第04章 微波网络分析：S 参数为什么是微波界的"通用语"

这一篇在干嘛？

前三章都在跟麦克斯韦方程较劲——求场、求 β、求阻抗。但实际设计电路时，没人愿意每接两个元件就重解一遍偏微分方程。本章的核心思想是：先用场分析把典型结构”定标”成网络参数，之后电路之间怎么连、怎么级联，全用电路理论搞定。你会学到微波工程师的”四大力器”：Z/Y 矩阵、ABCD 矩阵、S 参数和信号流图，以及微波频段为什么要发明 S 参数。

4.1 等效电压与电流

低频电路里电压电流的定义天经地义，但微波频段”测电压”本身成了难题。对 TEM 线（同轴、微带、带状线），电压的定义是唯一的——与积分路径无关：

$$V={\int }_{+}^{-}\bar{E}\cdot d\bar{\ell },I={\oint }_{C^{+}}\bar{H}\cdot d\bar{\ell },Z_0=\frac{V}{I}\text{\hspace{1em}(4.1-4.3)}$$

波导就没这么幸运了。矩形波导 ${\mathrm{TE}}_{10}$ 模的横向场是 $E_y\propto \sin (\pi x/a)$，对它做线积分，结果既取决于积分起点 x，又取决于积分路径——“波导里的电压是多少”这个问题根本没有唯一答案。

解决办法是人为约定一套等效电压电流（equivalent voltage and current），三条约定缺一不可：

1. 电压正比于横向电场，电流正比于横向磁场（针对某一个模定义）；
2. 两者乘积等于该模的功率流（$P=\frac{1}{2}V{I}^{\ast }$）；
3. 行波电压/电流之比等于特性阻抗（可任选，通常取波阻抗 $Z_w$ 或归一化为 1）。

对任意波导模，横向场写成入射波与反射波的叠加：

$${\bar{E}}_t=\frac{\bar{e}(x,y)}{C_1}\left(V^{+}{e}^{-j\beta z}+V^{-}{e}^{j\beta z}\right),{\bar{H}}_t=\frac{\bar{h}(x,y)}{C_2}\left(V^{+}{e}^{-j\beta z}-V^{-}{e}^{j\beta z}\right)\text{\hspace{1em}(4.6)}$$

两个比例常数 $C_1$、$C_2$ 由功率条件和阻抗条件联立定出。把入射功率 $P^{+}=\frac{1}{2}|A^{+}{|}^2{\int }_S\bar{e}\times {\bar{h}}^{\ast }\cdot \hat{z}ds$ 与 $\frac{1}{2}{V}^{+}{I}^{+\ast }$ 画等号，得到

$$C_1{C}_2^{\ast }={\int }_S\bar{e}\times {\bar{h}}^{\ast }\cdot \hat{z}ds,\frac{C_1}{C_2}=Z_w(\text{或 }1)\text{\hspace{1em}(4.10/4.12)}$$

例 4.1 对 ${\mathrm{TE}}_{10}$ 模算得 $C_1=\sqrt{ab/2}$——从此波导的一个模就被”翻译”成了一条等效传输线。多模情形下，波导中的总场就是各模等效电压电流的叠加（式 4.13），每个模各配一条等效传输线。

阻抗概念的三层身份

本章会见到三种”阻抗”：本征阻抗 $\eta =\sqrt{\mu /ϵ}$ 只看材料；波阻抗 $Z_w=E_t/H_t$（$Z_{\mathrm{TEM}}$、$Z_{\mathrm{TE}}$、$Z_{\mathrm{TM}}$）看波的类型；特性阻抗 $Z_0=V^{+}/I^{+}$ 看传输线。TEM 波三者各有明确定义；TE/TM 波没有唯一电压电流，$Z_0$ 的定义带约定成分。S. A. Schelkunoff 在 1930 年代指出：阻抗是”场的类型 + 介质”的共同属性——它是连接场论与电路论的桥梁。

一个直接的战果：波导分段反射

把空气段和介质段波导各等效成一条传输线（$Z_0=k_0{\eta }_0/\beta$），波导界面反射系数就是两条不同阻抗传输线对接的老问题：$\Gamma =(Z_{0d}-Z_{0a})/(Z_{0d}+Z_{0a})$。例 4.2 用它一步算出 10 GHz 下 X 波段波导填充 Rexolite 时的 $\Gamma =-0.316$。

