$$Q_0=\frac{\beta }{2\alpha }.$$

Success

一个漂亮而统一的结论：无论哪种线长/端接组合，传输线谐振器的无载 Q 都是 $\beta /2\alpha$——即”相移一半的衰减”。想提高 Q 就两条路：降低衰减 $\alpha$（镀银、换低损介质）或让能量跑得更远（提高频率、加大尺寸）。

数值感受一下量级：5 GHz 下铜同轴线（空气填充）$Q=2380$；换聚四氟乙烯填充后导体与介质损耗叠加，$Q$ 降到 1218；而 $\lambda /2$ 微带谐振器（覆铜 + 聚四氟乙烯基片）只有约 $Q=783$。金属腔（下一节）则能到几千至上万。

微带谐振器的损耗拆解值得看一眼：导体损耗 ${\alpha }_c=R_s/Z_{0}W$、介质损耗 ${\alpha }_d$ 由基片材料决定，两者直接相加进 $\alpha$。同样的频率与材料，50 Ω 微带的导体损耗比同轴线大得多（线更”细”、电流更集中），这就是微带 Q 偏低的主因。

三种线型谐振器速查：

谐振器	谐振条件	谐振类型	无载 Q
短路 $\lambda /2$ 线	$\ell =n\lambda /2$	串联型	$\beta /2\alpha$
短路 $\lambda /4$ 线	$\ell =\lambda /4$	并联型	$\beta /2\alpha$
开路 $\lambda /2$ 线	$\ell =n\lambda /2$	并联型	$\beta /2\alpha$

6.3 矩形波导谐振腔

开放波导端口辐射损耗太大，所以波导谐振器通常两端短路面封死，构成封闭谐振腔（cavity）。能量存在腔体内，损耗在金属壁和填充介质上；耦合通过小孔、探针或耦合环实现。腔内存在许多谐振模式，对应场沿三个方向的驻波变化数。

谐振频率：从已满足侧壁边界条件的波导模式出发（前向波 + 后向波叠加），再令端面 $z=0,d$ 处切向电场为零。条件是

$${\beta }_{mn}d=\ell \pi ,\ell =1,2,3,\dots$$

即腔长必须是半导波长的整数倍。由此得谐振频率

$$f_{mn\ell }=\frac{c}{2\pi \sqrt{{\mu }_r{ϵ}_r}}\sqrt{{\left(\frac{m\pi }{a}\right)}^2+{\left(\frac{n\pi }{b}\right)}^2+{\left(\frac{\ell \pi }{d}\right)}^2}.$$

白话：三个整数 $m,n,\ell$ 分别是场沿 $x,y,z$ 方向的”半波数”，谐振波数就是把三个方向的分量按勾股定理加起来。若 $b<a<d$，最低模式（主模）为 ${\mathrm{TE}}_{101}$；最低 TM 模为 ${\mathrm{TM}}_{110}$。

TE${}_{10\ell }$ 模的无载 Q：把驻波场写出来——

$$E_y=E_0\sin \frac{\pi x}{a}\sin \frac{\ell \pi z}{d},H_x=\frac{-j{E}_0}{Z_{\mathrm{TE}}}\sin \frac{\pi x}{a}\cos \frac{\ell \pi z}{d},H_z=\frac{j\pi E_0}{k\eta a}\cos \frac{\pi x}{a}\sin \frac{\ell \pi z}{d},$$

可以验证谐振时 $W_e=W_m$（与 RLC 回路一样的判据）。分别算储能与损耗（导体损耗用微扰法 $P_c=\frac{R_s}{2}\int |H_t{|}^{2}ds$，介质损耗由 $\sigma =\omega {ϵ}^{\prime \prime }$）。结果：

$$Q_c=\frac{(kad{)}^{3}b\eta }{2{\pi }^2{R}_s}\frac{1}{2{\ell }^2{a}^{3}b+2b{d}^3+{\ell }^2{a}^{3}d+a{d}^3},Q_d=\frac{1}{\tan \delta }.$$

