第03章 传输线与波导：矩形波导里的 TE10

这一篇在干嘛？

上一章我们用”电路”的方式（传播常数、特性阻抗）描述传输线，但那些量从哪儿来？本章用麦克斯韦方程组做场理论（field theory）分析，把最常见的几种导波结构——平行板波导、矩形波导、圆波导、同轴线、带状线、微带线——逐个”拆开看”，弄清楚每种结构支持什么波型（mode）、截止频率从哪来、损耗怎么算。读完你就明白：为什么矩形波导要按标准尺寸卖，为什么微带线不能传纯 TEM 波。

3.1 TEM、TE 和 TM 波的一般解

考虑任意一个沿 z 方向均匀无限长的波导或传输线（导体边界平行于 z 轴），假设时谐场 $e^{j\omega t}$、沿 +z 传播，则电场可写成横向部分加纵向部分：

$$\bar{E}(x,y,z)=[\bar{e}(x,y)+\hat{z}{e}_z(x,y)]e^{-j\beta z},\text{\hspace{1em}(3.1a)}$$

在无源区代入麦克斯韦方程组，六个标量方程联立消元，可以把四个横向场分量全部用纵向分量 $E_z$、$H_z$ 表示出来。白话版：只要知道纵向分量，横向分量就全定了。其中定义了截止波数（cutoff wave number）：

$$k_c^2=k^2-{\beta }^2,k=\omega \sqrt{\mu ϵ}=\frac{2\pi }{\lambda }\text{\hspace{1em}(3.6)}$$

根据纵向分量是否为零，波分三类：

• TEM 波（transverse electromagnetic，横电磁波）：$E_z=H_z=0$。此时必须 $k_c=0$，即 $\beta =k=\omega \sqrt{\mu ϵ}$，无色散、无截止。
• TE 波（transverse electric，横电波，也叫 H 波）：$E_z=0,H_z\ne 0$。
• TM 波（transverse magnetic，横磁波，也叫 E 波）：$E_z\ne 0,H_z=0$。TE/TM 波的 $\beta =\sqrt{k^2-k_c^2}$ 都依赖频率和几何。

三种波的波阻抗（wave impedance）是本章反复出现的核心量：

$$Z_{\mathrm{TEM}}=\sqrt{\frac{\mu }{ϵ}}=\eta ,Z_{\mathrm{TE}}=\frac{k\eta }{\beta },Z_{\mathrm{TM}}=\frac{\beta \eta }{k}\text{\hspace{1em}(3.17/3.22/3.26)}$$

波阻抗 ≠ 特性阻抗

波阻抗描述的是横向场分量之比，只由材料决定；特性阻抗 $Z_0=V/I$ 描述行波电压与电流之比，还和传输线的几何形状有关。TEM 线上两者不相等（比如平行板线 $Z_0=\eta d/W$），别混为一谈。

TEM 波还有个漂亮的结论：其横向场满足拉普拉斯方程 ${\nabla }_t^2\Phi (x,y)=0$，和静态场完全一样。这带来两条推论：一是 TEM 波只存在于两个或以上导体的结构中（闭口金属管内静态电位为常数，场为零，所以矩形波导传不了 TEM 波）；二是分析 TEM 线可以借用整个静电学工具箱（求电位→求场→求 V、I→求 $Z_0$）。

最后是介质损耗：对填充均匀介质的导波结构，小损耗（$\tan \delta \ll 1$）时泰勒展开一阶近似给出

$${\alpha }_d=\frac{k^2\tan \delta }{2\beta }Np/m(\text{TE/TM}),{\alpha }_d=\frac{k\tan \delta }{2}Np/m(\text{TEM})\text{\hspace{1em}(3.29)}$$

3.2 平行板波导

平行板波导（parallel plate waveguide）是最简单的能同时支持 TEM、TM、TE 模的结构：两块宽 $W\gg d$ 的平板，间距 d。

• TEM 模：电位 $\Phi =V_{o}y/d$ 线性分布，$E_y=-V_o/d$，$H_x=V_o/\eta d$，特性阻抗 $Z_0=\eta d/W$，相速 $v_p=1/\sqrt{\mu ϵ}$，无截止。
• TM 模与 TE 模：解二维亥姆霍兹方程，边界条件把 $k_c$ 量化成 $k_c=n\pi /d$。于是每个 n 对应一个模 ${\mathrm{TM}}_n$ 或 ${\mathrm{TE}}_n$，截止频率为

$$f_c=\frac{n}{2d\sqrt{\mu ϵ}},n=0,1,2,\dots \text{\hspace{1em}(3.49)}$$

TM 模的纵向场和横向场的完整解（$E_z\propto \sin (n\pi y/d)$）：

$$E_z=A_n\sin \frac{n\pi y}{d}{e}^{-j\beta z},H_x=\frac{j\omega ϵ}{k_c}{A}_n\cos \frac{n\pi y}{d}{e}^{-j\beta z}\text{\hspace{1em}(3.47/3.48a)}$$

