第02章 传输线理论：反射、驻波与 Smith 圆图

这一篇在干嘛？

当电路的物理尺寸不再远小于波长，基尔霍夫定律就会”失灵”——电压和电流沿线各处都不一样了。本章用**分布参数电路（distributed circuit）**的视角重建分析框架：从单位长度的 R、L、G、C 出发导出电报方程，引出特性阻抗 $Z_0$ 与传播常数 $\gamma$；再讨论最核心的物理图像——反射（reflection）与驻波（standing wave），并介绍微波工程师的”随身计算器”Smith 圆图，最后落到四分之一波长变换器、有耗线和瞬态分析。这一章是全书后续所有章节的地基。

2.1 传输线的集总元件电路模型

电路理论与传输线理论的关键区别只有一个：电尺寸（electrical size）。电路分析假设网络尺寸远小于波长，电压电流在元件上处处相同（集总，lumped）；而传输线可能长达一个甚至许多个波长，必须当作**分布参数网络（distributed-parameter network）**处理。

把一段无限短的线元 $\Delta z$ 等效为集总电路，其中四个单位长度参量是：$R$（Ω/m，两导体串联电阻，代表导体损耗）、$L$（H/m，串联电感）、$G$（S/m，并联电导，代表介质损耗）、$C$（F/m，并联电容）。

对这一线元应用基尔霍夫定律，除以 $\Delta z$ 并令其趋于零，得到**电报方程（telegrapher equations）**的时域形式：

$$\frac{\partial v(z,t)}{\partial z}=-Ri(z,t)-L\frac{\partial i(z,t)}{\partial t},\text{\hspace{1em}(2.2a)}$$ $$\frac{\partial i(z,t)}{\partial z}=-Gv(z,t)-C\frac{\partial v(z,t)}{\partial t}.\text{\hspace{1em}(2.2b)}$$

白话版：电压沿 z 的变化，是被串联的 R 和 L “吃掉”的；电流沿 z 的变化，是被并联的 G 和 C “漏掉”的。这与第 1 章麦克斯韦旋度方程的形式完全对偶——电路观点与场观点在此汇合。

正弦稳态下的解

取余弦相量（phasor）形式，方程简化为：

$$\frac{dV(z)}{dz}=-(R+j\omega L)I(z),\text{\hspace{1em}(2.3a)}$$ $$\frac{dI(z)}{dz}=-(G+j\omega C)V(z).\text{\hspace{1em}(2.3b)}$$

两式联立消元，得到电压、电流各自的波动方程：

$$\frac{d^{2}V(z)}{d{z}^2}-{\gamma }^{2}V(z)=0,\text{\hspace{1em}(2.4a)}$$

其中复传播常数（propagation constant）为：

$$\gamma =\alpha +j\beta =\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}\text{\hspace{1em}(2.5)}$$

其通解是一对反向行波：

$$V(z)=V_o^{+}{e}^{-\gamma z}+V_o^{-}{e}^{\gamma z},\text{\hspace{1em}(2.6a)}$$

$e^{-\gamma z}$ 项沿 $+z$ 方向传播，$e^{\gamma z}$ 项沿 $-z$ 方向传播；$\alpha$ 是衰减常数，$\beta$ 是相位常数。把 (2.6a) 代回 (2.3a) 可解出电流，并由此定义特性阻抗（characteristic impedance）：

$$Z_0=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}},\text{\hspace{1em}(2.7)}$$

它把同一方向行波的张力和电流锁定为 $V_o^{+}/I_o^{+}=Z_0$（注意反向波的电流比带负号，因为电流方向约定相反）。回到时域，波形即 (2.9) 的形式；线上的波长与相速度（phase velocity）为：

$$\lambda =\frac{2\pi }{\beta },\text{\hspace{1em}(2.10)}$$ $$v_p=\frac{\omega }{\beta }=\lambda f.\text{\hspace{1em}(2.11)}$$

无耗线（lossless line）

实际射频/微波线的损耗通常很小，令 $R=G=0$，结果大幅简化：

$$\beta =\omega \sqrt{LC},\text{\hspace{1em}(2.12a)}$$ $$Z_0=\sqrt{\frac{L}{C}},\text{\hspace{1em}(2.13)}$$ $$v_p=\frac{1}{\sqrt{LC}}.\text{\hspace{1em}(2.16)}$$

