第01章 电磁理论：麦克斯韦到平面波

这一篇在干嘛？

这一章是整本《微波工程》的地基：我们把麦克斯韦方程组请出来，说清楚它在媒质里长什么样、在边界上要满足什么条件，然后求解最简单的波——平面波。看完你会明白为什么微波频段”电路理论不够用”，以及反射系数、趋肤深度这些日后反复出现的概念到底从哪来。

1.1 微波工程引论

射频（RF, Radio Frequency）与微波工程一般研究频率从 100 MHz 到 1000 GHz 的交变信号。通常说的”微波”指 3–300 GHz 的频段，对应波长 10 cm 到 1 mm；波长在毫米量级的信号也叫毫米波（millimeter waves）。

为什么微波频段不能直接用集总电路理论？ 因为器件的物理尺寸和电波长（electrical wavelength）处于同一量级：电压和电流的相位沿器件的延伸方向发生显著变化，器件成了”分布元件”（distributed elements）。频率再低，波长太大，器件上相位几乎不变——那是电路理论的地盘；频率再高（光频），波长比器件小得多——那是几何光学的地盘。微波正好卡在中间，必须动用麦克斯韦方程组。

原书给出了常见频段的划分与典型用途，挑核心摘成下表：

典型系统	频率	频段命名	频率范围
AM 广播	535–1605 kHz	中频 MF	300 kHz–3 MHz
FM 广播	88–108 MHz	甚高频 VHF	30–300 MHz
UHF 电视	470–890 MHz	特高频 UHF	300 MHz–3 GHz
GSM 手机（欧）	880–960 MHz	L 频段	1–2 GHz
微波炉	2.45 GHz	S 频段	2–4 GHz
ISM 频段	2.400–2.484 / 5.725–5.850 GHz	C 频段	4–8 GHz
GPS	1575.42 / 1227.60 MHz	X 频段	8–12 GHz
DBS 卫星电视	11.7–12.5 GHz	Ku 频段	12–18 GHz
UWB 超宽带	3.1–10.6 GHz	K 频段	18–26 GHz
—	—	Ka 频段	26–40 GHz

微波频段的独特优势（也是应用切入点）：

• 天线增益正比于天线的电尺寸，频率越高，同尺寸天线增益越高；
• 带宽更大：60 GHz 处 1% 相对带宽就有 600 MHz，数据率可达 600 Mbps；
• 微波沿视距（line of sight）传播、不被电离层反射，适合卫星通信与频率复用；
• 雷达目标的有效反射面积（radar cross section）正比于目标电尺寸，所以雷达偏爱微波；
• 许多分子/原子/核共振落在微波段，可用于遥感、加热、医疗等。

一段简史：1873 年麦克斯韦（Maxwell）从纯数学推理出发预言了电磁波；1885–1887 年海维塞德（Heaviside）把它整理成现代矢量形式；1887–1891 年赫兹（Hertz）用实验证实了电磁波的存在。真正的大发展发生在二战期间的雷达研发——MIT 辐射实验室聚集了一批顶尖物理学家（Schwinger、Bethe、Purcell 等），其成果汇总为经典的 28 卷 Radiation Laboratory Series，至今仍有参考价值。此后微波通信、卫星、蜂窝电话一路发展，今天无线连接已经”任何人、任何地点、任何时间”。

口诀

记住主线：“高频率 → 波长短 → 器件尺寸可与波长比拟 → 集总近似失效 → 必须回到场的观点”。本章之后所有的传输线、波导、网络分析，本质上都是把场理论的解”降维”回可操作的电路概念（反射系数、阻抗、S 参数）。

1.2 麦克斯韦方程组

宏观电磁现象由麦克斯韦方程组（Maxwell’s equations）描述。时变形式的微分（点）形式为：

$$\nabla \times \bar{\mathcal{E}}=-\frac{\partial \bar{\mathcal{B}}}{\partial t}-\bar{\mathcal{M}},\text{\hspace{1em}(1.1a)}$$ $$\nabla \times \bar{\mathcal{H}}=\frac{\partial \bar{\mathcal{D}}}{\partial t}+\bar{\mathcal{J}},\text{\hspace{1em}(1.1b)}$$ $$\nabla \cdot \bar{\mathcal{D}}=\rho ,\text{\hspace{1em}(1.1c)}$$ $$\nabla \cdot \bar{\mathcal{B}}=0.\text{\hspace{1em}(1.1d)}$$

