第05章 阻抗匹配：L 节、支节与渐变线

Note

本章是微波工程从理论走向实战的转折点：如何用一个无损网络把任意负载”调”到与传输线匹配，从而消除反射。核心工具是 L 节匹配网络、支节调谐器和（多节）四分之一波长变换器，最后用 Bode–Fano 准则告诉你”匹配的天花板”在哪里。

5.1 集总元件匹配（L 节网络）

阻抗匹配（impedance matching）的基本思想：在负载 $Z_L$ 与传输线之间插入一个无损匹配网络，使其输入阻抗恰为 $Z_0$，于是主线左侧不再有反射。为什么值得做匹配？

• 负载与线匹配时传输功率最大、馈线损耗最小；
• 对接收机前端（天线、低噪放）匹配可改善信噪比；
• 馈电网络（如天线阵）匹配好可减小幅相误差。

只要负载阻抗实部为正，就一定存在匹配网络。选择方案时要权衡：复杂度（越简单越便宜、越可靠）、带宽（单频完美匹配容易，宽带匹配要付出复杂度）、可实现性（波导里支节比多节变换器好做）、可调性（负载会变时尤为重要）。

最简单的匹配网络是 L 节（L-section）：用两个电抗元件（感/容皆可，共 8 种组合）完成匹配。选哪种结构看归一化负载 $z_L=Z_L/Z_0$ 在 Smith 圆图上的位置：

• $z_L$ 在 $1+jx$ 圆（即 $r=1$ 的电阻圆）内部（$R_L>Z_0$）→ 用”负载先并后串”结构（图 a）；
• $z_L$ 在 $1+jx$ 圆外部（$R_L<Z_0$）→ 用”负载先串后并”结构（图 b）。

解析解（图 a 情形，$R_L>Z_0$）：令 $Z_L=R_L+j{X}_L$，要求网络输入阻抗等于 $Z_0$，解出并联电纳 $B$ 与串联电抗 $X$：

$$B=\frac{X_L\pm \sqrt{R_L/Z_0}\sqrt{R_L^2+X_L^2-Z_0{R}_L}}{R_L^2+X_L^2},X=\frac{1}{B}+\frac{X_L{Z}_0}{R_L}-\frac{Z_0}{B{R}_L}.$$

白话：$X>0$ 是电感、$X<0$ 是电容；$B>0$ 是电容、$B<0$ 是电感。两组 $\pm$ 解都物理可实现，通常选元件值更小或带宽更好的那一组。

（图 b 情形，$R_L<Z_0$）改为让输入导纳等于 $1/Z_0$：

$$X=\pm \sqrt{R_L(Z_0-R_L)}-X_L,B=\pm \frac{\sqrt{(Z_0-R_L)/R_L}}{Z_0}.$$

要点：把任意复阻抗匹配到 $Z_0$ 至少需要两个自由度——L 节恰好提供了这两个（$X$ 和 $B$）。

Smith 圆图做法：把 $z_L$ 转成 $y_L$；构造”旋转后的 $1+jx$ 圆”（把 $r=1$ 圆沿等 $g$ 方向转过去）；加一个并联电纳把 $y_L$ 沿等电导圆推到该旋转圆上；再转回阻抗面，加串联电抗抵消 $jx$ 即到圆心。公式解与圆图解互相印证（例题中 $b=0.29,x=1.22$ vs 圆图读数 $0.3,1.2$）。

以 500 MHz 匹配 $Z_L=200-j100\Omega$ 到 $100\Omega$ 线为例，解 1 是并联电容加串联电感：

$$C=\frac{b}{2\pi f{Z}_0}=0.92\mathrm{pF},L=\frac{x{Z}_0}{2\pi f}=38.8\mathrm{nH}.$$

第二组解同样存在：取 $b=-0.7$ 而非 $b=0.3$，会走到旋转 $1+jx$ 圆的下半支（$y=0.4-j0.5$），转回阻抗面后加串联电抗 $x=-1.2$ 同样到圆心。此时元件位置互换（并联电感 + 串联电容，$C=2.61$ pF、$L=46.1$ nH）。对本例的频响分析表明两组解带宽差别不大——但一般情形仍应比较后择优。

圆图操作小结（图 a 结构）：

1. 标出 $z_L$，画 SWR 圆，转到 $y_L$；
2. 画”旋转 $1+jx$ 圆”（圆心移到 $r=0.333$ 处的辅助圆）；
3. 沿等电导圆从 $y_L$ 走到该圆上最近的点，读出所需 $b$；
4. 转回阻抗面，读出剩余 $-jx$，用串联元件抵消。

设计低频（约 1 GHz 以下）电路时可直接用真实的集总电容/电感；现代微波集成电路尺寸足够小时，集总元件可用到 60 GHz 甚至更高。微波集成电路里电阻用镍铬/氮化钽薄膜实现，电感用短路线或螺旋线（约 10 nH 封顶，电感越大损耗和寄生电容越大），电容则用短支节（0–0.1 pF）、叉指间隙（约 0.5 pF）或金属-绝缘体-金属夹层（可达 25 pF）。

Warning

集总元件并非万能：只有当元件尺寸 $\ell <\lambda /10$ 时才能当”集总”用。频率高到毫米波段或电路尺寸大时，寄生电容/电感、寄生谐振和损耗会让真实元件严重偏离理想值，此时应改用分布参数方案（支节、变换器）。

5.2 单支节调谐

单支节调谐（single-stub tuning）用一段开路或短路的传输线（支节，stub）在距负载 $d$ 处并入或串入主线。优点：支节可以直接用与电路相同的传输线做出来，不需要集总元件。微带/带状线偏好并联支节，槽线/共面波导偏好串联支节。

两个可调参数：距离 $d$ 和支节提供的电纳/电抗值。

• 并联支节：选 $d$ 使该处导纳 $Y=Y_0+jB$，再用支节提供 $-jB$ 抵消；
• 串联支节：选 $d$ 使该处阻抗 $Z=Z_0+jX$，再用支节提供 $-jX$ 抵消。

开路支节与短路支节给同一电纳时长度恰差 $\lambda /4$。微带上开路支节好做（不用打过孔）；同轴/波导里则偏好短路支节，因为大截面的开路端会辐射，支节不再纯电抗。

圆图步骤（并联情形）：画 $z_L$ 与 SWR 圆 → 转成 $y_L$ → 以后把圆图当导纳图用 → SWR 圆与 $1+jb$ 圆的交点即候选支节位置 → 从短路点（$y=\infty$）沿外缘转到所需 $-jb$ 读出支节长度。

以 $Z_L=60-j80\Omega$ 匹配到 $50\Omega$ 线为例，两个解为

$$d_1=0.110\lambda ,{\ell }_1=0.095\lambda ;d_2=0.260\lambda ,{\ell }_2=0.405\lambda .$$

解析解：令 $t=\tan \beta d$，令该处电导 $G=Y_0$ 得到关于 $t$ 的二次方程：

$$t=\frac{X_L\pm \sqrt{R_L\left[(Z_0-R_L{)}^2+X_L^2\right]/Z_0}}{R_L-Z_0}(R_L\ne Z_0),$$