第08章 微波滤波器

这一章在干嘛？

滤波器（filter）是个二端口网络：让通带（passband）内的信号通过、把阻带（stopband）内的信号压下去。手机里挑频段、接收机里滤杂散，全靠它。这一章是”设计方法论”的完整闭环：先用周期结构直观理解”通带/阻带从哪来”→ 老派但好用的影像参数法（image parameter method）→ 现代主流的插入损耗法（insertion loss method）：查表得到归一化低通原型 → 频率/阻抗变换成你要的响应 → Richards 变换 + Kuroda 恒等式 / 阶梯阻抗 / 耦合线 / 耦合谐振器，把集总元件变成微波可实现的分布结构。这一章查阅型表格多，建议重点记住”设计流程图”，表格当工具书用。

8.1 周期结构

把传输线每间隔 $d$ 加一个并联电纳 $b$，就成了周期结构（periodic structure）——无限长的周期加载线天然表现出”通带+阻带”，是滤波概念的物理原型，也是行波管、慢波结构的基础。

对一个单元（长 $d$ 的线 + 中间并联电纳 $b$）写 ABCD 矩阵，利用无限周期性 $V_{n+1}=V_n{e}^{-\gamma d}$，非零解条件给出色散方程（式 8.7/8.8）：

$$\cosh \gamma d=\cos \theta -\frac{b}{2}\sin \theta ,\theta =kd$$

白话解释：右边的值决定波的行为——

• 若 $|\cos \theta -\frac{b}{2}\sin \theta |\le 1$：$\gamma =j\beta$ 纯虚，波无衰减传播 → 通带（式 8.9a）；
• 若 $|\cdot |>1$：$\gamma =\alpha$ 实数，波指数衰减（能量被反射回去，不是被吸收）→ 阻带（式 8.9b）。

这与晶体里的布洛赫波（Bloch wave）是同一数学。对应的特征阻抗叫布洛赫阻抗（Bloch impedance，式 8.12）：

$$Z_B^{\pm }=\frac{\pm B{Z}_0}{\sqrt{A^2-1}}$$

通带内 $Z_B$ 为实数，阻带内为虚数——跟波导的波阻抗在传播/截止下的行为一模一样。终端接 $Z_L=Z_B$ 才无反射。

k-β 图与波速

把传播常数 $\beta$ 对自由空间波数 $k$（即 $\omega /c$）作图就是 $k$-$\beta$ 图（布里渊图，Brillouin diagram）。两个速度一目了然（式 8.20/8.21）：

$$v_p=\frac{\omega }{\beta }=c\frac{k}{\beta }(\text{原点连线斜率}),v_g=\frac{d\omega }{d\beta }=c\frac{dk}{d\beta }(\text{曲线切线斜率})$$

例 8.1（电容加载线）：$Z_0=50\Omega$、$d=1$ cm、$C_0=2.666$ pF，色散方程为 $\cos \beta d=\cos k_{0}d-2k_{0}d\sin k_{0}d$。数值求解发现第一个通带在 $k_{0}d\le 0.96$；3 GHz 处 $v_p=0.42c$——典型的慢波结构（slow-wave）。

8.2 影像参数法

思路：把滤波器拆成简单二端口节的级联，每一节规定通带/阻带。核心概念是影像阻抗（image impedance）：端口 2 接 $Z_{i2}$ 时端口 1 看到的输入阻抗恰好是 $Z_{i1}$（两端同时匹配）。对 ABCD 参数为 $[AB;CD]$ 的互易二端口（式 8.27）：

$$Z_{i1}=\sqrt{\frac{AB}{CD}},Z_{i2}=\sqrt{\frac{BD}{AC}}$$

常数 k 型滤波节

T 型低通节（串联电感 $L$、并联电容 $C$，图 8.9）的影像阻抗与截止频率（式 8.32–8.35）：

$$Z_{iT}=R_0\sqrt{1-\frac{{\omega }^2}{{\omega }_c^2}},R_0=\sqrt{\frac{L}{C}},{\omega }_c=\frac{2}{\sqrt{LC}}$$