功率流用坡印廷定理积分横截面得到，只有 β 为实（$f>f_c$）时才非零：

$$P_o=\frac{W\mathrm{Re}(\beta )\omega ϵd}{4k_c^2}|A_n{|}^2(n>0)\text{\hspace{1em}(3.54)}$$

注意 TM/TE 模的” bouncing plane wave “解读（下图）：频率降低趋向截止时，平面波的弹射角 $\theta$ 趋于 90°，两束波只上下弹跳、不再前进。

上图中”两束平面波来回弹”的图像非常有用：以 ${\mathrm{TM}}_1$ 为例，$E_z$ 可以分解成两束斜向传播的平面波，$k\sin \theta =\pi /d$、$k\cos \theta ={\beta }_1$。当 $f\to f_c$ 时 $\theta \to 90^{\circ }$，平面波只上下弹、不再前进，z 方向功率为零。沿 z 的相速 $v_p=\omega /\beta >c$ 并不违反相对论——它只是等相位面的”交点速度”，就像海浪斜着拍岸时浪与岸的交点比浪本身跑得快。

一个可以背下来的结论

波导模的相速度 $v_p$ 总大于介质中光速，群速度 $v_g$ 总小于光速，且 $v_p{v}_g=c^2$（对空气填充波导成立）。截止频率以下，功率流严格为零。

导体损耗用微扰法算，${\alpha }_c=P_{\ell }/2P_o$。TE/TM 模在接近截止时 ${\alpha }_c\to \infty$，而 TEM 模的 ${\alpha }_c=R_s/\eta d$ 与频率无关。

3.3 矩形波导

矩形波导（rectangular waveguide）是最经典的微波传输线，商品化器件覆盖 1–220 GHz。空心金属管只有一个导体，所以只能传 TE 和 TM 模，不能传 TEM。

TE 模（重点）

对 $H_z$ 用分离变量法解波动方程，管壁上切向电场为零的边界条件把解约束成余弦形式：

$$H_z(x,y,z)=A_{mn}\cos \frac{m\pi x}{a}\cos \frac{n\pi y}{b}{e}^{-j\beta z}\text{\hspace{1em}(3.81)}$$

由此得到矩形波导最重要的公式——截止频率：

$$f_{c_{mn}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{\mu ϵ}}\sqrt{{\left(\frac{m\pi }{a}\right)}^2+{\left(\frac{n\pi }{b}\right)}^2}\text{\hspace{1em}(3.84)}$$

因为 $a>b$，最低截止频率的模是 ${\mathrm{TE}}_{10}$（m=1, n=0），它是矩形波导的主模（dominant mode）：

$$f_{c_{10}}=\frac{1}{2a\sqrt{\mu ϵ}}\text{\hspace{1em}(3.85)}$$

白话：宽边 a 越大，截止频率越低——这就是为什么波导按频段分标准尺寸（如 X 波段 WR-90）。不存在 ${\mathrm{TE}}_{00}$ 模（场全为零）。

${\mathrm{TE}}_{10}$ 模的场分量特别简洁：只有 $H_z$、$E_y$、$H_x$ 三个分量，场沿宽边按 $\sin (\pi x/a)$ 分布、沿窄边均匀：

$$E_y=\frac{-j\omega \mu a}{\pi }{A}_{10}\sin \frac{\pi x}{a}{e}^{-j\beta z},H_x=\frac{j\beta a}{\pi }{A}_{10}\sin \frac{\pi x}{a}{e}^{-j\beta z}\text{\hspace{1em}(3.89b/3.89c)}$$

它也是唯一”必须精通”的模——绝大多数波导系统都工作在单模 ${\mathrm{TE}}_{10}$ 状态。沿着这一思路做个数值演练（例 3.1）：聚四氟乙烯填充的 K 波段铜波导（a=1.07 cm，b=0.43 cm，${ϵ}_r=2.08$），前五个可传播模的截止频率为：