本节还证明了两个普适性质：对实际网络，$Z(\omega )$ 的实部是 ω 的偶函数、虚部是 ω 的奇函数（$Z(-\omega )=Z^{\ast }(\omega )$），因此 $|\Gamma (\omega )|$ 只能用 ω 的偶次幂级数逼近——这是后面对滤波器综合至关重要的结论。

4.2 阻抗矩阵与导纳矩阵

N 端口（port，这个词是 Wheeler 在 1950 年代发明的）网络在各端口参考面（terminal plane）上有总电压 $V_n=V_n^{+}+V_n^{-}$ 和总电流 $I_n=I_n^{+}-I_n^{-}$。阻抗矩阵把它们线性联系起来：

$$[V]=[Z][I],[I]=[Y][V],[Y]=[Z{]}^{-1}\text{\hspace{1em}(4.25-4.27)}$$

矩阵元素有清晰的物理测量含义：

$$Z_{ij}={\frac{V_i}{I_j}|}_{I_k=0,k\ne j}(\text{其他端口开路}),Y_{ij}={\frac{I_i}{V_j}|}_{V_k=0,k\ne j}(\text{其他端口短路})\text{\hspace{1em}(4.28/4.29)}$$

两大特殊性质（证明都用了场论定理，值得记住结论）：

• 互易网络（reciprocal，不含有源器件/铁氧体/等离子体）：由洛伦兹互易定理推出 $Z_{ij}=Z_{ji}$、$Y_{ij}=Y_{ji}$，矩阵对称。
• 无耗网络（lossless）：$[Z]$、$[Y]$ 的所有元素纯虚。

这两个条件大幅压缩了网络的自由度（N 端口本来有 $2N^2$ 个独立量）。

"开路/短路"在微波频段是奢侈品

Z、Y 参数的测量定义要求端口真正开路或短路，但微波频段的理想开路器、短路器本身就不理想，且要在每个频点做 N² 次测量。这就是 S 参数后来独占江山的技术伏特——先记下这个痛点。

4.3 散射矩阵

微波频段能直接测的是行波的幅度与相位（矢量网络分析仪 VNA 测的就是入射波/反射波之比），而不是抽象的等效电压。散射矩阵（scattering matrix）直接把”进来的波”映射到”出去的波”：

$$[V^{-}]=[S][V^{+}],S_{ij}={\frac{V_i^{-}}{V_j^{+}}|}_{V_k^{+}=0,k\ne j}\text{\hspace{1em}(4.40/4.41)}$$

定义读法：$S_{ii}$ 是其他端口全部接匹配负载时从端口 i 看进去的反射系数；$S_{ij}$ 是其他端口全部匹配时从端口 j 到端口 i 的传输系数。

S 参数与 Z 参数可以互相换算（设各端口 $Z_0$ 相同并归一化）：

$$[S]=([Z]+[U]{)}^{-1}([Z]-[U]),[Z]=([U]+[S])([U]-[S]{)}^{-1}\text{\hspace{1em}(4.44/4.45)}$$

对一端口退化为熟悉的 $S_{11}=(z_{11}-1)/(z_{11}+1)$。互易/无耗条件在 S 域的对应形式：

• 互易：$[S]=[S{]}^t$（对称）；
• 无耗：$[S]$ 是幺正矩阵（unitary），$[S{]}^t[S{]}^{\ast }=[U]$，按元素写即

$$\sum _{k=1}^N{S}_{ki}{S}_{ki}^{\ast }=1(\text{每列模方和为 1}),\sum _{k=1}^N{S}_{ki}{S}_{kj}^{\ast }=0(i\ne j,\text{列正交})\text{\hspace{1em}(4.53)}$$