白话解释：$\omega <{\omega }_c$ 时 $Z_{iT}$ 是实数、衰减为零（通带）；$\omega >{\omega }_c$ 时 $Z_{iT}$ 变虚数、衰减以 40 dB/十倍频增长（阻带）。只有 $L,C$ 两个自由度，由 ${\omega }_c$ 和 $R_0$ 定死。高通节把 L、C 位置对调即可（式 8.37/8.38：$R_0=\sqrt{L/C}$，${\omega }_c=1/2\sqrt{LC}$）。

m 导出型滤波节

常数 k 节的两个毛病：截止附近衰减爬升太慢、影像阻抗随频率变化剧烈。m 导出节（m-derived section）把串联臂改成 $Z_1^{\prime }=m{Z}_1$、并联臂改成串联 LC（式 8.39–8.41），在

$${\omega }_{\infty }=\frac{{\omega }_c}{\sqrt{1-m^2}}$$

处并联臂谐振、衰减变无穷大——一个可以任意摆放的衰减极点！调整 $m$ 就能把极点贴着 ${\omega }_c$ 放，获得陡峭截止。

影像参数法的先天局限

m 导出节的衰减在 $\omega >{\omega }_{\infty }$ 后又会回落，所以实际用复合滤波器（composite filter）：陡截止的 m 导出节 + 提供远端高衰减的常数 k 节 + 两端 $m=0.6$ 的匹配节（实验证明 $m=0.6$ 时 $Z_{i\pi }$ 通带内最平坦），四级级联如式 8.18/8.19 所示。即便如此，整个方法仍无法精确指定整个频段的响应——要精确控制，得用下一节的插入损耗法。

例 8.2：设计 2 MHz 截止、75 Ω、极点在 2.05 MHz 的低通复合滤波器：常数 k 节 $L=11.94\mu$H、$C=2.122$ nF；陡截止节 $m=0.2195$；匹配节 $m=0.6$。频响在 2.05 MHz 出现尖谷、2.50 MHz 出现极点。

8.3 插入损耗法

理想滤波器：通带零插损、阻带无穷衰减、通带内线性相位——现实中不可兼得，滤波设计的艺术就是按需折中。插入损耗法定义功率损耗比（power loss ratio，式 8.49）：

$$P_{\text{LR}}=\frac{\text{源可用功率}}{\text{负载得到功率}}=\frac{1}{1-|\Gamma (\omega ){|}^2},\text{IL}=10\log P_{\text{LR}}\text{dB}$$

白话解释：只要规定 $P_{\text{LR}}(\omega )$，就同时锁定了 $|\Gamma (\omega ){|}^2$，进而可以用网络综合法反推出电路。$|\Gamma {|}^2$ 是 ${\omega }^2$ 的多项式，物理可实现的形式为 $P_{\text{LR}}=1+M({\omega }^2)/N({\omega }^2)$。

三种最常用响应（图 8.21）：

响应	表达式	特点
最平坦（Butterworth/二项式）	$P_{\text{LR}}=1+(\omega /{\omega }_c{)}^{2N}$	通带最平；阻带斜率 $20N$ dB/十倍频
等波纹（Chebyshev）	$P_{\text{LR}}=1+k^2{T}_N^2(\omega /{\omega }_c)$	截止最陡，通带有 $1+k^2$ 波纹；远端斜率同为 $20N$ dB/十倍频，但比最平坦高 $(2^{2N})/4$ 倍
线性相位	$\varphi (\omega )=A\omega [1+p(\omega /{\omega }_c{)}^{2N}]$	群时延最平坦、失真小，但截止最缓

还有椭圆函数（elliptic function）响应：通带阻带都等波纹，截止最陡但综合困难。折中规律：衰减陡度与相位线性度天然矛盾，二者只能选一头（或各让一步）。

