第07章 功分器与定向耦合器

这一章在干嘛？

把一路信号”分”成几路、或者把几路信号”合”成一路，是射频系统里最日常的操作——相控阵雷达的馈电网络、接收机里采样信号做检波，都离不开功分器（power divider）和定向耦合器（directional coupler）。这一章先讲三端口/四端口网络的”天生限制”，再逐个拆解最常用的几种实现：T 型结、Wilkinson、波导孔耦合、分支线电桥、耦合线耦合器、Lange 耦合器和环形电桥。核心分析武器是奇偶模分析（even-odd mode analysis），学会了它，这一章所有电路都能手推。

7.1 功分器与耦合器的基本性质

三端口网络（T 型结）：三个”完美”不可兼得

最简单的功分器是 T 型结（T-junction）：一个三端口网络。任意三端口网络的散射矩阵有 9 个独立元素（式 7.1）。如果这个网络是无源的（reciprocal，互易，$S_{ij}=S_{ji}$）、所有端口匹配（$S_{ii}=0$）、又无耗（[S] 是幺正矩阵），那么同时满足这些条件会导出一组互相矛盾的方程（式 7.3）：

$$|S_{12}{|}^2+|S_{13}{|}^2=1,S_{13}^{\ast }{S}_{23}=0$$

白话解释：幺正性要求任意两列”点积为零”且每列模方和为 1。三个传输系数 $S_{12},S_{13},S_{23}$ 里至少两个必须为零（保证点积为零），但这样剩下的一个就满足不了”模方和为 1”。结论：

三端口"不可能三角"

三端口网络不可能同时无耗、互易、全端口匹配。三者必须放弃一个：

• 放弃互易 → 得到环形器（circulator，靠铁氧体，见第 9 章）
• 放弃匹配 → 得到无耗 T 型结
• 放弃无耗 → 得到电阻性功分器（全匹配但不隔离）

这与矢量合成里的”不可能同时三个分量都占满”是同一类约束：设计三端口器件前，先想清楚你愿意牺牲哪一条。

四端口网络（定向耦合器）：正交耦合器与定向性

四端口就自由多了。可以证明：任何互易、无耗、全匹配的四端口网络必然是定向耦合器。其散射矩阵（选对称形式）为（式 7.17）：

$$[S]=\left[\begin{array}{cccc}0& \alpha & j\beta & 0\\ \alpha & 0& 0& j\beta \\ j\beta & 0& 0& \alpha \\ 0& j\beta & \alpha & 0\end{array}\right],{\alpha }^2+{\beta }^2=1$$

功率从端口 1 进：大部分到端口 2（直通端口，through port），一小部分耦合到端口 3（耦合端口，coupled port），理想情况下端口 4 一点都分不到（隔离端口，isolated port）。衡量耦合器有四个指标（式 7.20）：

指标	定义	直观含义
耦合度 Coupling $C$	$10\log (P_1/P_3)=-20\log \beta$ dB	抽走多少功率去耦合口，数值越大抽得越少
方向性 Directivity $D$	$10\log(P_3/P_4) = 20\log(\beta/	S_{14}
隔离度 Isolation $I$	$10\log(P_1/P_4) = -20\log	S_{14}
插损 Insertion loss $L$	$10\log (P_1/P_2)$	主路损耗

三者关系：$I=D+C$（dB）。理想耦合器 $D,I\to \infty$。

方向性为什么难测？ 它是个被”淹没”的低电平信号：直通臂上哪怕轻微失配，反射波经耦合臂漏过来的功率都可能比方向性通道的信号还强（例如 $C=20$ dB、$D=35$ dB、负载回波损耗 30 dB 时，反射路径的泄漏只比输入低 50 dB，反而压过 55 dB 下的方向性信号）。经典测法用滑动匹配负载：来回移动负载改变反射信号相位，输出功率走出一圈圆轨迹，由最大/最小功率比 $m$ 和标定功率比 $M$ 即可解出 $D=M(2m/(m+1))$。条件是负载回波损耗必须大于耦合器方向性本身。