白话：无耗网络”进多少功率就出多少功率”，功率守恒直接写在矩阵里。

拿一个 3 dB 衰减器（例 4.4）练手：50 Ω 系统里串 8.56 Ω、并 141.8 Ω 的对称 π 网络。从端口 1 看进去 $Z_{in}=50\Omega$（自己算一遍分压就信了），所以 $S_{11}=S_{22}=0$；再由两次分压得 $V_2=0.707V_1$，于是

$$S_{21}=0.707⟹|S_{21}{|}^2=\frac{1}{2}(\text{恰好衰减 3 dB})$$

对称电路 + 功率守恒，四个 S 参数一次凑齐——这就是 S 参数”手算友好”的地方。

Sₙₙ ≠ 随便看进去的反射系数

只有其他所有端口都匹配时，端口 n 的反射系数才等于 $S_{nn}$。例 4.5 里同一个二端口，2 口接匹配负载时回波损耗 16.5 dB，换成短路负载后变成 6.9 dB（$\Gamma =S_{11}-S_{12}{S}_{21}/(1+S_{22})$）。网络参数是网络自己的属性，与外接负载无关；你测到的反射系数才是”网络 + 负载”的属性。

参考面移动

S 参数携带相位，所以必须指明参考面。参考面向外移动电长度 ${\theta }_n={\beta }_n{\ell }_n$ 后：

$$[S^{\prime }]=\mathrm{diag}(e^{-j{\theta }_n})[S]\mathrm{diag}(e^{-j{\theta }_n}),S_{nn}^{\prime }=e^{-2j{\theta }_n}{S}_{nn}\text{\hspace{1em}(4.56)}$$

对角元素相位移两倍——因为波要在移动的长度上”走一个来回”。用矢量网络分析仪校准去嵌（de-embedding）时天天用这条公式；它也是第 2 章”传输线上移动参考面看反射系数”那套结论的矩阵版。

功率波与广义 S 参数

当 $Z_0$ 是复数（有耗线）或根本没有传输线（源直接接负载）时，常规入射/反射波定义失效。改用功率波（power waves）：

$$a=\frac{V+Z_{R}I}{2\sqrt{R_R}},b=\frac{V-Z_R^{\ast }I}{2\sqrt{R_R}}\text{\hspace{1em}(4.60)}$$

其中参考阻抗 $Z_R$ 可为复数。负载功率依旧 $P_L=\frac{1}{2}|a{|}^2-\frac{1}{2}|b{|}^2$，且这个结果对任意 $Z_R$ 都成立——功率守恒”内置”在定义里。

选 $Z_R=Z_L^{\ast }$ 可让反射功率波 b=0——但注意这不等于共轭匹配；b=0 只是定义使然，最大功率传输仍要求 $Z_g=Z_L^{\ast }$。这套定义催生了广义散射矩阵，适当选取参考阻抗可把对角元全部调零。

4.4 传输（ABCD）矩阵

实际微波系统常常是二端口的级联（cascade）。ABCD 矩阵为此而生，注意它对端口 2 的电流方向做了特殊约定（$I_2$ 流出端口 2）：

$$\left[\begin{array}{c}{V}_1\\ I_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{V}_2\\ I_2\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4.69)}$$

级联时整体矩阵 = 各级矩阵按顺序相乘：

$$\left[\begin{array}{c}{V}_1\\ I_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}_1& B_1\\ C_1& D_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{A}_2& B_2\\ C_2& D_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{V}_3\\ I_3\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4.71)}$$

常用单元的 ABCD 矩阵值得背下来（表格 4.1 精选）：

电路单元	A	B	C	D
串联阻抗 Z	1	Z	0	1
并联导纳 Y	1	0	Y	1
长度 $\ell$ 传输线	$\cos \beta \ell$	$j{Z}_0\sin \beta \ell$	$j{Y}_0\sin \beta \ell$	$\cos \beta \ell$
理想变压器 N:1	N	0	0	1/N

互易二端口还有校验恒等式 $AD-BC=1$（由 $Z_{12}=Z_{21}$ 推出）。

二端口等效电路

同轴-微带过渡这类物理不连续，可以封装成二端口”黑盒”，再用 T 型或 π 型集总等效电路替代：

自由度账本：互易二端口有 6 个实自由度（三个复矩阵元），无耗时矩阵元纯虚、自由度降到 3，因此无耗互易网络的等效电路只需三个纯电抗元件（T 型或 π 型）。

非互易网络没有无源等效电路

非互易网络（含铁氧体的隔离器、环形器等）不能用互易元件搭出等效电路，只能老老实实保留矩阵描述或用专用模型。别试图给一个环形器画 T 型电路。

4.5 信号流图

S 参数描述”波怎么走”，信号流图（signal flow graph）就把这件事画出来：每个端口两个节点（$a_i$ 入射、$b_i$ 出射），每条有向支路带一个系数（S 参数或反射系数），节点电压 = 汇入该节点所有信号之和。