低通原型与 g 值表

设计流程（图 8.23）：查归一化原型表 → 阻抗/频率缩放 → 分布元件实现。原型约定：源阻抗 $1\Omega$、截止频率 ${\omega }_c=1$ rad/s、梯形电路（图 8.25）中元件从 $g_0$（源）编到 $g_{N+1}$（负载）：

• $g_k$（$k=\mathrm{1..}N$）：串联臂是电感 $L_k=g_k$、并联臂是电容 $C_k=g_k$（归一化值）；
• $g_0$：源电阻（或电导）；$g_{N+1}$：负载电阻（或电导）；
• 以并联开头和以串联开头的两种梯形电路互为对偶，响应相同。

最平坦原型（表 8.3，$g_0=1$，${\omega }_c=1$）：

N	g₁	g₂	g₃	g₄	g₅	g₆	g₇	g₈	g₉	g₁₀	g₁₁
1	2.0000	1.0000
2	1.4142	1.4142	1.0000
3	1.0000	2.0000	1.0000	1.0000
4	0.7654	1.8478	1.8478	0.7654	1.0000
5	0.6180	1.6180	2.0000	1.6180	0.6180	1.0000
6	0.5176	1.4142	1.9318	1.9318	1.4142	0.5176	1.0000
7	0.4450	1.2470	1.8019	2.0000	1.8019	1.2470	0.4450	1.0000
8	0.3902	1.1111	1.6629	1.9615	1.9615	1.6629	1.1111	0.3902	1.0000
9	0.3473	1.0000	1.5321	1.8794	2.0000	1.8794	1.5321	1.0000	0.3473	1.0000
10	0.3129	0.9080	1.4142	1.7820	1.9754	1.9754	1.7820	1.4142	0.9080	0.3129	1.0000

推导思路（$N=2$ 手推示例，式 8.57–8.60）：写出 $Z_{\text{in}}$ → 算 $\Gamma$ → 展开 $P_{\text{LR}}$ 为 ${\omega }^2$ 多项式 → 与 $1+{\omega }^4$ 逐项比对，得 $L=C=\sqrt{2}$。

等波纹原型（表 8.4 摘 0.5 dB 波纹，$g_0=1$，${\omega }_c=1$）：

N	g₁	g₂	g₃	g₄	g₅	g₆	g₇
1	0.6986	1.0000
2	1.4029	0.7071	1.9841
3	1.5963	1.0967	1.5963	1.0000
4	1.6703	1.1926	2.3661	0.8419	1.9841
5	1.7058	1.2296	2.5408	1.2296	1.7058	1.0000
6	1.7254	1.2479	2.6064	1.3137	2.4758	0.8696	1.9841

3 dB 波纹与线性相位（最平时延）的原型表见原书表 8.4/8.5。注意：N 为偶数时等波纹滤波器的负载 $g_{N+1}\ne 1$（如 N=2 时 1.9841），会产生阻抗失配，需 $\lambda /4$ 变换器或改用奇数 N。

定阶数 N：给定阻带某频率的衰减要求，查衰减曲线（图 8.26/8.27）读出所需 N。N > 10 时可把两个低阶滤波器级联。

例 8.3：2 GHz 截止、50 Ω、3 GHz 处 ≥15 dB（$|\omega /{\omega }_c|-1=0.5$）→ N=5 最平坦。查表得 $g=0.618,1.618,2.000,1.618,0.618$，缩放后 $C_1^{\prime }=0.984$ pF、$L_2^{\prime }=6.438$ nH、$C_3^{\prime }=3.183$ pF……同阶对比：等波纹截止最陡但群时延最差；线性相位反之；最平坦居中。

8.4 滤波器变换

原型是 $R_s=1\Omega$、${\omega }_c=1$ 的”模板”，四步变换把它变成任何需求。

阻抗缩放（式 8.64）：所有阻抗乘 $R_0$：

$$L^{\prime }=R_{0}L,C^{\prime }=\frac{C}{R_0}$$

低通频率缩放（式 8.65–8.67）：$\omega \leftarrow \omega /{\omega }_c$，与阻抗缩放合并：

$$L_k^{\prime }=\frac{R_0{L}_k}{{\omega }_c},C_k^{\prime }=\frac{C_k}{R_0{\omega }_c}$$