逐个符号认识一下（全书用 MKS 单位制，手写体字母表示随时间变化的实矢量场）：

• $\bar{\mathcal{E}}$：电场强度（electric field），单位 V/m；
• $\bar{\mathcal{H}}$：磁场强度（magnetic field），单位 A/m；
• $\bar{\mathcal{D}}$：电通密度（electric flux density），单位 C/m²；
• $\bar{\mathcal{B}}$：磁通密度（magnetic flux density），单位 Wb/m²；
• $\bar{\mathcal{M}}$：磁流密度（magnetic current density），单位 V/m²——注意这是虚构源，真实世界里不存在磁单极子，它只是数学上的便利（第 4 章处理孔径耦合时会用到）；
• $\bar{\mathcal{J}}$：电流密度，单位 A/m²；
• $\rho$：电荷密度，单位 C/m³。

自由空间中场强与通密度之间有简单关系：

$$\bar{\mathcal{B}}={\mu }_0\bar{\mathcal{H}},\text{\hspace{1em}(1.2a)}$$ $$\bar{\mathcal{D}}={ϵ}_0\bar{\mathcal{E}},\text{\hspace{1em}(1.2b)}$$

其中 ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}$ H/m 是自由空间磁导率，${ϵ}_0=8.854\times 10^{-12}$ F/m 是自由空间介电常数。

这四个方程并非彼此独立。对 (1.1a) 两边取散度，利用”旋度的散度恒为零”，可得 $\nabla \cdot \bar{\mathcal{B}}=0$，即 (1.1d)；对 (1.1b) 取散度则得到连续性方程（continuity equation）：

$$\nabla \cdot \bar{\mathcal{J}}+\frac{\partial \rho }{\partial t}=0,\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

它说的就是电荷守恒：某点电流流出越多，该点电荷积攒必然越快（符号相反）。正是这个结果让麦克斯韦意识到 (1.1b) 中必须补上位移电流项 $\partial \bar{\mathcal{D}}/\partial t$。

利用散度定理和斯托克斯定理，微分形式可以化为积分形式：高斯定律 ${\oint }_S\bar{\mathcal{D}}\cdot d\bar{s}=Q$（(1.4)）、磁高斯定律 ${\oint }_S\bar{\mathcal{B}}\cdot d\bar{s}=0$（(1.5)）、法拉第定律（(1.6)，去掉 $\bar{\mathcal{M}}$ 项就是基尔霍夫电压定律的场论根源）、安培定律（(1.7)）。

相量（phasor）记法：本书几乎所有工作都在正弦稳态下进行。约定所有场量为隐含 $e^{j\omega t}$ 时间因子的复矢量，用正体（而非手写体）字母书写。真实场由相量恢复：

$$\bar{\mathcal{E}}(x,y,z,t)=\mathrm{Re}\{\bar{E}(x,y,z)e^{j\omega t}\},\text{\hspace{1em}(1.10)}$$

即”相量乘 $e^{j\omega t}$ 再取实部”。在相量记法下，$\partial /\partial t$ 直接替换为 $j\omega$，麦克斯韦方程组变成更干净的代数-微分方程 (1.14a)–(1.14d)。此外，时间平均的二次量有个好用的结论：

$$|\bar{\mathcal{E}}{|}_{\text{avg}}^2=\frac{1}{2}\bar{E}\cdot {\bar{E}}^{\ast }=\frac{1}{2}|\bar{E}{|}^2,\text{\hspace{1em}(1.13)}$$

也就是均方根值 $|\bar{E}{|}_{\text{rms}}=|\bar{E}|/\sqrt{2}$——后续算功率时无处不在。

1.3 媒质中的场与边界条件

本构关系：把材料”塞进”方程

在电介质材料中，外加电场会使原子/分子极化，产生电极化矢量 ${\bar{P}}_e$，于是：

$$\bar{D}={ϵ}_0\bar{E}+{\bar{P}}_e.\text{\hspace{1em}(1.15)}$$

线性媒质中 ${\bar{P}}_e={ϵ}_0{\chi }_e\bar{E}$（${\chi }_e$ 为电极化率，electric susceptibility），代入得：

$$\bar{D}=ϵ\bar{E},ϵ={ϵ}^{\prime }-j{ϵ}^{\prime \prime }={ϵ}_0(1+{\chi }_e).\text{\hspace{1em}(1.17, 1.18)}$$

复介电常数 $ϵ$ 的虚部描述损耗：极化偶极子振动受阻尼，电能转成热。导电媒质里还有欧姆定律的场形式 $\bar{J}=\sigma \bar{E}$（(1.19)），代入 (1.14b) 后会发现介电阻尼损耗 $\omega {ϵ}^{\prime \prime }$ 与导电损耗 $\sigma$ 无法区分，二者合并成”总有效电导率”。由此定义损耗角正切（loss tangent）：

$$\tan \delta =\frac{\omega {ϵ}^{\prime \prime }+\sigma }{\omega {ϵ}^{\prime }},\text{\hspace{1em}(1.21)}$$