$\alpha =0$，$Z_0$ 变成实数——这意味着线上任意一点向行波看去的电压电流比是一个纯电阻。后续几节几乎都建立在无耗假设上。

记住这三个无耗结果

$\beta =\omega \sqrt{LC}$、$Z_0=\sqrt{L/C}$、$v_p=1/\sqrt{LC}$ 是本章使用频率最高的公式。几乎所有匹配、反射问题的计算都先做”无耗近似”，再视需要补上损耗修正（见 2.7 节）。

2.2 传输线的场分析

电路模型不是凭空捏造的——四个参量都可以从场论严格导出。对 1 m 长的均匀线，令线上电压为 $V_o{e}^{\pm j\beta z}$、电流为 $I_o{e}^{\pm j\beta z}$，用场储能和场损耗与电路理论表达式”对账”，即得：

$$L=\frac{\mu }{|I_o{|}^2}{\int }_S\bar{H}\cdot {\bar{H}}^{\ast }ds\text{H/m},\text{\hspace{1em}(2.17)}$$ $$C=\frac{ϵ}{|V_o{|}^2}{\int }_S\bar{E}\cdot {\bar{E}}^{\ast }ds\text{F/m},\text{\hspace{1em}(2.18)}$$ $$R=\frac{R_s}{|I_o{|}^2}{\int }_{C_1+C_2}\bar{H}\cdot {\bar{H}}^{\ast }dl\Omega /\text{m},\text{\hspace{1em}(2.19)}$$ $$G=\frac{\omega {ϵ}^{\prime \prime }}{|V_o{|}^2}{\int }_S\bar{E}\cdot {\bar{E}}^{\ast }ds\text{S/m}.\text{\hspace{1em}(2.20)}$$

直觉解读：磁场越强的区域贡献电感，电场越强的区域贡献电容，导体表面切向磁场贡献导体损耗（$R_s=1/\sigma {\delta }_s$ 为表面电阻），复介电常数虚部贡献介质损耗。

对同轴线（内半径 $a$、外半径 $b$）代入 TEM 场表达式积分，得 $L=\frac{\mu }{2\pi }\ln b/a$、$C=\frac{2\pi {ϵ}^{\prime }}{\ln b/a}$ 等。常见三种线的参数汇总如下：

参量	同轴线（COAX）	双线（TWO-WIRE）	平行板（PARALLEL PLATE）
L	$\frac{\mu }{2\pi }\ln \frac{b}{a}$	$\frac{\mu }{\pi }{\cosh }^{-1}\left(\frac{D}{2a}\right)$	$\frac{\mu d}{w}$
C	$\frac{2\pi {ϵ}^{\prime }}{\ln b/a}$	$\frac{\pi {ϵ}^{\prime }}{{\cosh }^{-1}(D/2a)}$	$\frac{{ϵ}^{\prime }w}{d}$
R	$\frac{R_s}{2\pi }\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$	$\frac{R_s}{\pi a}$	$\frac{2R_s}{w}$
G	$\frac{2\pi \omega {ϵ}^{\prime \prime }}{\ln b/a}$	$\frac{\pi \omega {ϵ}^{\prime \prime }}{{\cosh }^{-1}(D/2a)}$	$\frac{\omega {ϵ}^{\prime \prime }w}{d}$

对同轴线直接从麦克斯韦方程出发（TEM 波满足 $E_z=H_z=0$），可重新推出电报方程 (2.28)，说明电路观点与场观点殊途同归。更有用的是两个场论结论：TEM 线的波阻抗 $Z_w=E_{\rho }/H_{\varphi }$ 恰好等于介质的本征阻抗 $\eta$；而功率流

$$P=\frac{1}{2}{\int }_s\bar{E}\times {\bar{H}}^{\ast }\cdot d\bar{s}=\frac{1}{2}{V}_o{I}_o^{\ast },\text{\hspace{1em}(2.33)}$$

与电路理论完全一致。

功率不走在导线里

(2.33) 揭示了一个反直觉的事实：传输线中的功率完全通过两导体之间的电磁场流动，而不是”在导线内部”传输。进入导体的功率（因电导率有限）全部变成热耗散，不会送达负载。理解这一点，才能真正理解为什么”导线”在高频下 behaving 像一条波导。