白话：$Q_d=1/\tan \delta$ 与模式、尺寸全都无关，只看介质好不好——这是介质损耗积分与储能积分恰好相消的结果。两者同时存在时：

$$Q_0={\left(\frac{1}{Q_c}+\frac{1}{Q_d}\right)}^{-1}.$$

例（例 6.3）：铜 WR-187 波导腔填聚乙烯（$\tan \delta =0.0004$），5 GHz 时 $Q_c=8403$（$\ell =1$）、$Q_d=2500$，合成 $Q_0=1927$——介质损耗反而成了瓶颈。

Warning

想做高 Q 腔，先看介质！例 6.3 里导体 Q 高达 8403，却被 $\tan \delta =0.0004$ 的填充介质压到 1927；若改成空气填充，Q 还能再上一个台阶（对比例 6.4：同样的铜腔空气填充 $Q_c$ 可达 29390）。“介质怕差，导体怕糙”。

6.4 圆形波导谐振腔

把圆波导两端短路面封死即得圆柱腔。主模是 ${\mathrm{TE}}_{111}$（对应圆波导主模 ${\mathrm{TE}}_{11}$），最低 TM 模为 ${\mathrm{TM}}_{010}$。谐振条件同样是 ${\beta }_{nm}d=\ell \pi$，谐振频率：

$$f_{nm\ell }=\frac{c}{2\pi \sqrt{{\mu }_r{ϵ}_r}}\sqrt{{\left(\frac{p_{nm}^{\prime }}{a}\right)}^2+{\left(\frac{\ell \pi }{d}\right)}^2}(\mathrm{TE}),f_{nm\ell }=\frac{c}{2\pi \sqrt{{\mu }_r{ϵ}_r}}\sqrt{{\left(\frac{p_{nm}}{a}\right)}^2+{\left(\frac{\ell \pi }{d}\right)}^2}(\mathrm{TM}).$$

其中 $p_{nm}$、$p_{nm}^{\prime }$ 是贝塞尔函数及其导数的根（${\mathrm{TE}}_{011}$ 用 $p_{01}^{\prime }=3.832$）。

典型应用：波长计（频率计）。圆柱腔顶板可动以便机械调谐，通过小孔与主波导松耦合。当腔调到系统频率时吸收功率、被功率计监测到，调谐刻度盘直接标定频率。之所以用高 Q 的 ${\mathrm{TE}}_{011}$ 模而非主模，正是因为频率分辨率由 Q 决定。

设计圆柱腔时离不开这张模式图（mode chart）：以腔长直径比 $d/(2a)$ 与归一化频率为坐标，画出各低阶模式的谐振频率轨迹。给定腔体尺寸与工作频率，一眼能看出哪些模式可能被激发、目标模式与相邻模式隔得多远——模式拥挤是圆柱腔设计的主要风险。频率计用 ${\mathrm{TE}}_{011}$ 而非主模 ${\mathrm{TE}}_{111}$，正是因为模式图上 ${\mathrm{TE}}_{011}$ 的 Q 显著更高。之所以还采用松耦合，一是保 Q，二是避免牵引谐振频率。

TE 模的导体损耗 Q（公式较繁，结论更值得记）：

$$Q_c\propto \frac{k\eta }{R_s},\text{固定腔体时随 }1/\sqrt{f}\text{下降}.$$

再看 Q 的频率行为：固定腔体下 $(ka{)}^2$ 与 $\beta =\ell \pi /d$ 都不随频率变，因此 $Q_c$ 的频率依赖完全来自 $k/R_s\propto 1/\sqrt{f}$——频率越高导体损耗相对越大。

例（例 6.4）：$d=2a$ 的铜腔、聚四氟乙烯填充，${\mathrm{TE}}_{011}$ 模 5 GHz 谐振：解出 $a=2.74$ cm、$d=5.48$ cm；$Q_c=29390$、$Q_d=2500$，合计 $Q_0=2300$；空气填充则可达 42400。对比同频段的矩形腔（例 6.3：$Q_0=1927$）与微带谐振器（例 6.2：$Q_0=783$），可以直观排出”微带 < 矩形腔 < 圆柱腔”的 Q 梯队——模式越”干净”（TE011 的壁电流路径特别有利）、结构越封闭，Q 越高。