即总位移电流虚部与实部之比。微波材料通常用两个参数刻画：相对介电常数 ${ϵ}_r$ 和损耗角正切。一个常用技巧：先按无损解问题，最后把实 $ϵ$ 换成 $ϵ={ϵ}_0{ϵ}_r(1-j\tan \delta )$ 即可引入损耗。

易错点 1：复介电常数的符号约定

本书约定 $ϵ={ϵ}^{\prime }-j{ϵ}^{\prime \prime }$，虚部取负号、而 ${ϵ}^{\prime \prime }>0$，对应 $e^{j\omega t}$ 约定下的损耗。如果你读别的文献遇到 $ϵ={ϵ}^{\prime }+j{ϵ}^{\prime \prime }$ 还说无损耗，多半是它用了 $e^{-j\omega t}$ 约定。看到复介电常数，先确认时间约定，再谈虚部的物理意义，否则损耗的方向会算反。

磁场一侧完全对偶：磁化强度 ${\bar{P}}_m$ 导致 $\bar{B}=\mu \bar{H}$，$\mu ={\mu }_0(1+{\chi }_m)={\mu }^{\prime }-j{\mu }^{\prime \prime }$ 为复磁导率。磁材料同样可能各向异性（anisotropic）——$\bar{B}$ 与 $\bar{H}$ 不再同向，$\mu$ 变成张量（矩阵），典型例子是铁氧体（ferrites，第 9 章）。线性各向同性媒质下，相量形式的麦克斯韦方程组为：

$$\nabla \times \bar{E}=-j\omega \mu \bar{H}-\bar{M},\nabla \times \bar{H}=j\omega ϵ\bar{E}+\bar{J},\text{\hspace{1em}(1.27a, 1.27b)}$$

配套本构关系 $\bar{D}=ϵ\bar{E}$、$\bar{B}=\mu \bar{H}$。

边界条件：两块材料的”接缝处”发生什么

考虑两种媒质的平面分界面（图 1.5）。用积分形式的麦克斯韦方程组对界面附近取”药盒”闭合面和细矩形回路，可以推出最一般的边界条件：

$$\hat{n}\cdot ({\bar{D}}_2-{\bar{D}}_1)={\rho }_s,\hat{n}\cdot {\bar{B}}_2=\hat{n}\cdot {\bar{B}}_1,\text{\hspace{1em}(1.31, 1.32)}$$ $$({\bar{E}}_2-{\bar{E}}_1)\times \hat{n}={\bar{M}}_s,\hat{n}\times ({\bar{H}}_2-{\bar{H}}_1)={\bar{J}}_s.\text{\hspace{1em}(1.36, 1.37)}$$

白话版：$\bar{D}$ 的法向分量之差等于界面上的表面电荷密度 ${\rho }_s$；$\bar{B}$ 的法向分量永远连续（没有磁荷）；$\bar{E}$ 的切向分量之差等于表面磁流 ${\bar{M}}_s$；$\bar{H}$ 的切向分量之差等于表面电流 ${\bar{J}}_s$。

三种最重要的特例：

1. 理想介质界面（无自由电荷与表面电流）：$\bar{D}$、$\bar{B}$ 法向连续，$\bar{E}$、$\bar{H}$ 切向连续（式 1.38a–d）。
2. 理想导体表面（电壁，electric wall）：导体内部场为零，法线 $\hat{n}$ 指向导体外，则 $\hat{n}\cdot \bar{D}={\rho }_s$、$\hat{n}\times \bar{E}=0$、$\hat{n}\times \bar{H}={\bar{J}}_s$（式 1.39）。切向 $\bar{E}$ 被”短路”归零，故称电壁。
3. 磁壁（magnetic wall）：对偶条件，切向 $\bar{H}$ 归零。现实中不存在真正的磁壁，但它是开路传输线末端、某些平面传输线问题的有用近似——磁壁类比传输线开路端，电壁类比短路端。

易错点 2：边界条件不是全都要背、更不能全用

四个方程(1.38a–d)包含六个标量条件，但它们并非线性独立。实操中通常只强制切向 $\bar{E}$、$\bar{H}$ 连续，法向条件会自动满足。另外注意法向条件是关于 $\bar{D}$ 连续而不是 $\bar{E}$ 连续——两种介电常数不同的媒质界面上，$E_n$ 本来就会跳变，硬套”$E$ 法向连续”是初学最常见的错误。