2.3 端接负载的无耗传输线

现在进入全章最核心的场景：特性阻抗 $Z_0$ 的无耗线末端接任意负载 $Z_L$。

入射波 $V_o^{+}{e}^{-j\beta z}$ 单独存在时，电压电流比是 $Z_0$；但负载处必须满足 $V(0)/I(0)=Z_L$。若 $Z_L\ne Z_0$，唯一的出路是激发一个反射波来凑数。在 $z=0$ 处联立求解，得电压反射系数（voltage reflection coefficient）：

$$\Gamma =\frac{V_o^{-}}{V_o^{+}}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}.\text{\hspace{1em}(2.35)}$$

白话版：反射系数度量”负载有多不匹配”。$Z_L=Z_0$ 时 $\Gamma =0$（匹配，matched，无反射）；纯短路 $\Gamma =-1$；纯开路 $\Gamma =+1$；纯电抗负载时 $|\Gamma |=1$（全反射，只差相位）。

线上总电压、总电流是两列行波的叠加：

$$V(z)=V_o^{+}(e^{-j\beta z}+\Gamma e^{j\beta z}),\text{\hspace{1em}(2.36a)}$$ $$I(z)=\frac{V_o^{+}}{Z_0}(e^{-j\beta z}-\Gamma e^{j\beta z}).\text{\hspace{1em}(2.36b)}$$

功率、回波损耗与驻波

对无耗线，任一点的时间平均功率流恒定：

$$P_{\mathrm{avg}}=\frac{1}{2}\frac{|V_o^{+}{|}^2}{Z_0}(1-|\Gamma {|}^2),\text{\hspace{1em}(2.37)}$$

即入射功率减去反射功率。失配造成的”损失”用**回波损耗（return loss, RL）**表示：

$$\mathrm{RL}=-20\log |\Gamma |\mathrm{dB},\text{\hspace{1em}(2.38)}$$

匹配时 RL = ∞ dB（零反射），全反射时 RL = 0 dB。注意无源网络的 RL 恒为非负数。

失配时线上电压幅值随位置振荡（驻波）。令 $\Gamma =|\Gamma |e^{j\theta }$、$\ell =-z$ 为到负载的距离，电压最大值、最小值为：

$$V_{\max }=|V_o^{+}|(1+|\Gamma |),\text{\hspace{1em}(2.40a)}$$ $$V_{\min }=|V_o^{+}|(1-|\Gamma |).\text{\hspace{1em}(2.40b)}$$

二者之比定义驻波比（standing wave ratio, SWR / VSWR）：

$$\mathrm{SWR}=\frac{V_{\max }}{V_{\min }}=\frac{1+|\Gamma |}{1-|\Gamma |}.\text{\hspace{1em}(2.41)}$$

SWR 是 $1\le \mathrm{SWR}\le \infty$ 的实数，SWR = 1 即匹配。几何关系要记牢：相邻两个电压最大值（或最小值）相距 $\lambda /2$，而相邻的最大值与最小值相距 $\lambda /4$。

反射系数可推广到线上任意位置——离负载 $\ell$ 处：

$$\Gamma (\ell )=\Gamma (0)e^{-2j\beta \ell },\text{\hspace{1em}(2.42)}$$

模不变，只随距离转相位。由此得到传输线阻抗方程（本章最重要的公式之一）：距负载 $\ell$ 处向负载看去的输入阻抗为

$$Z_{\mathrm{in}}=Z_0\frac{Z_L+j{Z}_0\tan \beta \ell }{Z_0+j{Z}_L\tan \beta \ell }.\text{\hspace{1em}(2.44)}$$

几个必须刻在脑子里的特例

端接情况	反射系数	输入阻抗	要点
短路 $Z_L=0$	$\Gamma =-1$	$Z_{\mathrm{in}}=j{Z}_0\tan \beta \ell$ (2.45c)	纯电抗，长度取值可扫遍 $\pm j\infty$
开路 $Z_L=\infty$	$\Gamma =+1$	$Z_{\mathrm{in}}=-j{Z}_0\cot \beta \ell$ (2.46c)	同样纯电抗
半波长 $\ell =\lambda /2$	—	$Z_{\mathrm{in}}=Z_L$ (2.47)	负载”原样搬运”，与 $Z_0$ 无关
四分之一波长 $\ell =\lambda /4$	—	$Z_{\mathrm{in}}=Z_0^2/Z_L$ (2.48)	阻抗倒置，即四分之一波长变换器