6.5 介质谐振器

一小块高介电常数、低损耗的介质圆片（${ϵ}_r\approx 10\sim 100$，如钛酸钡、二氧化钛）也能做谐振器。与金属腔相比：更小、更便宜、更轻，易于集成到微波集成电路并与平面传输线耦合；缺点是侧面和端面有场泄漏（小辐射损失一点 Q）。由于无导体损耗，Q 可达数千。顶部放一块可调金属板即可机械调频。它已成为集成微波滤波器和振荡器的关键器件。

分析思路（${\mathrm{TE}}_{01\delta }$ 模，最常用）：把介质谐振器看成两端开放的一段短介质波导。因为 ${ϵ}_r$ 很高，频率合适时波在介质内传播、在周围空气中截止（凋落）；又因为谐振长度 $L<{\lambda }_g/2$，用记号 $\delta =2L/{\lambda }_g<1$ 表示 z 向驻波不完整——这也是模式名里 $\delta$ 的来历。

磁壁近似：高介电常数介质中的波入射到空气区时反射系数

$$\Gamma =\frac{\sqrt{{ϵ}_r}-1}{\sqrt{{ϵ}_r}+1}\to 1({ϵ}_r\to \infty ),$$

等同理想”磁壁”（开路）边界，于是可假设 $\rho =a$ 处 $H_z=0$。

在介质区（$|z|<L/2$）传播常数为实数 $\beta$；空气区为虚数（记为 $-\alpha$）。在端面 $z=L/2$ 匹配切向场，得到超越方程：

$$\tan \frac{\beta L}{2}=\frac{\alpha }{\beta },\beta =\sqrt{{ϵ}_r{k}_0^2-{\left(\frac{p_{01}}{a}\right)}^2},\alpha =\sqrt{{\left(\frac{p_{01}}{a}\right)}^2-k_0^2},$$

其中 $p_{01}=2.405$ 是 $J_0$ 的第一个零点。数值求根即得谐振频率。若忽略辐射损耗，无载 Q 仍近似为 $Q_d=1/\tan \delta$。

例（例 6.5）：二氧化钛（${ϵ}_r=95$，$\tan \delta =0.001$）谐振器，$a=0.413$ cm、$L=0.8255$ cm，解得 $f\approx 3.152$ GHz（实测约 3.4 GHz，误差约 10%——磁壁近似精度有限），$Q_d=1000$。注意解超越方程前先确定可行频率区间：$\alpha$、$\beta$ 都必须为实数，这给出 $f_1=\frac{c{p}_{01}}{2\pi \sqrt{{ϵ}_r}a}=2.853$ GHz 到 $f_2=\frac{c{p}_{01}}{2\pi a}=27.804$ GHz 的搜索范围（本例用区间二分法求根）。

等效电路视角：介质谐振器就像一段两端都端接纯电抗负载的传输线——介质内是行波/驻波，空气段是凋落场，等效为纯虚的波阻抗 $Z_a=j\omega {\mu }_0/\alpha$。这一图像对理解它如何与微带线磁性耦合很有帮助。

Warning

磁壁近似只适合 ${ϵ}_r$ 很大的谐振器，且忽略侧面边缘场，误差可达 10% 量级——教学够用、工程不够用。实际设计需查更精确的模型或实测校准。

6.6 谐振器的激励与耦合

谐振器必须与外部电路耦合才有用。方式取决于结构：微带谐振器用缝隙（gap）耦合、腔用同轴探针或小孔耦合、介质谐振器直接放在微带线旁。

耦合系数与临界耦合：以串联 RLC 接馈线为例，谐振点输入阻抗 $Z_{\mathrm{in}}=R$。要最大功率传输，须 $R=Z_0$，这叫临界耦合（critical coupling），此时 $Q_e=Q_0$（$Q_L$ 减半）。耦合深浅看用途：频率计要高 Q、高精度，用松耦合；振荡器、调谐放大器要最大功率传输，用紧耦合到临界附近。定义耦合系数