1.4 波动方程与基本平面波解

亥姆霍兹方程

在无源、线性、各向同性、均匀区域，麦克斯韦两个旋度方程 (1.41a,b) 对 $\bar{E}$、$\bar{H}$ 各自求旋度、互相代入，并利用矢量恒等式 $\nabla \times \nabla \times \bar{A}=\nabla (\nabla \cdot \bar{A})-{\nabla }^2\bar{A}$，得到波动方程（亥姆霍兹方程，Helmholtz equation）：

$${\nabla }^2\bar{E}+{\omega }^2\mu ϵ\bar{E}=0,\text{\hspace{1em}(1.42)}$$

其中 $k=\omega \sqrt{\mu ϵ}$ 称为传播常数（phase constant / wave number），单位 1/m。

无损媒质中的平面波

设电场只有 $\hat{x}$ 分量、在 $x$、$y$ 方向均匀，(1.42) 退化为一维常微分方程，其解为：

$$E_x(z)=E^{+}{e}^{-jkz}+E^{-}{e}^{jkz},\text{\hspace{1em}(1.45)}$$

$E^{+}$、$E^{-}$ 是任意幅度常数。回到时域（(1.46)）可以看出：第一项 $\cos (\omega t-kz)$ 中，为保持相位点 $\omega t-kz$ = 常数，$t$ 增大时 $z$ 必须增大——这是 +z 方向传播的波；第二项同理是 −z 方向的波。波的相速度（phase velocity）：

$$v_p=\frac{\omega }{k}=\frac{1}{\sqrt{\mu ϵ}},\text{\hspace{1em}(1.47)}$$

自由空间中 $v_p=c=2.998\times 10^8$ m/s，正是光速。波长定义为同一时刻两个相邻波峰的间距：

$$\lambda =\frac{2\pi }{k}=\frac{v_p}{f}.\text{\hspace{1em}(1.48)}$$

配套磁场由 (1.41a) 求出：

$$H_y=\frac{1}{\eta }\left(E^{+}{e}^{-jkz}-E^{-}{e}^{jkz}\right),\eta =\sqrt{\frac{\mu }{ϵ}},\text{\hspace{1em}(1.49)}$$

$\eta$ 称为媒质的本征阻抗（intrinsic impedance），自由空间中 ${\eta }_0=377\Omega$。注意 $\bar{E}$、$\bar{H}$ 互相垂直，且都垂直于传播方向——这是横电磁波（TEM wave）的特征。

有损媒质与良导体

导电媒质（电导率 $\sigma$）中，波方程里 $k^2$ 被替换为 ${\omega }^2\mu ϵ(1-j\sigma /\omega ϵ)$，于是定义复传播常数：

$$\gamma =\alpha +j\beta =j\omega \sqrt{\mu ϵ}\sqrt{1-j\frac{\sigma }{\omega ϵ}},\text{\hspace{1em}(1.52)}$$

$\alpha$ 是衰减常数（attenuation constant），$\beta$ 是相位常数。此时解形如 $E^{+}{e}^{-\gamma z}=E^{+}{e}^{-\alpha z}{e}^{-j\beta z}$：波一边以 $v_p=\omega /\beta$ 传播，一边按 $e^{-\alpha z}$ 指数衰减。本征阻抗也变成复数 $\eta =j\omega \mu /\gamma$（(1.57)）。

良导体指 $\sigma \gg \omega ϵ$（传导电流远大于位移电流），多数金属都属此类。此时 (1.52) 近似为：

$$\gamma \simeq (1+j)\sqrt{\frac{\omega \mu \sigma }{2}},\text{\hspace{1em}(1.59)}$$

由此定义趋肤深度（skin depth）：

$${\delta }_s=\frac{1}{\alpha }=\sqrt{\frac{2}{\omega \mu \sigma }}.\text{\hspace{1em}(1.60)}$$

进入导体一个趋肤深度，场幅衰减到原来的 $1/e\approx 36.8\%$。10 GHz 时铜的趋肤深度仅 0.66 μm——所以微波器件只需镀一层很薄的良导体（银、金）就能实现低损耗。良导体的本征阻抗为 $\eta =(1+j)/\sigma {\delta }_s$，相位角恒为 45°。