当 $Z_0$ 线馈入另一条 $Z_1$ 线（且后者无反射，如无限长或端接 $Z_1$）时，接头处的反射与透射系数为：

$$\Gamma =\frac{Z_1-Z_0}{Z_1+Z_0},\text{\hspace{1em}(2.49)}$$ $$T=1+\Gamma =\frac{2Z_1}{Z_1+Z_0}.\text{\hspace{1em}(2.51)}$$

透射系数用 dB 表示即插入损耗（insertion loss, IL）：$\mathrm{IL}=-20\log |T|$ dB。

半波长线与四分之一波长线是两把"瑞士军刀"

半波长线把负载阻抗原封不动搬到输入端——调试时常用它把”够不着”的参考面平移过来；四分之一波长线把阻抗倒置（$Z_0^2/Z_L$）——它是 2.5 节匹配变换器和 2.4 节阻抗/导纳互换（$z_{\mathrm{in}}=1/z_L$）的全部原理。记熟这两个特例，很多问题可以口算。

背景知识：分贝（dB）与奈培（Np）。功率比用 $10\log (P_1/P_2)$ dB 表示，级联系统的增益/损耗可直接相加；等阻抗下电压比对应 $20\log (V_1/V_2)$ dB。绝对功率以 1 mW 为参考即 dBm（1 mW = 0 dBm，1 W = 30 dBm）。奈培用自然对数定义，换算关系为 $1\mathrm{Np}=8.686\mathrm{dB}$。

反射系数的"相位"与"位置"必须配套使用

初学者最常犯的错误是把负载处的 $\Gamma (0)$ 直接拿来算输入阻抗，忘了乘 $e^{-2j\beta \ell }$ 的相位旋转 (2.42)。$\Gamma$ 是复数——离开负载每走 $\lambda /2$ 它转一整圈；位置不同，同一个负载”看过去”的阻抗完全不同。计算 $Z_{\mathrm{in}}$ 时永远先问自己：这个 $\Gamma$ 是在哪一个参考面上定义的？

2.4 Smith 圆图

**Smith 圆图（Smith chart）**是解决传输线问题的图形化工具，1939 年由贝尔实验室的 P. Smith 提出。它在 CAD 和矢量网络分析仪里无处不在，更重要的是：它提供了一种”用眼睛思考”传输线问题的直觉。

圆图的本体是 Γ 的极坐标图

Smith 圆图的本质是反射系数的极坐标图：模 $|\Gamma |$（≤ 1）是从圆心出发的半径，相角 $\theta$ 从右侧水平轴逆时针度量。任何无源负载都对应图上一个唯一点。

圆图的实用价值在于把 $\Gamma$ 与归一化阻抗 $z=Z/Z_0$ 互相对应。从

$$\Gamma =\frac{z_L-1}{z_L+1},\text{\hspace{1em}(2.53)}$$

反解并把实虚部分离，可整理成两个圆族方程：

$${\left({\Gamma }_r-\frac{r_L}{1+r_L}\right)}^2+{\Gamma }_i^2={\left(\frac{1}{1+r_L}\right)}^2,\text{\hspace{1em}(2.56a)}$$ $$({\Gamma }_r-1{)}^2+{\left({\Gamma }_i-\frac{1}{x_L}\right)}^2={\left(\frac{1}{x_L}\right)}^2,\text{\hspace{1em}(2.56b)}$$

(2.56a) 是等电阻圆族（圆心都在水平轴上，都过图右侧 $\Gamma =1$ 点），(2.56b) 是等电抗圆族（圆心都在 ${\Gamma }_r=1$ 竖直线上），两族正交。例如 $r=1$ 的圆过图中心。

沿线移动 = 绕圆心旋转

输入阻抗方程 (2.44) 与 (2.54) 形式相同、只差相位因子，所以：

$$Z_{\mathrm{in}}=Z_0\frac{1+\Gamma e^{-2j\beta \ell }}{1-\Gamma e^{-2j\beta \ell }},\text{\hspace{1em}(2.57)}$$