模	m	n	$f_c$ (GHz)
TE	1	0	9.72
TE	2	0	19.44
TE	0	1	24.19
TE/TM	1	1	26.07
TE/TM	2	1	31.03

工作在 15 GHz 时只有 ${\mathrm{TE}}_{10}$ 传播，算得介质损耗 ${\alpha }_d=1.03$ dB/m、导体损耗 ${\alpha }_c=0.434$ dB/m——介质损耗占大头，这是聚四氟乙烯 $\tan \delta =0.0004$ 带来的典型量级。

TM 模

TM 模的解是正弦形式 $E_z\propto \sin (m\pi x/a)\sin (n\pi y/b)$，且 m、n 都不能为零（任一为零场就消失），所以最低的 TM 模是 ${\mathrm{TM}}_{11}$，其截止频率高于 ${\mathrm{TE}}_{10}$。

多模工作（overmoded）要警惕

工作频率给定后，所有 $f>f_c$ 的模都会传播。若同一频率下不止一个模传播，波导就”过模”了，不同模的 β 不同，信号会互相干扰。工程设计中通常把工作频率限制在 $f_{c_{10}}$ 与 $f_{c_{20}}=2f_{c_{10}}$ 之间，保证只有 ${\mathrm{TE}}_{10}$ 传播——这也是波导带宽略小于一个倍频程的原因。

波导波长与相速

对传播中的 TE/TM 模：

$${\lambda }_g=\frac{2\pi }{\beta }>\lambda ,v_p=\frac{\omega }{\beta }>\frac{1}{\sqrt{\mu ϵ}}\text{\hspace{1em}(3.87)}$$

波导波长大于自由空间波长——这是波导测量（开槽线）和阻抗匹配计算中天天用到的量。

3.4 圆波导

圆波导（circular waveguide）用柱坐标分析，分离变量后径向方程变成贝塞尔方程（Bessel equation），解为贝塞尔函数 $J_n$。圆波导的模记作 ${\mathrm{TE}}_{nm}$ / ${\mathrm{TM}}_{nm}$：n 是周向变化数，m 是径向变化数。

• TE 模：$k_c=p_{nm}^{\prime }/a$，其中 $p_{nm}^{\prime }$ 是 $J_n^{\prime }(x)$ 的第 m 个根（如 $p_{11}^{\prime }=1.841$）。
• TM 模：$k_c=p_{nm}/a$，其中 $p_{nm}$ 是 $J_n(x)$ 的第 m 个根（如 $p_{01}=2.405$）。

因为 $p_{11}^{\prime }=1.841$ 是所有根中最小的，圆波导的主模是 ${\mathrm{TE}}_{11}$（不存在 ${\mathrm{TE}}_{10}$）。另一个明星模是 ${\mathrm{TE}}_{01}$：它的导体损耗随频率升高而下降，是长距离低损耗传输（如过海波导）的理想候选。

圆波导模式的实际意义

${\mathrm{TE}}_{11}$ 主模场有极化简并（同一截止频率存在两个正交极化），做精密测量不方便，所以圆波导反而常用来做 ${\mathrm{TE}}_{01}$ 高功率低损耗传输或旋转关节，而矩形波导凭借无简并的 ${\mathrm{TE}}_{10}$ 成为日常主力。

3.5 同轴线

同轴线（coaxial line）内导体电位 $V_o$、外导体接地，TEM 模的电位满足柱坐标拉普拉斯方程，解是对数分布：

$$\Phi (\rho ,\varphi )=\frac{V_o\ln (b/\rho )}{\ln (b/a)}\text{\hspace{1em}(3.153)}$$

由此可推出熟悉的场 $E_{\rho }\propto 1/\rho$，以及第 2 章给出的 $Z_0$、损耗公式。分离变量解拉普拉斯方程时还有一个细节值得注意：φ 方向的解必须以 2π 为周期，所以方位波数 n 只能取整数；而边界条件不随 φ 变化，进一步逼出 n=0——对数电位正是这样”筛”出来的。

$$E_{\rho }=-\frac{\partial \Phi }{\partial \rho }=\frac{V_o}{\rho \ln (b/a)}{e}^{-jkz},H_{\varphi }=\frac{E_{\rho }}{\eta }\text{\hspace{1em}(3.153推论)}$$