原书表 1.1 对三种媒质的结果做了总结，转写如下：

物理量	无损媒质（${ϵ}^{\prime \prime }=\sigma =0$）	一般有损媒质	良导体（$\sigma \gg \omega {ϵ}^{\prime }$）
复传播常数	$\gamma =j\omega \sqrt{\mu ϵ}$	$\gamma =j\omega \sqrt{\mu ϵ}\sqrt{1-j\sigma /\omega {ϵ}^{\prime }}$	$\gamma =(1+j)\sqrt{\omega \mu \sigma /2}$
相位常数	$\beta =k=\omega \sqrt{\mu ϵ}$	$\beta =\mathrm{Im}\{\gamma \}$	$\beta =\sqrt{\omega \mu \sigma /2}$
衰减常数	$\alpha =0$	$\alpha =\mathrm{Re}\{\gamma \}$	$\alpha =\sqrt{\omega \mu \sigma /2}$
本征阻抗	$\eta =\sqrt{\mu /ϵ}$	$\eta =j\omega \mu /\gamma$	$\eta =(1+j)\sqrt{\omega \mu /2\sigma }$
趋肤深度	$\infty$	$1/\alpha$	$\sqrt{2/\omega \mu \sigma }$
波长 / 相速	$\lambda =2\pi /\beta$，$v_p=\omega /\beta$	同左	同左

记忆要点

无损：$\gamma$ 纯虚、$\eta$ 实数、$\bar{E}$ 与 $\bar{H}$ 同相；良导体：$\gamma =(1+j)/{\delta }_s$、$\eta$ 相位 45°、$\bar{E}$ 超前 $\bar{H}$ 45°。一般有损媒质介于两者之间——看一眼 $\eta$ 的相角（0° 到 45°）就能判断媒质”多损耗”。

1.5 一般平面波解与极化

分离变量法与波矢 $\bar{k}$

对自由空间亥姆霍兹方程 (1.62) 用分离变量法：设 $E_x(x,y,z)=f(x)g(y)h(z)$，每个单变量函数各自满足一个二阶常微分方程，分离常数满足：

$$k_x^2+k_y^2+k_z^2=k_0^2.\text{\hspace{1em}(1.67)}$$

定义波矢（wave number vector）$\bar{k}=k_0\hat{n}$（$\hat{n}$ 为传播方向单位矢量）和位置矢量 $\bar{r}$，完整解可写成紧凑形式：

$$\bar{E}={\bar{E}}_0{e}^{-j\bar{k}\cdot \bar{r}}.\text{\hspace{1em}(1.71)}$$

把散度条件 $\nabla \cdot \bar{E}=0$ 作用上去，得到关键约束：

$$\bar{k}\cdot {\bar{E}}_0=0,\text{\hspace{1em}(1.74)}$$

即电场必须垂直于传播方向——这就是”横波”的数学出处，也意味着三个幅度常数 A、B、C 中只有两个能独立选取。磁场则由 (1.75) 求得：

$$\bar{H}=\frac{1}{{\eta }_0}\hat{n}\times \bar{E},\text{\hspace{1em}(1.76)}$$

三矢量的几何关系见图 1.8：$\hat{n}\times \bar{E}$ 恰好给出 $\bar{H}$ 的方向和大小。

圆极化波

之前讨论的电场矢量始终指向固定方向，称为线极化（linear polarization）。把一个 $\hat{x}$ 线极化波和一个 $\hat{y}$ 线极化波叠加，取 $E_1=j{E}_2=E_0$：

$$\bar{E}=E_0(\hat{x}-j\hat{y})e^{-j{k}_{0}z},\text{\hspace{1em}(1.79)}$$

时域形式（(1.80)）显示：固定观察一点，电场矢量以角速度 $\omega$ 匀速旋转。右手拇指指向传播方向，四指指向电场旋转方向，若符合右手定则则称为右旋圆极化（RHCP, right-hand circularly polarized）；$\bar{E}=E_0(\hat{x}+j\hat{y})e^{-j{k}_{0}z}$ 则是左旋圆极化（LHCP）。圆极化是第 9 章铁氧体器件的语言基础。

1.6 能量与功率：坡印廷定理

时均存储电能、磁能分别由 (1.83)–(1.86) 给出（无损情形 $W_e=\frac{ϵ}{4}{\int }_V\bar{E}\cdot {\bar{E}}^{\ast }dv$、$W_m=\frac{\mu }{4}{\int }_V\bar{H}\cdot {\bar{H}}^{\ast }dv$）。对麦克斯韦两个旋度方程做”乘共轭、相减、积分”的操作，得到坡印廷定理（Poynting’s theorem）——电磁场的功率守恒账本：

$$P_s=P_o+P_{\ell }+2j\omega (W_m-W_e),\text{\hspace{1em}(1.93)}$$

白话：源提供的复功率 $P_s$ = 流出封闭面的功率 $P_o$ + 体积内热损耗 $P_{\ell }$ + $2j\omega$ × 净存储的 reactive 能量之差。其中功率流由坡印廷矢量（Poynting vector）刻画：

$$\bar{S}=\bar{E}\times {\bar{H}}^{\ast },\text{\hspace{1em}(1.90)}$$

$\mathrm{Re}\{\bar{S}\}/2$ 给出时均功率流密度，方向即能量传播方向。

良导体吸收的功率：在导体表面取合适的闭合面，可证明进入导体的时均功率只用表面场就能算出：

$$P_{\text{avg}}=\frac{R_s}{2}{\int }_{S_0}|\bar{H}{|}^{2}ds,\text{\hspace{1em}(1.97)}$$