$$g=\frac{Q_0}{Q_e},$$

并区分三种状态：$g<1$ 欠耦合（undercoupled）、$g=1$ 临界耦合、$g>1$ 过耦合（overcoupled）。

缝隙耦合微带谐振器：$\lambda /2$ 开路微带谐振器与馈线之间的缝隙等效为串联电容 $C$。谐振条件变为

$$\tan \beta \ell +b_c=0,b_c=Z_0\omega C.$$

白话：耦合电容会让谐振频率略微下移（$b_c\ll 1$ 时下移约 1.6%）。更有趣的是：无耦合的 $\lambda /2$ 开路线本是并联谐振，加了串联耦合电容后输入阻抗被”反转”成串联 RLC 特性。临界耦合条件与耦合系数：

$$b_c=\sqrt{\frac{\pi }{2Q_0}},g=\frac{2Q_0{b}_c^2}{\pi }.$$

白话：Q 越高的谐振器需要越”轻”的耦合（越小的 $b_c$）才能恰好匹配——高频高 Q 谐振器的耦合间隙通常做得相当宽。例（例 6.6）：2.175 cm 长的 50 Ω 微带谐振器（$Q_0=628$），临界耦合所需 $C=0.032$ pF，实际谐振频率从 5.00 GHz 下移到 4.918 GHz。若 $b_c$ 小于临界值则欠耦合、大于则过耦合，Smith 圆图上的轨迹分别从小电阻侧或大电阻侧扫过圆心。

小孔耦合腔：波导横壁上的小孔等效为并联电感 $X_L$，与缝隙耦合完全对偶。输入导纳在谐振点附近的展开式为

$$y(\omega )\simeq \frac{\pi k_0{\omega }_1}{2Q_0{\beta }^{2}c{x}_L^2}+j\frac{\pi k_0(\omega -{\omega }_1)}{{\beta }^{2}c{x}_L^2},$$

临界耦合所需孔电抗：

$$X_L=Z_0\sqrt{\frac{\pi k_0{\omega }_1}{2Q_0{\beta }^{2}c}}.$$

由 $X_L$ 即可确定孔的尺寸。注：腔的下一个模式（$\beta \ell =\pi$，腔恰为 ${\lambda }_g/2$）在孔面处横向电场为零，孔不起作用、几乎无耦合，无实用价值。

由双端口测量反推无载 Q：实际中无法直接测无载 Q（测量系统本身构成负载），但可以测传输响应再反推。把串联 RLC 谐振器串进一条 $Z_0$ 线构成二端口：谐振时谐振器阻抗最小、传输最强；偏离谐振则插入损耗上升，形成以 $f_0$ 为中心的传输峰。三步走：

1. 从谐振点插入损耗求耦合系数：$g=\frac{S_{21}({\omega }_0)}{1-S_{21}({\omega }_0)}$（并联 RLC 时取倒数）；
2. 从 3 dB 带宽求有载 Q：$Q_L=f_0/\mathrm{BW}$；
3. 相乘得无载 Q：$Q_0=(1+g)Q_L$。

推导依据：$1/Q_L=1/Q_e+1/Q_0=(1+g)/Q_0$，以及谐振点 $S_{21}=2Z_0/(2Z_0+R)=g/(1+g)$。注意 $S_{21}$ 在谐振点应为实数（参考面取在谐振器处），否则要先做相位校准。

Success

这三步公式把”实验室测量”和”设计参数”打通了：网络分析仪上读两个数（谐振点 $S_{21}$、3 dB 带宽），就能报出谐振器的无载 Q——这是射频工程师鉴定谐振器质量的标准操作。

6.7 腔体微扰

实际中常用”小改动”调腔：拧进一颗小螺钉、插入介质片、微移腔壁。微扰法（perturbational method）假设扰动很小、扰动后的场近似等于原场，从而避开重新解边值问题。