化简流图只需四条规则（后文示例给出串联规则的公式推导，其余三条同理，也可以用控制论里的 Mason 公式一步到位）：

1. 串联规则：首尾相接的支路合并，系数相乘；
2. 并联规则：同起点的并行支路合并，系数相加；
3. 自环规则：节点上的自环 S，等效于把所有进入该节点的支路系数乘 $1/(1-S)$；
4. 分裂规则：节点可拆分，只要每种输入×输出组合恰好出现一次。

经典战果：源-网络-负载系统（例 4.7）用两条规则三步推出输入/输出反射系数——先分裂节点，再消自环：

$${\Gamma }_{\mathrm{in}}=\frac{b_1}{a_1}=S_{11}+\frac{S_{12}{S}_{21}{\Gamma }_{\ell }}{1-S_{22}{\Gamma }_{\ell }},{\Gamma }_{\mathrm{out}}=S_{22}+\frac{S_{12}{S}_{21}{\Gamma }_s}{1-S_{11}{\Gamma }_s}\text{\hspace{1em}(4.5节)}$$

这个公式在放大器设计（第 12 章）里还会反复见到。

TRL 校准：信号流图的工业级应用

矢量网络分析仪的测量面在仪器内部，连接电缆、接头、过渡都会引入误差，可以把它们打包成两个”误差盒”。TRL（Thru-Reflect-Line）校准用三次简单连接完全定出误差盒，不需要任何”完美”标准件：

• Thru：两参考面直连；
• Reflect：接一个反射系数未知的开路或短路（${\Gamma }_L$ 不需要已知）；
• Line：两参考面之间接一段长度和损耗都未知的匹配线。

对三次连接分别列流图方程（4.80–4.82），联立解出误差盒 S 参数、未知 ${\Gamma }_L$ 和传播因子 $e^{\gamma \ell }$，最后用 ABCD 矩阵把测量值去嵌回被测件（DUT）：

$$\left[\begin{array}{cc}{A}^{\prime }& B^{\prime }\\ C^{\prime }& D^{\prime }\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}{A}^m& B^m\\ C^m& D^m\end{array}\right]\left({\left[\begin{array}{cc}D& B\\ C& A\end{array}\right]}^{-1}\right)\text{\hspace{1em}(4.90)}$$

不追求完美标准件，是 TRL 的天才之处

传统校准依赖理想短路/开路/匹配负载，但频率越高这些标准件越不”理想”。TRL 反其道而行：Reflect 的 ${\Gamma }_L$ 与 Line 的长度损耗都设为未知数，由方程组一并解出——校准精度反而更高。这也是片上测量（on-wafer）的首选方法。

4.6 不连续性与模式分析

传输线上的不连续性（discontinuity）无处不在：波导膜片、台阶、弯头，微带的开路端、缝隙、T 型结。低频时它们是”导线拐个弯”，微波频段却是储能的电抗元件。处理套路：用场分析或测量把不连续性定标为等效电路（简单情形一个并联/串联元件，一般情形 T 或 π 电路），再并入网络分析。

模式分析法：H 面台阶

以矩形波导 H 面台阶（宽度突变，$a\to c$）为例演示严格解法。入射 ${\mathrm{TE}}_{10}$ 在 z=0 处激起两导中无穷多个 ${\mathrm{TE}}_{n0}$ 模的反射/透射（高阶模虽凋落，但储存了界面附近的能量，不可忽略）：

$$E_y^r=\sum _{n=1}^{\infty }{A}_n\sin \frac{n\pi x}{a}{e}^{j{\beta }_n^{a}z},E_y^t=\sum _{n=1}^{\infty }{B}_n\sin \frac{n\pi x}{c}{e}^{-j{\beta }_n^{c}z}\text{\hspace{1em}(4.94/4.95)}$$

在 z=0 上匹配切向场——$0<x<c$ 上 $E_y$、$H_x$ 连续，$c<x<a$ 上 $E_y=0$（台阶金属面）——把边界条件写成：

$$\sin \frac{\pi x}{a}+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_n\sin \frac{n\pi x}{a}=\{\begin{array}{ll}\sum _{n=1}^{\infty }{B}_n\sin \frac{n\pi x}{c},& 0<x<c\\ 0,& c<x<a\end{array}\text{\hspace{1em}(4.98a)}$$