把负载点沿等 $|\Gamma |$ 圆顺时针（向电源/generator 方向）旋转 $2\beta \ell$，就得到输入阻抗。圆图外围的波长刻度覆盖 0–0.5λ，正好体现线上现象以 $\lambda /2$ 为周期的性质。

例 2.2 思路复述：$Z_L=40+j70\Omega$ 端接 $100\Omega$ 线、线长 0.3λ。归一化 $z_L=0.4+j0.7$ 画到图上，用圆图下方刻度读出 $|\Gamma |=0.59$、相角 $104°$、SWR = 3.87、RL = 4.6 dB；再画 SWR 圆，从负载的 WTG（toward generator，向电源）刻度位置 0.106λ 前进 0.3λ，与 SWR 圆的交点即归一化输入阻抗 $z_{\mathrm{in}}=0.365-j0.611$，还原得 $Z_{\mathrm{in}}=36.5-j61.1\Omega$。

阻抗—导纳合体圆图（ZY 圆图)

利用”四分之一波长旋转 = 关于圆心成像”的性质，把任一阻抗点转 $180°$ 即得归一化导纳 $y=1/z$。把阻抗刻度与旋转 180° 后的导纳刻度叠印在同一张图上，就是 ZY 圆图：解匹配问题时可在阻抗面与导纳面之间随意切换而无需换图。

开槽线：老一辈测量阻抗的方法

**开槽线（slotted line）**沿线上方开槽，用探针采样驻波场强，可测出 SWR 与负载到第一个电压最小点的距离 ${\ell }_{\min }$——两个量正好确定复阻抗的两个自由度：

$$|\Gamma |=\frac{\mathrm{SWR}-1}{\mathrm{SWR}+1},\text{\hspace{1em}(2.58)}$$ $$\theta =\pi +2\beta {\ell }_{\min },\text{\hspace{1em}(2.59)}$$ $$Z_L=Z_0\frac{1+\Gamma }{1-\Gamma }.\text{\hspace{1em}(2.60)}$$

例 2.4 的两步法值得一读：先短路负载、记录尖锐的驻波最小点位置（定出 λ 与等效负载面），再接未知负载、测 SWR 与最小点位移。用圆图做则更直观：从”电压最小点”（图左侧横轴上）沿 SWR 圆逆时针退 ${\ell }_{\min }$ 对应的波长数，就落在负载阻抗点上。如今开槽线已被矢量网络分析仪取代，但它仍是理解驻波概念的最佳教具。

2.5 四分之一波长变换器

**四分之一波长变换器（quarter-wave transformer）**是最优雅的匹配电路：用一段长度 $\lambda /4$、特性阻抗 $Z_1$ 的无耗线，把实数负载 $R_L$ 匹配到 $Z_0$ 馈线。

阻抗观点

令 (2.44) 中 $\beta \ell \to \pi /2$（即线长 λ/4），得输入阻抗 $Z_{\mathrm{in}}=Z_1^2/R_L$。要匹配则需 $Z_{\mathrm{in}}=Z_0$，解出：

$$Z_1=\sqrt{Z_0{R}_L},\text{\hspace{1em}(2.63)}$$

即 $Z_1$ 取负载与馈线阻抗的几何平均。此时馈线上 SWR = 1 完全无驻波，但匹配段内部仍有驻波；且匹配只在 $f_0$（线长恰为 λ/4 的频率）成立，偏离即失配。

多重反射观点

同一结论还能从”波来回弹跳”的图像推出。定义三处部分反射系数：${\Gamma }_1$（$Z_0$ 线看 $Z_1$）、${\Gamma }_2$（$Z_1$ 线看 $Z_0$，恰为 $-{\Gamma }_1$）、${\Gamma }_3$（$Z_1$ 线看 $R_L$），以及两个透射系数 $T_1,T_2$。

波每在匹配段打一个来回就积累 $180°$ 相移，总反射系数是无穷级数：

$$\Gamma ={\Gamma }_1-T_1{T}_2{\Gamma }_3\sum _{n=0}^{\infty }(-{\Gamma }_2{\Gamma }_3{)}^n,\text{\hspace{1em}(2.65)}$$