低通→高通（式 8.68–8.70）：$\omega \leftarrow -{\omega }_c/\omega$，电感电容互换角色：

$$C_k^{\prime }=\frac{1}{R_0{\omega }_c{L}_k}(\text{串联臂变电容}),L_k^{\prime }=\frac{R_0}{{\omega }_c{C}_k}(\text{并联臂变电感})$$

低通→带通（式 8.71–8.74）：

$$\omega \leftarrow \frac{1}{\Delta }\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega }\right),\Delta =\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{{\omega }_0},{\omega }_0=\sqrt{{\omega }_1{\omega }_2}$$

白话解释：中心频率取 ${\omega }_1,{\omega }_2$ 的几何平均（公式最简洁），$\Delta$ 是相对带宽。这个替换把每个串联电感变成串联 LC 谐振器、每个并联电容变成并联 LC 谐振器，全部谐振在 ${\omega }_0$：

$$\text{串联臂：}{L}_k^{\prime }=\frac{L_k}{\Delta {\omega }_0},C_k^{\prime }=\frac{\Delta }{{\omega }_0{L}_k};\text{并联臂：}{L}_k^{\prime }=\frac{\Delta }{{\omega }_0{C}_k},C_k^{\prime }=\frac{C_k}{\Delta {\omega }_0}$$

低通→带阻（式 8.75–8.76）：替换取倒数，串并谐振器类型对调（串联臂变并联 LC、并联臂变串联 LC）。

例 8.4：0.5 dB 等波纹、N=3、$f_0=1$ GHz、10% 带宽、50 Ω 带通：查表 $g=1.5963,1.0967,1.5963$，按带通公式得 $L_1^{\prime }=127.0$ nH、$C_1^{\prime }=0.199$ pF、$L_2^{\prime }=0.726$ nH、$C_2^{\prime }=34.91$ pF……

记忆口诀

低通→带通：串联变串谐（低阻）、并联变并谐（高阻）；低通→带阻：反过来（串联变并谐、并联变串谐）。所有谐振器都谐振在 ${\omega }_0$。阻抗缩放永远最后一起做：电感乘 $R_0$、电容除 $R_0$。

8.5 滤波器实现：Richards 变换与 Kuroda 恒等式

微波频段集总 L/C 不好做、元件间距又不能忽略。两个工具接力解决。

Richards 变换

$$\Omega =\tan \beta \ell =\tan \frac{\omega \ell }{v_p}$$

白话解释：一段短路线的输入阻抗 $j{Z}_c\tan \beta \ell$ 与电感的 $j\omega L$ 形式相同——只要把频率变量从 $\omega$ 换成 $\Omega$。于是（式 8.78）：

• 电感 L → 特征阻抗为 L 的短路短截线；
• 电容 C → 特征阻抗为 1/C 的开路短截线。

截止点对应 $\Omega =1$，即所有短截线在 ${\omega }_c$ 处长 $\lambda /8$（这种等长线叫等测线，commensurate lines）。在 $2{\omega }_c$ 处短截线长 $\lambda /4$，出现衰减极点；响应每 $4{\omega }_c$ 重复一次。

Kuroda 恒等式

四个恒等式（式 8.7 表，$n^2=1+Z_2/Z_1$）用”单元元件”（unit element，$\lambda /8$ 线）做等价交换，实现三件事：把短截线物理隔开、串联短截线 ↔ 并联短截线互换、把不切实际的阻抗变换成可实现值。证明方法统一：两边算 ABCD 矩阵比对（式 8.79–8.80）。