利用正弦函数正交性把边界条件投影成线性方程组，截断 N 项后解矩阵方程

$$[Q][A]=[P],Q_{mn}=\frac{a}{2}{\delta }_{mn}+\sum _{k=1}^N\frac{2Z_k^c{I}_{mk}{I}_{kn}}{c{Z}_n^a}\text{\hspace{1em}(4.106/4.107)}$$

其中 $I_{mn}={\int }_0^c\sin (m\pi x/a)\sin (n\pi x/c)dx$ 是两个不同宽度波导模式之间的”重叠积分”，正是它量化了台阶两侧模式的耦合强度；解出各模幅度 $A_n$ 后，反射系数就是 $A_1$。

物理解读很漂亮：当导波 2 中所有模都截止时，没有实功率过去，但凋落模储存了磁能——复功率流 $P\propto j$ 为正虚数，说明台阶等效为一个并联电感：

$$X=-j{Z}_1^a\frac{1+A_1}{1-A_1}\text{\hspace{1em}(4.109)}$$

数值上收敛极快（凋落模指数衰减），N=2 就已接近 Marcuvitz《Waveguide Handbook》的经典数据；这种”场解 → 等效电路元件值”的流程正是等效电路手册数据的来源。

单模阻抗观点会算错

习题 4.1 展示了一个反例：E 面台阶（高度突变）用单模阻抗法会得到 Γ=0 的荒谬结论。正确答案是单模近似在某些几何下完全失效，高阶凋落模必须纳入。等效电路是场分析的”压缩包”，不是替代品。

微带不连续性的补偿手段

直角弯头因拐角多出的导体面积引入寄生电容，实用做法是切角（mitering/chamfering）：切掉约 $a=1.8W$ 的角即可补偿，比走大圆弧（半径 ≥3W）省空间。切角同样适用于宽度台阶和 T 结——这是版图设计的基本功。

4.7 波导激励——电流源

波必须有人”喂”进去。一根探针、一个小环怎么把能量交给 ${\mathrm{TE}}_{10}$ 模、交给多少？理论工具是洛伦兹互易定理：任意电流源 $\bar{J}$ 激起的第 n 个模的前/后行波幅度为

$$A_n^{+}=\frac{-1}{P_n}{\int }_V{\bar{E}}_n^{-}\cdot \bar{J}dv,A_n^{-}=\frac{-1}{P_n}{\int }_V{\bar{E}}_n^{+}\cdot \bar{J}dv\text{\hspace{1em}(4.124/4.126)}$$

其中 $P_n$ 是与该模功率流成正比的归一化常数。白话：激励幅度 = 源电流与该模（反向）场的”重叠积分”——源的分布与目标模的场越吻合，耦合越强。

先看极端情况：电流片 (4.111) 的分布被设计得与 ${\mathrm{TE}}_{mn}$ 模完全匹配，由唯一性定理它只激励这一个模（朝两边各一份）。实际中做不到连续电流片，只能用探针、小环近似，会连带激起一堆凋落高阶模（储能但不传功率）。

例 4.8 把理论落到探针馈电波导：探针电流 $I_0$ 均匀分布在 $y$ 方向，算出 ${\mathrm{TE}}_{10}$ 幅度 $A_1^{+}=-Z_1{I}_0/a$，输入电阻

$$R_{\mathrm{in}}=\frac{b{Z}_1}{a}\text{\hspace{1em}(例4.8)}$$

这个实电阻正是探针向行波模输送功率的体现；探针位置、深度就是波导-同轴过渡的调配电感/电阻的旋钮。同样思路可以处理小环（磁流源，式 4.128–4.129）：环的磁矩与目标模的磁场”重叠”才有效，这就是环耦合常放在磁场最强处的原因。

4.8 波导激励——孔耦合

除了探针和环，还可以通过公共壁上的小孔（aperture）耦合。直觉图像：孔切进导体壁后，电力线/磁力线会”绕着孔缘鼓包”，这与一对反向的极化电偶极子/磁偶极子的场形一样，于是孔可等效为无穷小偶极子：

$${\bar{P}}_e={ϵ}_0{\alpha }_e\hat{n}{E}_n\delta (\bar{r}-{\bar{r}}_0),{\bar{P}}_m=-{\alpha }_m{\bar{H}}_t\delta (\bar{r}-{\bar{r}}_0)\text{\hspace{1em}(4.130/4.131)}$$