其中表面电阻（surface resistance）：

$$R_s=\mathrm{Re}\{\eta \}=\sqrt{\frac{\omega \mu }{2\sigma }}=\frac{1}{\sigma {\delta }_s}.\text{\hspace{1em}(1.98)}$$

这个结果非常实用：算导体损耗不必知道导体内部的场分布，只要知道导体表面的切向磁场即可，这在后面推导传输线衰减时是主力工具。

1.7 平面波在媒质界面的反射与透射

一般媒质：反射系数与透射系数

设自由空间（$z<0$）中一平面波沿 +z 垂直入射到参数为 $ϵ,\mu ,\sigma$ 的半空间（$z>0$），几何见图 1.12。

入射波 ${\bar{E}}_i=\hat{x}{E}_0{e}^{-j{k}_{0}z}$，反射波 ${\bar{E}}_r=\hat{x}\Gamma E_0{e}^{+j{k}_{0}z}$（注意指数取正号才表示 −z 方向传播），透射波 ${\bar{E}}_t=\hat{x}T{E}_0{e}^{-\gamma z}$。在 $z=0$ 处强令切向 $E_x$、$H_y$ 连续，得两个方程：

$$1+\Gamma =T,\frac{1-\Gamma }{{\eta }_0}=\frac{T}{\eta },\text{\hspace{1em}(1.104)}$$

解出电磁学里最重要的两个系数：

$$\Gamma =\frac{\eta -{\eta }_0}{\eta +{\eta }_0},\text{\hspace{1em}(1.105a)}$$ $$T=1+\Gamma =\frac{2\eta }{\eta +{\eta }_0}.\text{\hspace{1em}(1.105b)}$$

$\Gamma$ 是反射系数（reflection coefficient），$T$ 是透射系数（transmission coefficient）。它们的形状和传输线理论里的 $\Gamma =(Z_L-Z_0)/(Z_L+Z_0)$ 一模一样——阻抗失配就反射，这是全书的主旋律。

三种特例

• 无损介质：$\sigma =0$，$\Gamma$、$T$ 为实数，两侧 $\bar{E}$、$\bar{H}$ 同相；可验证 $z=0$ 两侧实功率守恒：$P^{-}=\frac{1}{2}|E_0{|}^2\frac{1}{{\eta }_0}(1-|\Gamma {|}^2)=P^{+}$。
• 良导体：$\gamma =(1+j)/{\delta }_s$，$\eta$ 相位 45°；功率密度 $e^{-2\alpha z}$ 衰减，几个趋肤深度内全部耗尽为热。
• 理想导体（$\sigma \to \infty$）：${\delta }_s\to 0$、$T\to 0$、$\Gamma \to -1$——“把入射电场短路掉”。$z<0$ 区域形成纯驻波：

$$\bar{E}=-\hat{x}2j{E}_0\sin k_{0}z,\bar{H}=\hat{y}\frac{2}{{\eta }_0}{E}_0\cos k_{0}z.\text{\hspace{1em}(1.120)}$$

导体表面 $z=0$ 处 $\bar{E}=0$，坡印廷矢量实部为零——理想导体不吸收任何实功率，电流以无穷薄表面电流层的形式流动：${\bar{J}}_s=\hat{x}\frac{2}{{\eta }_0}{E}_0$（(1.122)）。

易错点 3：坡印廷矢量不能随便拆成"入射 + 反射"

复坡印廷矢量必须用总场计算：${\bar{S}}_i+{\bar{S}}_r\ne {\bar{S}}^{-}$，因为差掉的交叉项对应驻波中存储的 reactive 能量（原书 1.110a 附近专门演示了这一点）。时均实功率倒是可以按行波分解：$P_i+P_r=P^{-}$ 成立。但如果 $z<0$ 区域本身有损，连实功率分解都不再可靠。审慎起见：功率问题先用总场。

表面阻抗概念：算导体损耗的万能三板斧

良导体的损耗功率有三种等价算法：焦耳定律（对 $e^{-\gamma z}$ 衰减的体电流积分）、坡印廷矢量（穿过界面的净功率流）、以及最常用的表面阻抗法——把体电流等效为均匀分布在表面、总电流相同的面电流 ${\bar{J}}_s$，则：

$$P^{\ell }=\frac{R_s}{2}{\int }_S|{\bar{J}}_s{|}^{2}ds=\frac{R_s}{2}{\int }_S|{\bar{H}}_t{|}^{2}ds,\text{\hspace{1em}(1.131)}$$