用等比级数求和并代入各系数化简，分子正比于 $Z_1^2-Z_0{R}_L$——取 $Z_1=\sqrt{Z_0{R}_L}$ 时总反射严格为零。

两种观点殊途同归

阻抗观点快而实用（一行公式出设计值）；多重反射观点深而本质——它告诉你”匹配”不是反射消失了，而是无穷多次部分反射的相干叠加恰好抵消为零。稳态下，匹配段内无穷列同向行波可合并为两列反向行波。这个”多重反射求和”的套路在 2.6 节和第 5 章多节变换器中会反复出现。

2.6 发生器与负载双失配

前几节都假设源端匹配。一般情形下源阻抗 $Z_g$ 与负载 $Z_{\ell }$ 都可以失配，线长 $\ell$、特性阻抗 $Z_0$。

从源端向端接线看去的输入阻抗仍是 (2.67)（形式同 2.44），线上电压入射波幅为：

$$V_o^{+}=V_g\frac{Z_0}{Z_0+Z_g}\frac{e^{-j\beta \ell }}{\left(1-{\Gamma }_{\ell }{\Gamma }_g{e}^{-2j\beta \ell }\right)},\text{\hspace{1em}(2.71)}$$

分母中的 ${\Gamma }_{\ell }{\Gamma }_g{e}^{-2j\beta \ell }$ 正是无穷次来回反射的痕迹。送到负载的功率为：

$$P=\frac{1}{2}|V_g{|}^2\frac{R_{\mathrm{in}}}{(R_{\mathrm{in}}+R_g{)}^2+(X_{\mathrm{in}}+X_g{)}^2}.\text{\hspace{1em}(2.75)}$$

固定 $Z_g$，对 $R_{\mathrm{in}},X_{\mathrm{in}}$ 分别求极值，得到三种匹配策略：

策略	条件	线上状态	特点
负载匹配到线	$Z_{\ell }=Z_0$	SWR = 1，平坦	未必对源输出最大功率
源匹配到带载线	$Z_{\mathrm{in}}=Z_g$	总反射 Γ = 0，但线上可有驻波	功率可能比上一种还小
共轭匹配	$Z_{\mathrm{in}}=Z_g^{\ast }$	Γ、Γℓ、Γg 均可非零	送到负载的功率最大 (2.81)

**共轭匹配（conjugate matching）**的结果是：

Z _ {\mathrm {in}} = Z _ {g} ^ {*,\tag{2.80} $$P=\frac{1}{2}|V_g{|}^2\frac{1}{4R_g},\text{\hspace{1em}(2.81)}$$

即源能输出的最大可用功率。

"零反射"≠"最大功率"≠"高效率"

三个目标并不等价：共轭匹配下线上完全可以存在驻波（${\Gamma }_{\ell }\ne 0$），多次反射可以同相叠加反而送出更多功率；反过来，源、负载都等于 $Z_0$ 时系统零反射、绝对”干净”，但源内阻和负载平分功率，传输效率只有 50%——想提效率只能减小 $Z_g$。设计时要先想清楚优化目标究竟是反射、功率还是效率。

2.7 有耗传输线

实际线的损耗来自导体有限电导与介质损耗，通常很小，但不能总忽略（衰减、噪声、谐振器 Q 值都依赖它）。

低损耗近似

对 $R\ll \omega L$、$G\ll \omega C$ 的低损耗线（low-loss line），把 (2.5) 做泰勒展开取前两项：

$$\alpha \simeq \frac{1}{2}\left(\frac{R}{Z_0}+G{Z}_0\right),\text{\hspace{1em}(2.85a)}$$ $$\beta \simeq \omega \sqrt{LC},\text{\hspace{1em}(2.85b)}$$ $$Z_0\simeq \sqrt{\frac{L}{C}}.\text{\hspace{1em}(2.86)}$$

结论非常友好：低损耗线的 $\beta$ 与 $Z_0$ 直接沿用无耗结果即可，只有衰减 $\alpha$ 需要修正。第一项 $R/2Z_0$ 是导体损耗贡献，第二项 $G{Z}_0/2$ 是介质损耗贡献。

无畸变线

一般有耗线的 β 不是频率的线性函数，宽频信号的各频率分量相速不同，到达时间错开——这就是**色散（dispersion）**畸变。唯一例外是满足

$$\frac{R}{L}=\frac{G}{C}\text{\hspace{1em}(2.87)}$$

的无畸变线（distortionless line）：此时 $\gamma =R\sqrt{C/L}+j\omega \sqrt{LC}$，β 严格线性、α 与频率无关，脉冲包络可以无畸变传输（但仍有衰减）。这归功于 Heaviside；实际实现常需沿线周期性加加载线圈来增大 L。