材料微扰（介电常数/磁导率改变 $\Delta ϵ,\Delta \mu$）：

$$\frac{\omega -{\omega }_0}{{\omega }_0}\simeq \frac{-{\int }_{V_0}(\Delta ϵ|{\bar{E}}_0{|}^2+\Delta \mu |{\bar{H}}_0{|}^2)dv}{{\int }_{V_0}(ϵ|{\bar{E}}_0{|}^2+\mu |{\bar{H}}_0{|}^2)dv}.$$

白话：分子是”新增储能”（电场区加介质、磁场区加磁材都增储能），分母是总储能；任何地方增大 $ϵ$ 或 $\mu$ 都只会让谐振频率下降。这也是测介质介电常数的经典方法：放小样品进腔，量频移、算 ${ϵ}_r$。

形状微扰（腔壁移动、拧入调谐螺钉）：

$$\frac{\omega -{\omega }_0}{{\omega }_0}=\frac{\Delta W_m-\Delta W_e}{W_m+W_e}.$$

白话：看扰动体积”抢”的是哪种储能——在磁场强处挤进去，磁场储能减少、频率升高；在电场强处挤进去，电场储能减少、频率降低。

例（例 6.7）：TE101 矩形腔底板插入薄介质片（厚 $t$，$0\le y\le t$），用 (6.100) 积分得频移

$$\frac{\omega -{\omega }_0}{{\omega }_0}=\frac{-({ϵ}_r-1)t}{2b},$$

频移正比于片厚与腔高的比值——这就是介质常数测量的经典方案：放样品、量频移、反推 ${ϵ}_r$。

例（例 6.8）：TE101 矩形腔顶壁中央拧入细螺钉（顶壁中心恰是电场最强、磁场为零处）：

$$\frac{\omega -{\omega }_0}{{\omega }_0}=\frac{-2\Delta V}{V_0},$$

频率下降，且与螺钉体积成正比——这就是螺钉调谐的原理。

自测题（附答案解析）

1. 谐振的两个等价判据是什么？品质因数 Q 的定义式如何写？
2. 串联与并联 RLC 的无载 Q 公式分别是什么？“方向”上有何不同？
3. 传输线谐振器的无载 Q 有个统一表达式，是什么？如何提高？
4. 矩形腔 TE101 模的谐振条件是什么？为什么主模是 TE101 而不是 TM 模？
5. 什么叫临界耦合？$g<1$ 和 $g>1$ 各叫什么？如何从双端口 $S_{21}$ 测量反推无载 Q？

答案：

1. 判据：① $W_m=W_e$；② 输入阻抗为纯实数。$Q=\omega (W_m+W_e)/P_{\mathrm{loss}}$。
2. 串联：$Q_0={\omega }_{0}L/R=1/{\omega }_{0}RC$，R 越小 Q 越高；并联：$Q_0={\omega }_{0}RC=R/{\omega }_{0}L$，R 越大 Q 越高。
3. $Q_0=\beta /2\alpha$；降低衰减 $\alpha$（更优的导体/介质）或提高 $\beta$（更高频率/更长谐振器）。
4. 谐振条件 ${\beta }_{10}d=\ell \pi$，即腔长为 ${\lambda }_g/2$ 的整数倍；频率由 $f_{101}=\frac{c}{2\pi }\sqrt{(\pi /a{)}^2+(\pi /d{)}^2}$ 给出（空气填充）。当 $b<a<d$ 时 TE101 的 $k_{mn\ell }$ 最小（n=0 使 y 向无变化、m=ℓ=1 使 x、z 向各半个驻波），故为最低模式；最低 TM 模是 TM110，其 $k$ 值更大。
5. 临界耦合：谐振时谐振器与馈线匹配（$R=Z_0$），此时 $Q_e=Q_0$，功率传输最大。$g<1$ 欠耦合、$g>1$ 过耦合。反推步骤：$g=S_{21}({\omega }_0)/(1-S_{21}({\omega }_0))$ → $Q_L=f_0/{\mathrm{BW}}_{3dB}$ → $Q_0=(1+g)Q_L$。