其中表面电流可以直接按理想导体假设取 ${\bar{J}}_s=\hat{n}\times \bar{H}$。唯一的近似是 $\eta \ll {\eta }_0$——1 GHz 的铜 $|\eta |=0.012\Omega$，相比 $377\Omega$ 确实小到可以忽略。该方法对任意形状导体、任意场分布都适用，是后面算微带线、波导损耗的标准姿势。

1.8 斜入射：斯涅尔定律、布鲁斯特角与全反射

平面波以角度 ${\theta }_i$ 斜入射到两种无损介质的界面（图 1.13），按电场方向分两种典型情形：电场在入射面（xz 平面）内为平行极化（parallel polarization）；垂直入射面为垂直极化（perpendicular polarization）。任意极化可分解为两者的线性组合。

解法和 1.7 节完全一样：写出入射、反射、透射场，令切向 $E$、$H$ 在 $z=0$ 处连续。由于边界条件对所有 $x$ 都成立，两侧场的相位随 $x$ 变化速率必须一致（相位匹配条件，phase matching）：

$$k_1\sin {\theta }_i=k_1\sin {\theta }_r=k_2\sin {\theta }_t,$$

立刻得到斯涅尔定律（Snell’s laws）：

$${\theta }_i={\theta }_r,k_1\sin {\theta }_i=k_2\sin {\theta }_t.\text{\hspace{1em}(1.136a, 1.136b)}$$

匹配后解出（平行极化）：

$$\Gamma =\frac{{\eta }_2\cos {\theta }_t-{\eta }_1\cos {\theta }_i}{{\eta }_2\cos {\theta }_t+{\eta }_1\cos {\theta }_i},\text{\hspace{1em}(1.137a)}$$ $$T=\frac{2{\eta }_2\cos {\theta }_i}{{\eta }_2\cos {\theta }_t+{\eta }_1\cos {\theta }_i}.\text{\hspace{1em}(1.137b)}$$

垂直极化结果对偶（(1.143a,b)），把 $\cos {\theta }_i$ 与 $\cos {\theta }_t$ 的位置互换即可。${\theta }_i=0$ 时两者都退化回 1.7 节的垂直入射公式，逻辑自洽。

布鲁斯特角（Brewster angle）：平行极化存在一个特殊入射角使 $\Gamma =0$（全透射、无反射）：

$$\sin {\theta }_b=\frac{1}{\sqrt{1+{ϵ}_1/{ϵ}_2}}.\text{\hspace{1em}(1.138)}$$

垂直极化对普通介质不存在布鲁斯特角（把 (1.143a) 分子置零会推出矛盾）。激光谐振腔的布儒斯特窗就是利用平行极化零反射来降低腔损耗的。

全反射与表面波：当波从光密介质射向光疏介质（${ϵ}_1>{ϵ}_2$），入射角超过临界角（critical angle）：

$$\sin {\theta }_c=\sqrt{\frac{{ϵ}_2}{{ϵ}_1}}\text{\hspace{1em}(1.145)}$$

后，$\sin {\theta }_t>1$、透射角失去几何意义，入射功率被全部反射（$|\Gamma |=1$）。但 region 2 中并非没有场：透射场变成表面波（surface wave）——沿界面方向（x 方向）正常传播、垂直界面方向（z 方向）指数衰减 $e^{-\alpha z}$ 的非均匀平面波（式 1.146）。对坡印廷矢量 (1.151) 的分析表明：z 方向没有实功率流，但沿 x 方向的界面附近确实有能量贴着表面跑。光纤通信、介质波导的物理内核正是这个现象。

1.9 两个实用定理

互易性定理（Reciprocity Theorem）

洛伦兹互易定理考察同一区域中两组独立源-场对 $({\bar{J}}_1,{\bar{M}}_1)\to ({\bar{E}}_1,{\bar{H}}_1)$ 与 $({\bar{J}}_2,{\bar{M}}_2)\to ({\bar{E}}_2,{\bar{H}}_2)$，由矢量恒等式展开 $\nabla \cdot ({\bar{E}}_1\times {\bar{H}}_2-{\bar{E}}_2\times {\bar{H}}_1)$ 并积分，得到一般关系 (1.155)。最常用的特例是封闭面内无源的情形：

$${\oint }_S{\bar{E}}_1\times {\bar{H}}_2\cdot d\bar{s}={\oint }_S{\bar{E}}_2\times {\bar{H}}_1\cdot d\bar{s}.\text{\hspace{1em}(1.156)}$$