端接有耗线与微扰法

有耗线的反射系数沿-distance 衰减得更快：

$$\Gamma (\ell )=\Gamma e^{-2\gamma \ell },\text{\hspace{1em}(2.90)}$$

输入阻抗则把 $\tan$ 换成 $\tanh$：

$$Z_{\mathrm{in}}=Z_0\frac{Z_L+Z_0\tanh \gamma \ell }{Z_0+Z_L\tanh \gamma \ell }.\text{\hspace{1em}(2.91)}$$

由 (2.94) 可见，入射波与反射波都随 α 增大而损耗更多——反射波还得额外多走来回的路。

计算衰减的标准套路是微扰法（perturbation method）：假设有耗线的场与无耗线几乎相同，则

$$\alpha =\frac{P_{\ell }(z=0)}{2P_o},\text{\hspace{1em}(2.96)}$$

即”单位长度损耗功率除以两倍线上功率”。$P_{\ell }$ 用无耗场分别按导体损耗和介质损耗公式积分即可。例 2.7 对同轴线算出 ${\alpha }_c=\frac{R_s}{2\eta \ln b/a}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{\omega {ϵ}^{\prime \prime }\eta }{2}$，与用 L、C、R、G 参数法（例 2.6）结果一致。

对 TEM / 准 TEM 线的导体损耗，还有一个纯”电路参数”的利器——Wheeler 增量电感规则（incremental inductance rule）：

$${\alpha }_c=\frac{\beta {\delta }_s}{4Z_0}\frac{d{Z}_0}{d\ell }=\frac{R_s}{2Z_0\eta }\frac{d{Z}_0}{d\ell },\text{\hspace{1em}(2.106)}$$

只需知道 $Z_0$ 对导体边界尺寸的导数：让所有导体壁向内退 ${\delta }_s/2$，看 $Z_0$ 变多少。例 2.8 用它一步得到与微扰法相同的同轴线 ${\alpha }_c$。

最后别忘了现实：实测衰减总比理论高，主要元凶是导体表面粗糙度（surface roughness），工程上用准经验公式 (2.107) 修正——粗糙度 Δ 越接近趋肤深度 ${\delta }_s$，损耗放大越明显。这提醒我们高频 PCB 为什么都追求”低粗糙度铜箔”。

2.8 传输线上的瞬态

前面全是单频稳态。当短线脉冲（如数字信号）沿线传播时，需要回到时域看瞬态（transients）。

阶跃源接入的三种端接

开关在 $t=0$ 闭合，源阻抗 $Z_g=Z_0$。在波还没跑完一个来回之前（$t<2\ell /v_p$），线的输入阻抗”看起来”就是 $Z_0$——有限传播时间是瞬态分析的灵魂。于是分压得初始入射脉冲幅度 $V_0/2$，以 $v_p$ 向负载前进：

• 匹配负载（${\Gamma }_L=0$）：脉冲被负载完全吸收，$t>\ell /v_p$ 后全线稳定在 $V_0/2$，与直流分压直觉一致；
• 短路负载（${\Gamma }_L=-1$）：反射脉冲反相弹回，与前行波叠加相消，回到源后被匹配源吸收，稳态全线为零；
• 开路负载（${\Gamma }_L=+1$）：反射脉冲同相弹回，叠加把全线抬到 $V_0$，稳态即源电压。

短路情形下线上各点只在一个时间窗内出现幅度 $V_0/2$ 的矩形脉冲——实际中可用这招产生极短脉冲。

弹跳图（bounce diagram）

弹跳图把时间画成纵轴、位置画成横轴，用斜线表示脉冲的每次往返，线上标注每次反射后的幅度。任一时刻、任一位置的总电压 = 把穿过该 $(z,t)$ 点竖直线的所有射线幅度相加。

例 2.9 思路复述：$V_g=12\text{V}$、$Z_g=50\Omega$、$Z_0=100\Omega$、$Z_L=200\Omega$。初始入射波按分压 $v^{+}=12\times \frac{100}{150}=8.0\text{V}$；两端反射系数 ${\Gamma }_g=-1/3$、${\Gamma }_L=1/3$，于是各次反射幅度依次为 $8/3\text{V}$、$-8/9\text{V}$、$-8/27\text{V}$……幅度几何衰减，最终稳态趋向直流分压值。