高阶模：同轴线的频率上限

同轴线也能传 TE/TM 波导模，最低的是 ${\mathrm{TE}}_{11}$ 模，其 $k_c$ 要解一个由贝塞尔函数导数构成的超越方程（特征方程），实用近似式为 $k_c\approx 2/(a+b)$。高阶模一旦传播，多模干扰就会出现，所以同轴线有使用频率上限：

快速估算同轴线上限频率

经验公式 $f_c({\mathrm{TE}}_{11})\approx \frac{c}{\pi (a+b)\sqrt{{ϵ}_r}}$，再乘 0.95 留安全余量。例：RG-401U 电缆 ${ϵ}_r=2.2$，算得 ${\mathrm{TE}}_{11}$ 截止 17.7 GHz，实际用到 16.8 GHz。电缆越粗，上限频率越低——“大电缆传大功率、小电缆上高频”的取舍由此而来。

顺带一提 50 Ω 的来历：空气同轴线损耗最小在约 77 Ω，功率容量最大在约 30 Ω，50 Ω 是两者的折中。

3.6 接地介质板上的表面波

介质也能导波。接地介质板（grounded dielectric sheet）上可以传播表面波（surface wave）：场在介质内振荡、在介质外（x>d 的空气区）指数衰减。因为 TM 模和 TE 模在两种介质区各有自己的方程，需在界面处匹配切向场，最终得到两个联立超越方程，可用图解法（圆与切线族的交点）求 $k_c$ 和 h：

$$k_c\tan k_{c}d={ϵ}_{r}h(\mathrm{TM}),-k_c\cot k_{c}d=h(\mathrm{TE})\text{\hspace{1em}(3.165/3.172)}$$

关键结论：

• ${\mathrm{TM}}_0$ 模截止频率为零——任何非零厚度、${ϵ}_r>1$ 的接地介质板都至少能传一个 TM 表面波，它是介质板波导的主模。
• TE 模要等 $\sqrt{{ϵ}_r-1}{k}_{0}d>\pi /2$ 才开始传播，$f_c=\frac{(2n-1)c}{4d\sqrt{{ϵ}_r-1}}$。
• 各模按 ${\mathrm{TM}}_0,{\mathrm{TE}}_1,{\mathrm{TM}}_1,{\mathrm{TE}}_2,\dots$ 的次序出现。

表面波相速小于真空光速（场被介质”拽慢”），且频率越高束缚越紧。研究它的动机很直接：微带线和槽线上都可能激发表面波，造成寄生耦合与损耗——第 8 节马上会回到这个问题。

3.7 带状线

带状线（stripline）：中心导体带悬浮在两块接地平板正中间，介质均匀填充。它就是”压扁的同轴线”——两导体 + 均匀介质 → 纯 TEM 模，无色散。

因为均匀介质，相速和传播常数直接写出：

$$v_p=\frac{c}{\sqrt{{ϵ}_r}},\beta =\sqrt{{ϵ}_r}{k}_0\text{\hspace{1em}(3.176/3.177)}$$

特性阻抗要用保角变换（conformal mapping）求精确解，工程上用拟合公式（精度约 1%）：

$$Z_0=\frac{30\pi }{\sqrt{{ϵ}_r}}\frac{b}{W_e+0.441b}\text{\hspace{1em}(3.179a)}$$

其中 $W_e$ 是计入边缘效应的有效带宽。规律很直观：导带越宽，阻抗越低。

带状线的实际约束

为避免高阶模，接地板间距和侧壁宽度都应小于 ${\lambda }_d/2$；当上下不对称（如表贴同轴过渡引入的不对称）时还要加短路销钉（shorting vias）压制高阶模。布板时忘了这些，电路会在某个频率莫名其妙地”抽风”。

本节还演示了一个近似数值方法：把无限大接地板截断成有限封闭区域，用分离变量级数展开电位、假设导带上电荷均匀分布，再用正交性求系数，最后对导带宽度取平均电压得到电容 $C$，进而 $Z_0=1/(v_{p}C)$。这个”猜电荷分布→求电位”的思路是数值电磁法的雏形（后世的矩量法同理）。