例 8.5：4 GHz 截止、50 Ω、N=3 三阶 3 dB 等波纹低通的微带实现：查 3 dB 表 $g=3.3487,0.7117,3.3487$ → Richards 变换成串联/并联短截线 → 两端各加一段 $Z_0=1$ 的单元元件（不影响响应）→ 用 Kuroda 恒等式 (b)（$n^2=1+1/3.3487=1.299$）把难做的串联短截线全部换成并联 → 阻抗缩放×50。最终全是并联短截线，微带一画就能做。

注意：Kuroda 恒等式对低通/带阻有用，对高通和带通帮不上忙——那要靠下面的倒置器。

阻抗/导纳倒置器

阻抗倒置器（K inverter）：负载 $Z_L$ 经过它变成 $K^2/Z_L$；导纳倒置器（J inverter）把 $Y_L$ 变成 $J^2/Y_L$。最简单实现：一段 $\lambda /4$ 线（$K=Z_c$）。它的价值：把”串联元件 + 并联元件混合”的电路变成清一色串联或清一色并联——窄带（<10%）带通/带阻滤波器设计的基石。

8.6 阶梯阻抗低通滤波器

比短截线更省面积的微带低通方案：用很高阻抗的短线代替串联电感、很低阻抗的短线代替并联电容（high-Z / low-Z filter）。理论依据是短传输线段的近似等效电路（式 8.83–8.85）：$\beta \ell <\pi /4$ 且 $Z_0$ 很大时，线段 ≈ 串联电感 $X\simeq Z_0\beta \ell$；$Z_0$ 很小时 ≈ 并联电容 $B\simeq Y_0\beta \ell$。线长设计公式（式 8.86）：

$$\beta \ell =\frac{L{R}_0}{Z_h}(\text{电感段})，\beta \ell =\frac{C{Z}_{\ell }}{R_0}(\text{电容段})$$

白话解释：$Z_h/Z_{\ell }$ 比值越大近似越好，实际取工艺允许的最高/最低阻抗（如 120 Ω / 20 Ω）。

例 8.6：2.5 GHz 截止、4 GHz 处 ≥20 dB → N=6 最平坦（$g=0.517,1.414,1.932,1.932,1.414,0.517$），得各段电长度 11.8°~46.1°、线宽 0.428 mm（高阻）/11.3 mm（低阻）。损耗使 2 GHz 处通带衰减约 1 dB；高频端等效元件偏离集总值，可能出现不完全周期的额外通带。

阶梯阻抗滤波器的适用边界

它便宜省地方，但精度差：截止不够陡、高频寄生通带不周期。适合”拦混频器杂散”这类宽松指标，别指望它做高选择性滤波。

8.7 耦合线滤波器

第 7.6 节的耦合线不但能做耦合器，还是带通滤波器的天然积木（带宽 <20% 时工艺最舒服）。

单节耦合线 = 带通谐振器

对 $\lambda /4$ 耦合线段的四端口阻抗矩阵（式 8.99）做端口组合，其中”端口 2、4 开路”的接法（微带里开路比短路好做）构成二端口，其影像阻抗（式 8.101/8.102）：

$$Z_i=\frac{1}{2}\sqrt{(Z_{0e}-Z_{0o}{)}^2{\csc }^2\theta -(Z_{0e}+Z_{0o}{)}^2{\cot }^2\theta },\theta =\frac{\pi }{2}\text{ 时 }{Z}_i=\frac{1}{2}(Z_{0e}-Z_{0o})$$

白话解释：$\theta =\pi /2$（中心频率）处影像阻抗为实数（通带），$\theta \to 0$ 或 $\pi$ 时 $Z_i\to \infty$（阻带）——单节耦合线就是一个带通响应，截止频率满足 $\cos {\theta }_1=(Z_{0e}-Z_{0o})/(Z_{0e}+Z_{0o})$。