耦合度恰为 3 dB（$\alpha =\beta =1/\sqrt{2}$）的耦合器叫混合结（hybrid junction），分两类：

• 90° 混合结（quadrature hybrid）：两输出相差 $90°$，散射矩阵形如式 7.22；
• 180° 混合结（magic-T / rat-race）：两输出相差 $180°$，矩阵形如式 7.23。

两类混合结本章都会遇到对应的电路实现：分支线与 Lange 耦合器属于前者，环形电桥与波导魔 T 属于后者——记住”3 dB 等分 + 输出相位关系”这条主线，后面对号入座即可。

7.2 T 型结功分器

无耗 T 型结可以建模为三段传输线在一点相交，结的不连续性用一个并联电纳 $B$ 代表（图 7.6）。输入匹配要求（式 7.24）：

$$Y_{\text{in}}=jB+\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}=\frac{1}{Z_0}$$

若忽略 $B$，即 $\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}=\frac{1}{Z_0}$——两个输出线的阻抗”并联”等于输入线阻抗。要 3 dB 均分（$Z_0=50\Omega$），就取 $Z_1=Z_2=100\Omega$。

例 7.1（2:1 分配）：要求输出功率比 $P_1:P_2=1:2$，则 $Z_1=3Z_0=150\Omega$，$Z_2=3Z_0/2=75\Omega$，$Z_{\text{in}}=150\parallel 75=50\Omega$ 匹配。但往输出口看进去严重失配：${\Gamma }_1=(30-150)/(30+150)=-0.666$，${\Gamma }_2=-0.333$。解题的关键观察：结点电压 $V_0$ 对两路输出是共用的，所以功率比就是电导比 $Z_2/Z_1$（$P\propto V_0^2/Z$）——想要谁分得多，就给谁配低阻抗。

无耗 T 型结的天然缺陷

输入口虽然匹配，但两个输出口之间毫无隔离（$S_{23}\ne 0$），而且从输出口看进去是失配的。一路输出端失配产生的反射会直接串进另一路。这就是为什么实际产品几乎都用 Wilkinson。

电阻性功分器：全匹配但仍无隔离

在三个臂上各加一段 $Z_0/3$ 的电阻（图 7.7），可以做到三端口全匹配（$S_{11}=S_{22}=S_{33}=0$），散射矩阵为（式 7.30）：

$$[S]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right]$$

白话解释：$S_{21}=S_{31}=1/2$，输出功率各为输入的 1/4——一半功率烧在电阻里（6 dB 损耗）。而且 $S_{23}=1/2\ne 0$，输出端口之间依然没有隔离。它只适合做宽带检波器前的小功率采样。

7.3 Wilkinson 功分器

1960 年 Wilkinson 提出的方案同时解决了匹配和隔离两个问题：在两个输出臂之间跨接一个耗散电阻 $R=2Z_0$，两臂各用一段 $\lambda /4$ 线（阻抗 $\sqrt{2}{Z}_0$）连接输入口（图 7.8）。它的妙处：

• 各端口全匹配；
• 端口 2、3 之间相互隔离（$S_{23}=0$）；
• 输出匹配时无耗——电阻上不消耗功率，只有端口 2/3 的反射功率才被电阻吸收。

奇偶模分析

把电路归一化后画成对称形式：两臂 $\lambda /4$ 线（归一化阻抗 $Z$）、中间并联归一化电阻 $r$、两个输出口接归一化 2 的源电阻。在端口 2、3 加对称/反对称激励，把响应叠加起来就得到 $S$ 参数。

偶模（even mode）：$V_{g2}=V_{g3}$，对称面上无电流，可视为开路，电阻 $r/2$ 不起作用。从端口 2 看，$\lambda /4$ 线是阻抗变换器：

$$Z_{\text{in}}^e=\frac{Z^2}{2}$$

要匹配就取 $Z=\sqrt{2}$。此时算得 $V_1^e=-j{V}_0\sqrt{2}$（四分之一波长线带来 $90°$ 相移）。