3.8 微带线

微带线（microstrip line）：导带印在单面接地介质基片上。它是微波集成电路（MMIC/PCB）的主力，但物理上也最”别扭”——介质只填充一半空间。

准 TEM 近似与有效介电常数

场一部分在介质里（相速 $c/\sqrt{{ϵ}_r}$）、一部分在空气里（相速 c），界面两侧相速无法一致，所以微带线不能传纯 TEM 波，严格说是混合 TM-TE 模。好在基片电厚度很薄（$d\ll \lambda$）时场近似静态，即准 TEM（quasi-TEM）近似。引入有效介电常数（effective dielectric constant）${ϵ}_e$ 把”一半空气一半介质”等效成均匀介质：

$${ϵ}_e=\frac{{ϵ}_r+1}{2}+\frac{{ϵ}_r-1}{2}\frac{1}{\sqrt{1+12d/W}},1<{ϵ}_e<{ϵ}_r\text{\hspace{1em}(3.195)}$$ $$v_p=\frac{c}{\sqrt{{ϵ}_e}},\beta =k_0\sqrt{{ϵ}_e}\text{\hspace{1em}(3.193/3.194)}$$

导带极宽时场几乎全在介质内，${ϵ}_e\to {ϵ}_r$；导带极窄时一半场在空气，${ϵ}_e\to ({ϵ}_r+1)/2$。特性阻抗 $Z_0$ 与综合设计公式（已知 $Z_0$ 反求 W/d）都是分段拟合式，本书直接引用即可。损耗方面：导体损耗 ${\alpha }_c=R_s/(Z_{0}W)$ 通常大于介质损耗（半导体基片除外）。

色散与高阶模阈值

准静态结果严格说只在直流成立。随频率升高，${ϵ}_e(f)$ 会从直流值逐渐增大趋向 ${ϵ}_r$（常用拟合式 3.200），相速随频率变化就是色散（dispersion）——宽带信号的不同频率分量到达时间不同，脉冲被展宽畸变。

微带线的四条"红线"频率

微带线有四种高阶/寄生机制的阈值频率：(1) ${\mathrm{TM}}_0$ 表面波与准 TEM 模开始强耦合的 $f_{T1}$；(2) 横向不连续点激发 ${\mathrm{TE}}_1$ 表面波的 $f_{T2}\approx c/(4d\sqrt{{ϵ}_r-1})$；(3) 宽导带的横向谐振 $f_{T3}$；(4) 平板波导模 $f_{T4}\approx c/(2d\sqrt{{ϵ}_r})$。基片越厚、${ϵ}_r$ 越高，上限频率越低。频率接近这些阈值时，闭式公式失效，必须用全波仿真。

设计经验

同样 50 Ω，10 GHz 相移 270° 的线，闭式公式与商用 CAD 给出的线宽、${ϵ}_e$、线长误差仅百分之几；但导体损耗一项差异最大（本例 0.094 vs 0.054 dB/cm）。用公式定尺寸、用仿真定损耗，是稳妥的工作流。

3.9 横向谐振法

如果只想要截止频率、不在乎完整场解，横向谐振法（transverse resonance technique）比解波动方程省事得多：波导在截止时横向形成驻波，等效为一条谐振的传输线，谐振条件是任一点向两侧看去的输入阻抗之和为零：

$$Z_{\mathrm{in}}^r(x)+Z_{\mathrm{in}}^{\ell }(x)=0\text{\hspace{1em}(3.206)}$$

以部分填充介质的矩形波导 ${\mathrm{TE}}_{0n}$ 模为例：介质段和空气段是两条特性阻抗不同的”横向传输线”，介质界面就是线的接头，阻抗条件直接给出特征方程

$$k_{ya}\tan k_{yd}t+k_{yd}\tan k_{ya}(b-t)=0\text{\hspace{1em}(3.208)}$$

再配上”两区 β 必须相同”（切向场相位匹配）的约束即可求解：

$${ϵ}_r{k}_0^2-k_{yd}^2=k_0^2-k_{ya}^2\text{\hspace{1em}(3.209)}$$

方程 (3.208) 与 (3.209) 有无穷多组解，对应 y 方向变化次数不同的 ${\mathrm{TE}}_{0n}$ 模。电路思想再次替代了繁琐的场匹配——这是本书反复出现的主题。

3.10 波速与色散

信号沿导波结构传播时涉及两种速度：

• 相速度（phase velocity）$v_p=\omega /\beta$：等相位点的移动速度；
• 群速度（group velocity）$v_g=(d\beta /d\omega {)}^{-1}$：窄带信号包络的传播速度。