级联设计与设计公式

N+1 节级联的等效电路 = 倒置器 + $\lambda /2$ 并联谐振器交替排列。推导用倒置器把并联谐振器”翻”成串联谐振器，与集总带通原型比对（式 8.116–8.120），得到通用设计公式（式 8.121）：

$$Z_0{J}_1=\sqrt{\frac{\pi \Delta }{2g_1}},Z_0{J}_n=\frac{\pi \Delta }{2\sqrt{g_{n-1}{g}_n}}(n=\mathrm{2..}N),Z_0{J}_{N+1}=\sqrt{\frac{\pi \Delta }{2g_N{g}_{N+1}}}$$

再由倒置器常数换算每节的奇偶模阻抗（式 8.108）：

$$Z_{0e}=Z_0[1+J{Z}_0+(J{Z}_0{)}^2],Z_{0o}=Z_0[1-J{Z}_0+(J{Z}_0{)}^2]$$

例 8.7：0.5 dB 等波纹、N=3、$f_0=2$ GHz、10% 带宽、50 Ω：$\Delta =0.1$，$g=1.5963,1.0967,1.5963,1.0$，算得 $Z_{0}J=0.3137,0.1187,0.1187,0.3137$，对应 $Z_{0e}/Z_{0o}=70.61/39.24$ 与 $56.64/44.77\Omega$（对称分布）。1.8 GHz 处衰减约 20 dB。注意这类滤波器在 6 GHz、10 GHz 等处还有重复通带。

8.8 耦合谐振器滤波器

四分之一波长谐振器带阻/带通滤波器

$\lambda /4$ 开路短截线 ≈ 串联谐振器、短路短截线 ≈ 并联谐振器；短截线之间的 $\lambda /4$ 线充当导纳倒置器，把交替的谐振器”翻”成同一类型。带阻版（N 个开路短截线并联，图 8.47a）设计公式（式 8.130）：

$$Z_{0n}=\frac{4Z_0}{\pi g_n\Delta }$$

例 8.8：2 GHz、15% 带宽、0.5 dB 等波纹 N=3 带阻：$g=1.5963,1.0967,1.5963$ → $Z_{0n}=265.9,387.0,265.9\Omega$——阻抗高得离谱，微带上不现实。

短截线谐振器滤波器的阻抗陷阱

设计公式给出的短截线特征阻抗常达数百欧姆，平面工艺做不出来。它的价值在理论上与耦合线滤波器等价（窄带下响应几乎相同）且更紧凑；实际实现要么用同轴/高介电常数结构，要么改用下面的电容耦合方案。带通版（短路短截线）的公式为 $Z_{0n}=\pi Z_0\Delta /(4g_n)$，阻抗低得多。

电容间隙耦合串联谐振器带通滤波器

N 个约 $\lambda /2$ 长的谐振段，中间用 N+1 个电容间隙（capacitive gap）耦合（图 8.50）。妙招：串联电容配上两侧”负长度”传输线恰好构成导纳倒置器（式 8.133–8.134）：

$${\varphi }_i=-{\tan }^{-1}(2Z_0{B}_i),B_i=\frac{J_i}{1-(Z_0{J}_i{)}^2}$$

于是整个电路与耦合线带通滤波器完全同构——直接复用式 8.121 的 $J_i$ 公式，再回代求耦合电容 $C_n=B_n/{\omega }_0$ 与谐振段长度（式 8.135）：

$${\theta }_i=\pi -\frac{1}{2}\left[{\tan }^{-1}(2Z_0{B}_i)+{\tan }^{-1}(2Z_0{B}_{i+1})\right]$$

例 8.9：与例 8.7 指标完全相同（2 GHz、10%、N=3、0.5 dB 等波纹）算得 $C=0.554,0.192,0.192,0.554$ pF、$\theta =155.8°,166.5°,155.8°$——通带附近响应与耦合线版几乎一模一样。

电容耦合并联谐振器滤波器（陶瓷谐振器滤波器）

手机、GPS 里最常见的那颗”小滤波器”就是这个结构：N 个略短于 $\lambda /4$ 的短路并联短截线，用串联电容耦合（图 8.52）。用高介电常数、低损耗、温度稳定的陶瓷（如钛酸锆锌，${ϵ}_r=36$、4 GHz 下 $Q=10^4$、温度系数 $-7$ ppm/℃）同轴化后，UHF 频段也能做得非常小。