稳态与瞬态是同一枚硬币的两面

弹跳图的无穷射线求和，收敛后正好给出频域法算出的稳态解；而频域的反射系数 $\Gamma$，在时域里就是”每次到达边界乘上 ${\Gamma }_L$（或 ${\Gamma }_g$）再反/同相弹回”。数字电路工程师谈的”振铃（ringing）“、信号完整性里的过冲，全是本章双失配瞬态的现实版本。

全章小结

• 何时必须用分布理论：元件尺寸与波长可比拟时，电压电流不再沿线恒定。
• 一组方程：电报方程联系 V 与 I 沿线的变化；无耗解是双向行波叠加。
• 一个核心现象：$Z_L\ne Z_0$ 必然产生反射；$\Gamma =\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}$ 唯一确定 SWR、回波损耗与驻波分布。
• 一件图形工具：Smith 圆图 = Γ 极坐标图 + 阻抗/导纳圆族 + 波长刻度；沿线移动即绕圆心顺时针旋转。
• 一段神奇短线：λ/4 线实现阻抗倒置与几何平均匹配；λ/2 线原样搬运阻抗。
• 两套损耗工具：低损耗近似 (2.85) 与微扰法 / Wheeler 增量电感规则。
• 一个时域视角：瞬态分析的关键是有限传播时间 + 边界反射系数，弹跳图是它的图形语言。

自测题（附答案解析）

1. 无耗线的 $L=0.5\mu \text{H/m}$、$C=200\text{pF/m}$，求 $Z_0$、$v_p$ 和 1 GHz 时的波长。 解析：$Z_0=\sqrt{L/C}=\sqrt{0.5\times 10^{-6}/200\times 10^{-12}}=50\Omega$；$v_p=1/\sqrt{LC}=1/\sqrt{10^{-16}}=10^8\text{m/s}$；$\lambda =v_p/f=0.1\text{m}$。

2. $50\Omega$ 线端接 $Z_L=100\Omega$，求 $\Gamma$、SWR、回波损耗，以及负载处反射功率占入射功率的比例。 解析：$\Gamma =(100-50)/(100+50)=1/3$；$\mathrm{SWR}=(1+1/3)/(1-1/3)=2$；$\mathrm{RL}=-20\log (1/3)=9.54\text{dB}$；反射功率占比 $=|\Gamma {|}^2=1/9\approx 11.1\%$。

3. 为什么短路线的输入阻抗在 $\ell =\lambda /4$ 时变为无穷大？这有什么用途？ 解析：$Z_{\mathrm{in}}=j{Z}_0\tan \beta \ell$，$\beta \ell =\pi /2$ 时 $\tan \to \infty$。λ/4 短路线在输入端呈现开路，可作射频”直流通路/交流断路”的偏置扼流支路；同理 λ/4 开路线呈现短路，可做并联谐振滤波。

4. 用 $Z_0=50\Omega$ 的四分之一波长变换器把 $R_L=75\Omega$ 匹配到 50 Ω 馈线，$Z_1$ 应取多少？该匹配在偏离 $f_0$ 时如何变化？ 解析：$Z_1=\sqrt{50\times 75}=61.2\Omega$。只在 $f_0$ 处完美匹配；频率偏离时 $\beta \ell \ne \pi /2$，$|\Gamma |$ 随 $f/f_0$ 偏离而增大（带宽有限，第 5 章讲多节展宽）。

5. 端接任意负载的 0.2λ 无耗线，负载处 ${\Gamma }_L=0.5\angle 0°$。求输入端反射系数的模与相角，并说明 SWR 沿线如何变化。 解析：$|\Gamma |$ 沿无耗线不变，仍为 0.5；相角 ${\theta }_{\mathrm{in}}=0°-2\beta \ell =-2\times \frac{2\pi }{\lambda }\times 0.2\lambda =-144°$（即 $216°$）。SWR 由 $|\Gamma |$ 唯一决定 $=(1+0.5)/(1-0.5)=3$，沿线处处相同——变化的是阻抗点的位置，不是 SWR。