${\alpha }_e$、${\alpha }_m$ 是只依赖孔的尺寸形状的电极化率/磁极化率（如圆孔 ${\alpha }_e=2r_0^3/3$、${\alpha }_m=4r_0^3/3$——注意磁极化率是电的两倍，孔对磁场更”透明”）。等效电流 $\bar{J}=j\omega {\bar{P}}_e$、$\bar{M}=j\omega {\mu }_0{\bar{P}}_m$，再代回 4.7 节的重叠积分公式即可。

两个经典算例：

• 横壁圆孔：TE 模在壁面处 $E_z=0$、$H_x\ne 0$，只有磁偶极子起作用，算得反射/传输系数

$$\Gamma =\frac{4j\beta {\alpha }_m}{ab}-1,T=\frac{4j\beta {\alpha }_m}{ab}\text{\hspace{1em}(4.141)}$$

对比并联电纳传输线的反射系数，可把孔等效为孔位置上的一个归一化并联感性电纳 $B=-ab/(2\beta {\alpha }_m)$。理论给出 $|\Gamma |>1$（无源网络不可能），这是近似理论的伪影，工程上说明该理论只适用于小孔。

• 宽壁圆孔（双波导耦合）：电、磁偶极子同时被激发。向前波与向后波中两者的贡献一减一加（$A^{+}\propto ({\alpha }_e-{\alpha }_m/Z_{10}^2)$，$A^{-}\propto ({\alpha }_e+{\alpha }_m/Z_{10}^2)$）——这正是定向耦合器方向性的物理起源。

一条主线串起全章

本章的方法论是同一条流水线：场分析求”定标量”（波阻抗、等效电路、极化率）→ 网络参数（Z/Y/S/ABCD）封装端口 → 矩阵/流图算级联系统。第 5 章起的匹配、耦合器、滤波器设计全部建立在这套语言之上。

自测题（附答案解析）

1. 为什么波导里的”电压”没有唯一值？等效电压靠哪三条约定恢复意义？ 答：${\mathrm{TE}}_{10}$ 模的 $E_y\propto \sin (\pi x/a)$，线积分结果依赖路径起点与长度，故不唯一。三条约定：电压/电流分别正比于横向电/磁场；乘积等于功率流；行波 $V^{+}/I^{+}$ 定义为特性阻抗（常取 $Z_w$ 或归一 1）。

2. 无耗网络的 Z 矩阵和 S 矩阵各有什么特殊性质？ 答：无耗网络 $[Z]$、$[Y]$ 元素纯虚；$[S]$ 为幺正矩阵，即每列模方和为 1（功率守恒）且不同列正交。互易则额外要求 $[Z]$ 对称、$[S]=[S{]}^t$。

3. 某二端口 $S_{11}=0.15$。端口 2 接短路负载时端口 1 的反射系数还是 0.15 吗？写出一般式。 答：不是。$\Gamma =S_{11}-\frac{S_{12}{S}_{21}}{1+S_{22}}$（短路时 $V_2^{+}=-V_2^{-}$）。只有端口 2 匹配时 Γ 才等于 $S_{11}$；本例短路后 |Γ| 增大到 0.452，回波损耗从 16.5 dB 恶化到 6.9 dB。

4. 为什么级联分析偏爱 ABCD 矩阵？使用时最容易犯什么错？ 答：ABCD 矩阵级联时按顺序直接相乘，且端口 2 电流约定为流出，使相邻网络电流自然衔接。最易犯的错有两个：相乘顺序颠倒（矩阵乘法不可交换）；忘了 $I_2$ 的方向约定与 Z/Y/S 参数相反。

5. 宽壁小孔同时激励电与磁偶极子，为什么能构成定向耦合？ 答：磁偶极子在向前、向后方向激发的场极性相反，电偶极子则两方向相同。叠加后一个方向两偶极子贡献相消（$A^{+}\propto {ϵ}_0{\alpha }_e-{\mu }_0{\alpha }_m/Z_{10}^2$），另一方向相加（$A^{-}\propto {ϵ}_0{\alpha }_e+{\mu }_0{\alpha }_m/Z_{10}^2$），实现单向优先耦合——这就是 Bethe 孔定向耦合器的原理。