设计要点（式 8.136–8.141）：先算倒置器常数 $Z_{0}J$ 和耦合电容 $C_{n,n+1}$；倒置器的等效 π 网络自带负电容，与谐振器自身电容并联合并（式 8.138）：

$$C_n^{\prime }=C_n-C_{n-1,n}-C_{n,n+1}$$

等效电容变小 → 谐振频率升高 → 补救办法是把短截线缩短（式 8.141）：

$${\ell }_n=\frac{\lambda }{4}+\left(\frac{Z_0{\omega }_0\Delta C_n}{2\pi }\right)\lambda$$

例 8.10：2.5 GHz、10%、N=3、0.5 dB 等波纹：耦合电容 $C=0.2896,0.0756,0.0756,0.2896$ pF；谐振器电长度 $73.6°,83.2°,73.6°$（都短于 $90°$）。3 GHz 处实测约 30 dB（理想集总原型计算 35 dB，近似带来偏差）。

本章设计流程一图记

指标（截止频率/带宽/阻抗/衰减）→ 选响应（Butterworth/Chebyshev/线性相位）→ 查衰减曲线定 N → 查 g 值表 → 频率+阻抗缩放 → 分布实现（Richards+Kuroda / 阶梯阻抗 / 耦合线 / 电容耦合谐振器）。所有窄带带通/带阻设计的殊途同归之处：倒置器 + 谐振器。

自测题（5 题，附答案）

1. 周期加载线的通带/阻带判据是什么？阻带里能量去哪了？ 答：判据是 $|\cos \theta -(b/2)\sin \theta |\le 1$（通带），大于 1 为阻带。无耗结构的阻带中波不是被吸收而是被反射回输入端——衰减常数 $\alpha \ne 0$、$\beta =0$，布洛赫阻抗变虚数，与波导截止区行为相同。

2. 最平坦（N=5）与同阶切比雪夫滤波器在 $\omega \gg {\omega }_c$ 的衰减斜率各是多少？谁衰减更大？ 答：斜率都是 $20N=100$ dB/十倍频。但切比雪夫的插损为最平坦的 $(2^{2N})/4=512/4=256$ 倍（约 24 dB）——等波纹响应用通带波纹换来远端更高的绝对衰减。

3. 为什么等波纹低通原型取偶数阶 N 时要注意负载阻抗？ 答：切比雪夫多项式 $T_N(0)=1$（N 偶）导致 $\omega =0$ 处 $P_{\text{LR}}=1+k^2\ne 1$，综合出的负载 $g_{N+1}\ne 1$（如 N=2 为 1.9841），直接接单位负载会失配；需加 $\lambda /4$ 变换器或改用奇数 N（奇数阶 $g_{N+1}=1$）。

4. Richards 变换把电感/电容变成什么？为什么短截线都取 $\lambda /8$？各短截线阻抗如何定？ 答：电感 → 特征阻抗 $L$（归一化值）的短路短截线；电容 → 特征阻抗 $1/C$ 的开路短截线。原型截止在 $\Omega =1$，而 $\Omega =\tan \beta \ell =1$ 要求 $\beta \ell =\pi /4$，即 ${\omega }_c$ 处线长 $\lambda /8$——这也保证所有短截线等长（等测线），$2{\omega }_c$ 处出现衰减极点。

5. 电容间隙耦合串联谐振器带通滤波器为什么可以”抄”耦合线带通滤波器的公式？ 答：串联电容 + 两侧负长度传输线恰好构成导纳倒置器（$B_i=J_i/[1-(Z_0{J}_i{)}^2]$，${\varphi }_i=-{\tan }^{-1}(2Z_0{B}_i)$），替换后整个电路与耦合线滤波器的倒置器+$\lambda /2$ 谐振器等效电路完全同构，因此倒置器常数可直接套用式 8.121。

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