白话版：交换激励点和观测点，系统响应不变——A 处发射、B 处接收的信号，等于 B 处发射、A 处接收的信号。这是第 4 章证明阻抗矩阵 $[Z]$ 对称（$Z_{12}=Z_{21}$）、S 参数对称的场论根据，也是”无源线性网络互易”这句话的严格出处。

镜像理论（Image Theory）

电流源放在接地导体平面附近时，可以把导体平面拿掉、在对称位置放一个”镜像源”，原平面上方（源一侧）的场完全不变。原书用一个平行于地面的表面电流源严格验证了这一点：地面反射形成的驻波场（式 1.158–1.162），与”源 + $-{\bar{J}}_s$ 镜像”两个源在 $z>0$ 区域叠加产生的场完全相同。注意两点：镜像理论只保证导体平面之外的场正确；电/磁源平行或垂直于地面时，镜像的正负号规则不同（图 1.17）。

经验谈

镜像理论是天线工程（接地平面上的单极子天线）和微带电路分析的常用心算工具。用之前先问自己两个问题：① 我关心的场在导体平面的哪一侧？（只有源那一侧有效）② 源相对地面的取向是平行还是垂直？（决定镜像的正负）。

自测题（点击展开）

1. 为什么标准电路理论在微波频段会失效，而光学频段却又不需要完整的麦克斯韦方程组？

答案：电路理论的集总元件近似要求器件尺寸远小于电波长（相位沿器件变化可忽略）；微波频段器件尺寸与波长同量级，成为分布元件，集总近似失效。光频段波长又远小于器件尺寸，麦克斯韦方程可退化为几何光学处理。微波卡在两者之间，必须用完整的场理论。

2. 写出无损介质界面的四条边界条件，并说明为什么通常只需强制切向条件。

答案：$\hat{n}\cdot {\bar{D}}_1=\hat{n}\cdot {\bar{D}}_2$、$\hat{n}\cdot {\bar{B}}_1=\hat{n}\cdot {\bar{B}}_2$（法向连续），$\hat{n}\times {\bar{E}}_1=\hat{n}\times {\bar{E}}_2$、$\hat{n}\times {\bar{H}}_1=\hat{n}\times {\bar{H}}_2$（切向连续）。四个方程并非线性独立（麦克斯韦方程组本身不独立），只强制两条切向条件后，法向条件会自动满足。

3. 10 GHz 时铜的趋肤深度约 0.66 μm。这个结论对微波器件制造有什么实际指导意义？

答案：${\delta }_s=\sqrt{2/\omega \mu \sigma }$，微波电流集中在导体表面极薄一层内流动。因此微波器件只需在表面镀极薄（几个趋肤深度以上）的良导体（如银、金）即可获得低损耗，不必整体用贵金属；同时导体损耗计算可以简化为表面电阻 $R_s=1/\sigma {\delta }_s$ 与表面电流的乘积（式 1.131）。

4. 平面波垂直入射到良导体半空间，$\Gamma \approx -1$。为什么复坡印廷矢量不能写成”入射坡印廷矢量 + 反射坡印廷矢量”，而时均实功率却可以？

答案：复坡印廷矢量是总场的双线性量 $\bar{S}=\bar{E}\times {\bar{H}}^{\ast }$，展开时入射场与反射场之间会出现交叉项，这些交叉项对应入射/反射波叠加形成的驻波中存储的 reactive 能量，因此 ${\bar{S}}_i+{\bar{S}}_r\ne \bar{S}$。而时均实功率流中交叉项的贡献为零（相互正交的行波分量时间平均互不输送净功率），故 $P_i+P_r=P^{-}$ 成立。

5. 波从空气斜入射到 ${ϵ}_r=4$ 的介质（${ϵ}_1<{ϵ}_2$ 方向反过来即从密到疏）需要什么条件才发生全反射？全反射后介质 2 中还有没有场？有没有功率流入介质 2？

答案：波必须从光密介质射向光疏介质（${ϵ}_1>{ϵ}_2$），且入射角超过临界角 ${\theta }_c$（$\sin {\theta }_c=\sqrt{{ϵ}_2/{ϵ}_1}$）。全反射时 $|\Gamma |=1$、实功率全部返回，但介质 2 中仍存在表面波场：它沿界面传播（相位匹配要求 $\beta =k_1\sin {\theta }_i$）、沿法向指数衰减 $e^{-\alpha z}$；其坡印廷矢量 z 分量为纯虚，说明没有净实功率流入介质 2，这个场只是为满足边界条件而存在。