把传输线看成传输函数为 $Z(\omega )=A{e}^{-j\beta z}$ 的线性系统可以证明：若 β 与 ω 成正比（TEM 线正是如此），信号无失真地平移；否则不同频率分量相位关系被打乱，产生色散失真。严格的出发点是傅里叶变换对：

$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt,f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{j\omega t}d\omega \text{\hspace{1em}(3.210)}$$

对窄带信号，把 β 在载频 ${\omega }_o$ 处泰勒展开取一阶项，包络 $f(t)$ 以群速度平移：

$$s_o(t)=Af(t-{\beta }_o^{\prime }z)\cos ({\omega }_{o}t-{\beta }_{o}z),v_g=\frac{1}{{\beta }_o^{\prime }}\text{\hspace{1em}(3.221/3.222)}$$

对空气填充波导：$v_g=c\beta /k_0<c<v_p=c{k}_0/\beta$——相速可以”超光速”，因为携带信息的包络走的才是群速。

一句话记住三种波型的色散特性

TEM 波 β∝ω，零色散、无截止；TE/TM 波 β 是频率的非线性函数，有色散、有截止。这正是第 3.11 节选型表格的物理基础。

3.11 传输线与波导小结

特性	同轴	波导	带状线	微带线
首选模式	TEM	${\mathrm{TE}}_{10}$	TEM	准 TEM
色散	无	中等	无	低
带宽	高	低	高	高
损耗	中	低	高	高
功率容量	中	高	低	低
尺寸	大	大	中	小
易于集成	难	难	一般	易

选型逻辑一目了然：大功率、低损耗、毫米波 → 波导；小型化、低成本、集成有源器件 → 微带线；测量与系统互连 → 同轴。此外还有脊波导（展宽波导带宽）、介质波导（毫米波/光频）、槽线、共面波导（CPW，便于并接有源器件）、加盖微带等变体，各有用武之地。

功率容量方面，空气填充结构受电压击穿（约 $3\times 10^6$ V/m）限制：10 GHz 时同轴峰值功率上限约 520 kW，而矩形波导 ${\mathrm{TE}}_{10}$ 模可达约 2300 kW——差了 4 倍多，这就是大功率雷达站离不开波导的原因。

功率容量还要打折

上述是峰值极限值；工程上至少留 2 倍安全系数，线上有反射（最坏 $|\Gamma |=1$）时容量再降为 1/4。加压充气或灌介质的目的是提高 $E_d$，但介质自身发热又可能成为新瓶颈。

自测题（附答案解析）

1. 为什么空心矩形波导不能传播 TEM 波？ 答：TEM 波的横向场满足拉普拉斯方程，与静态场相同。闭口单导体管内的静电位只能是常数（或零），对应横向场为零，即不存在 TEM 解。TEM 波需要两个或以上导体。

2. 矩形波导 a×b（a>b）中，主模是什么？为什么工作带宽略小于一个倍频程？ 答：主模是 ${\mathrm{TE}}_{10}$，截止频率 $f_{c_{10}}=1/(2a\sqrt{\mu ϵ})$。${\mathrm{TE}}_{20}$ 的截止频率恰为 2 倍（$a$ 方向 m=2），工作频率一旦超过它就出现第二个传播模，所以单模带宽略小于 2:1。

3. 微带线为什么不支持纯 TEM 波？准 TEM 近似靠什么成立？ 答：介质界面两侧的 TEM 场相速分别为 $c/\sqrt{{ϵ}_r}$ 和 c，无法在界面处处相位匹配，因此实际场是混合 TM-TE 模。当基片电厚度 $d\ll \lambda$ 时场分布近似静态，可用有效介电常数 ${ϵ}_e$ 做准 TEM 处理。

4. 波导模的相速度大于光速，是否违反相对论？群速度呢？ 答：不违反。相速是等相位面交点的移动速度，不携带信息（类比海浪斜拍岸时交点比浪快）。信息由包络承载，群速度 $v_g=c\beta /k_0<c$ 恒小于光速，且 $v_p{v}_g=c^2$。

5. 一根同轴电缆用着用着想工作到更高频率，主要障碍是什么？怎么缓解？ 答：障碍是高阶波导模（最低为 ${\mathrm{TE}}_{11}$）开始传播，$f_c\approx c/[\pi (a+b)\sqrt{{ϵ}_r}]$。电缆尺寸越大上限越低。缓解办法是换更细的电缆（牺牲功率容量与损耗），或控制在约 0.95 倍 $f_c$ 以下使用。